Elementos de un ángulo geometría

Los Grandes Matemáticos                                                                                                                                      E. Bell

Capítulo Decimosexto

EL Copérnico DE LA GEOMETRÍA

LOBATCHEWSKY


La teoría de Lobatchewsky era incomprensible para sus contemporáneos, pues parecía contradecir un axioma cuya necesidad está basada tan sólo sobre un prejuicio santificado por millares de años.

Los editores de las obras de Lobatcheswky

Suponiendo que sea exacta la opinión comúnmente aceptada de la importancia de la obra de Copérnico, hay que admitir que el más alto galardón o la más grave condenación humana posible es llamar a otro hombre el «Copérnico» de alguna cosa. Cuando consideremos lo que Lobatchewsky hizo al crear la Geometría no-euclidiana y comprendamos su significación para todo el pensamiento humano del cual la Matemática es sólo una parte pequeña, aunque muy importante, probablemente aceptaremos que Clifford (1845-1879), que era un gran geómetra y bastante más que un simple matemático, no exageró al calificar a Lobatchewsky como «el Copérnico de la geometría«.

Nikolas Ivanovitch Lobatchewsky, segundo hijo de un modesto funcionario del gobierno, nacíó el 2 de Noviembre de 1793 en el distrito de Makarief, gobernación de Nijni Novgorod, Rusia. Los profesores alemanes rápidamente reconocieron el genio de Lobatchewsky y le alentaron.

En 1811, teniendo 18 años, Lobatchewsky obtuvo su título después de una breve reyerta con las autoridades universitarias en cuya ira había incurrido por su exuberancia juvenil. Dos años más tarde, teniendo 21 años, Lobatchewsky fue nombrado «profesor extraordinario», equivalente al profesor asistente de otras Universidades.


Preparado por Patricio Barros


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El nombramiento de Lobatchewsky como profesor ordinario tuvo lugar en 1816, a la precoz edad de 23 años. La habilidad con que Lobatchewsky supo desenvolver para enviar sus informes día tras día y año tras año a sus suspicaces superiores sin ser tachado de benevolencia para el espionaje, y sin perder el sincero respeto y el cariño de los estudiantes, dice más de su capacidad administrativa que todos los honores y medallas que pudiera conferirle el gobierno, y con las que él gustaba adornarse en las ocasiones oportunas.

Las colecciones del Museo de la Universidad constituían un increíble revoltijo. Lobatchewsky fue encargado de poner orden. Como reconocimiento a sus señalados servicios las autoridades le elevaron al cargo de Decano de la Facultad de Matemática y Física, pero como se olvidaron de votar los fondos necesarios para ordenar la biblioteca y el museo, Lobatchewsky hizo este trabajo con sus propias manos, catalogando, limpiando el polvo, cuidando de las vitrinas, y hasta si era necesario barriendo. Necesitando apoyo moral y político para su obra en la Universidad, el nuevo conservador influyó para que fuera nombrado Rector Lobatchewsky, cosa que se logró el año 1827. La instrucción fue liberalizada, a pesar de la función oficial, la biblioteca adquiríó un nivel superior de suficiencia científica, se adquirieron los instrumentos científicos requeridos para la investigación y la enseñanza, se fundó y equipó un observatorio, proyecto acariciado por el enérgico Rector, y la amplia colección mineralógica donde estaban representados todos los minerales de Rusia, fue puesta en orden y constantemente enriquecida. Al despedirse quiso entregarle una pequeña propina pero


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Lobatchewsky, ante la admiración del extranjero, rechazó indignado las monedas ofrecidas. Aquella noche, él y Lobatchewsky volvieron a encontrarse en la cena ofrecida por el gobernador, y en ese momento se presentaron y aceptaron recíprocamente todo género de excusas. Para cumplir esta tarea aprendíó arquitectura. Apagado el fuego, Lobatchewsky se entregó a la labor de la reconstrucción, y dos años más tarde no quedaba signo alguno del desastre. Aunque parezca increíble que un hombre tan excesivamente atareado por la enseñanza y la administración como Lobatchewsky lo estaba, pudiera encontrar tiempo para realizar una obra científica, Lobatchewsky encontró la oportunidad para crear una de las grandes obras maestras de la Matemática y para establecer un jalón en el pensamiento humano. Gauss no oyó hablar de la obra basta el año 1840.

Otro episodio de la atareada vida de Lobatchewsky muestra que no sólo la Matemática consumíó su tiempo. La teoría infecciosa de los gérmenes era aún desconocida en 1830, aunque los individuos más inteligentes sospechaban ya que la suciedad tenía mucha más intervención en el brote de las pestes que lo que pudiera tener la ira del Señor. Comparando esta mortalidad con la que tenía lugar en el resto de las gentes que recibían los remedios tradicionales, esa cifra era despreciable.


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Los Grandes Matemáticos                                                                                                                                      E. Sus colegas protestaron unánimemente contra el ultraje, poniendo en peligro su propia seguridad, pero fueron brevemente informados de que por ser simples profesores, eran constitucionalmente incapaces de comprender los grandes misterios de la ciencia del gobierno.

Esta excusa mal disfrazada abatíó a Lobatchewsky. Aunque su vista decayó rápidamente, aun fue capaz de un intenso pensamiento matemático.

Amaba siempre a la Universidad. Pocos meses más tarde murió, el 24 de Febrero de 1856, teniendo 62 años.

Para comprender lo que Lobatchewsky hizo debemos examinar en primer término las notables conquistas de Euclides. Euclides no alcanzó su ideal y ni siquiera nada aproximado, aunque durante siglos se creyó que lo había logrado. Posiblemente, el más sencillo de estos enunciados equivalentes es el siguiente: Dada cualquier línea recta l y un punto P, que no está en l, es posible trazar, en el plano determinado por l y P, tan sólo una línea recta l’ pasando por P, detal modo que l’ jamás corte a l por más que se prolonguen ambas líneas l y l en ambos sentidos.



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Figura 1. Siendo incapaz de deducir el postulado de sus otras suposiciones, y deseando usarlo en las demostraciones de muchos teoremas, Euclides honradamente lo separó de sus otros postulados. Una de éstas, «la hipótesis del ángulo recto«, según se denomina, sugiere otras dos posibilidades, ninguna de las cuales equivale a la suposición de Euclides: una de ellas lleva a la Geometría de Lobatchewsky, la otra a la de Riemann. Si aceptamos el postulado de las paralelas, podemos demostrar que AXY, BYX son ángulos rectos, e inversamente, si aceptamos que AXY, BYX son ángulos rectos, podemos demostrar el postulado de las paralelas.Esta hipótesis se llama actualmente la hipótesis del ángulo recto (puesto que ambosángulos son rectos se usa el singular en vez del plural «ángulos»). Dado que un ángulo puedesatisfacer a una y sólo a una de las exigencias, que es ser igual a, menor que, o mayor que un ángulo recto, las tres hipótesis, del ángulo recto, del ángulo agudo y del ángulo obtuso, respectivamente, agotan las posibilidades.


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Los Grandes Matemáticos                                                                                                                                      E. Pero primero observemos que ni la hipótesis del ángulo agudo ni la del ángulo obtuso nos permiten demostrar el postulado de las paralelas de Euclides debido a que, como antes hemos dicho, el postulado de Euclides es equivalente a la hipótesis del ángulo recto (en el sentido de que puede deducirse uno de otra; la hipótesis del ángulo recto es necesaria y suficiente para la deducción del postulado de las paralelas). Por tanto, si conseguimos construir geometrías basándonos en cualquiera de las dos nuevas hipótesis, no encontraremos en ellas paralelas en el sentido de Euclides. Imaginemos un plano que pase por A, B y el centro de la Tierra (sólo existe un plano que reúne estas condiciones).

Este plano corta a la superficie según una circunferencia máxima. Trasladando esta definición a la esfera diremos que la línea recta en el plano corresponde a la circunferencia máxima sobre la esfera. Puesto que la palabra griega que significa Tierra es la primera sílaba geo (gh) de geodésico, llamaremos a todas las líneas de mínima distancia que unen dos puntos


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cualesquiera sobre cualquier superficie las geodésicas de esa superficie. Así, en un plano lasgeodésicas son las líneas rectas de Euclides; sobre una esfera son circunferencias máximas. Una geodésico puede ser representada como la posición tomada por una cuerda extendida lo más tirante posible entre dos puntos sobre una superficie. Además, sobre un plano dos geodésicas no pueden encerrar un espacio, tal como acepta Euclides en uno de los postulados de su Geometría; sobre una esfera, dos geodésicas cualesquiera siempre encierran un espacio.

Imaginemos ahora el ecuador sobre la esfera y dos geodésicas trazadas por el polo norte perpendiculares al ecuador. Así, en la Geometría extraordinariamente práctica de la navegación según unacircunferencia máxima que está más cerca de la experiencia humana real que los esquemas idealizados de la Geometría elemental, no es verdadero el postulado de Euclides, o su equivalente en la hipótesis del ángulo recto, sino la Geometría que se deduce de la hipótesis del ángulo obtuso.

De igual modo, inspeccionando una superficie menos familiar, podemos hacer razonable la hipótesis del ángulo agudo. La superficie semeja dos trompetas infinitamente alargadas, soldadas en sus extremos más anchos.

Para describir esta figura más exactamente debemos introducir la curva plana llamada tractriz, que se engendra del siguiente modo.


Los Grandes Matemáticos                                                                                                                                      E. Ahora imaginemos que la tractriz gira alrededor de la línea XOX’. Se engendra la superficie en doble trompeta; por razones que no necesitamos detallar (tiene curvatura negativa constante) se llama una pseudoesfera. Si sobre esta superficie trazamos la figura de cuatro lados iguales y dos ángulos rectos como antes, usando geodésicas, encontramos realizada la hipótesis del ángulo agudo. Fueron necesarios más de 2000 años para derribar la eterna verdad de la Geometría, y Lobatchewsky lo consiguió.

Para usar la frase de Einstein, Lobatchewsky contradijo un axioma. Einstein mismo contradijo el axioma de que dos acontecimientos pueden ocurrir en diferentes lugares al mismo tiempo, y analizando esta suposición llegó a inventar la teoría especial de la relatividad. Ninguna de las paralelas de Lobatchewsky corta la línea a la que ambas son


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Los Grandes Matemáticos                                                                                                                                      E. Esta al parecer extraña situación se «realiza» para las geodésicas de una pseudoesfera. Para algunos fines, la Geometría de Euclides es mejor, o al menos suficiente; para otros no es adecuada y se precisa una geometría no euclidiana. La audacia de su oposición y su triunfo han conducido a los matemáticos y a los científicos en general a contradecir otros axiomas o verdades aceptadas, por ejemplo la ley de causalidad que durante siglos parecíó tan necesaria para el pensamiento como el postulado de Euclides parecía hasta que fue eliminado por Lobatchewsky. No hay exageración en llamar a Lobatchewsky el Copérnico de la Geometría, pero la Geometría es sólo una parte del m