Una de las soluciones de la ecuación x2 + 14x + 45 = 0 , es:

4.1 Introducción
Uno de las ansias principales del científico, consiste en construir modelos de los sistemas de la
naturaleza. Cuando se ha conseguido modelar un sistema físico con éxito, es posible predecir
su comportamiento en el futuro y explicar su pasado. Además, suele indicar que se dispone de
un conocimiento profundo de los mecanismos implicados en el fenómeno a estudiar.
Se pueden distinguir dos tipos de modelos básicos de un fenómeno natural, deterministas y
aleatorios:
Modelos deterministas: Este tipo de modelos suele ser el preferido de los científicos, ya que
se basan en ecuaciones que permiten predecir el comportamiento futuro de un sistema de
manera determinista, sin lugar a dudas. Por ejemplo, según las leyes de Newton, si se deja caer
un cuerpo desde una altura “h”, el tiempo que tarda en tocar el suelo viene dado por:
Donde g es la aceleración de la gravedad. 9.8 m/s2.
Este tipo de modelos nos dicen sin lugar a dudas, que si suelto algo desde una altura de 10m,
tardará exactamente 1.40 segundos en tocar el suelo… Y lo hará hoy, mañana y dentro de 1000
años, al menos mientras no cambie la gravedad. Por eso se denominan deterministas a estos
modelos, nos ofrecen un futuro completamente determinado por las ecuaciones.

Modelos Aleatorios: Existen fenómenos que (al menos actualmente) no podemos modelar de
forma determinista. Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado al aire, no tenemos
ninguna ecuación determinista que nos diga el resultado que vamos a obtener. Lo más que
podemos ofrecer, es la estimación de la probabilidad de un resultado. En el ejemplo del dado,
la probabilidad de que salga un resultado es de:
onde “n” es el número de “caras” que tiene el dado. En uno normal, n=6 y la probabilidad de
obtener una cualquiera de las caras, digamos “el 3” es de 1/6=0.167 (un 16,7% de las veces,
debería salir el 3).
4.2 Importancia de los “Parámetros” y de las “condiciones iniciales”
Dos conceptos muy importantes a la hora de manejar un modelo (del clima o de cualquier
sistema) son los “parámetros” y las “condiciones iniciales”.
Parámetros: son “números” que determinan las ecuaciones que rigen el modelo, y por lo tanto
nuestro pronóstico depende de ese número. Normalmente son constantes físicas. En el
ejemplo que hemos dado antes en el modelo determinista, el parámetro sería la aceleración
de la gravedad g (g=9.8 m/s2 en La Tierra). En el caso de la aceleración de la gravedad, el valor
se conoce bien, y además, una pequeña variación (digamos que en vez de 9.8, ponemos 9.7
m/s) no altera mucho el resultado final, pero existen sistemas en el que no es posible conocer
con precisión el valor de un parámetro y este desconocimiento puede tener consecuencias
muy profundas en los pronósticos que realicemos.
Condiciones iniciales: Cuando queremos hacer un pronóstico con una ecuación, necesitamos
conocer el estado del sistema en un instante inicial (se suele decir “en el tiempo t0”). Nuestras
ecuaciones, si hay suerte, deberían ser capaces de calcular el estado del sistema en un tiempo
“t” posterior (es decir, en el futuro). Si desempolvas tus conocimientos de física general de
primero, recordaras en un movimiento uniformemente acelerado, podemos calcular la
velocidad de un móvil en cualquier instante “t” si conocemos la velocidad inicial v0 en el
instante inicial t0 mediante la ecuación

Si por ejemplo fijamos el instante inicial en t0=0 y sabemos que para ese momento la velocidad
inicial es v0=2 m/s y el movimiento tiene una aceleración de 3 m/s2 podemos calcular la
velocidad en cualquier instante posterior, digamos t=10 segundos, que resulta en v=32 m/s.
Evidentemente el resultado de nuestra predicción dependerá de las condiciones iniciales. En
un modelo climático, las condiciones iniciales suelen ser el estado del clima en un instante
determinado (temperatura, contenido de humedad, cantidad de CO2, etc. Etc. Etc…).
Todo esto está muy bien, pero ¿por qué estos conceptos son tan importantes en relación con
el estudio del cambio climático? La razón es que las ecuaciones que rigen el clima son no
lineales y contienen el germen de un tipo de modelos que están situados a medio camino
entre un modelo determinista y uno puramente aleatorio. Este tipo de modelos se denominan
“modelos caóticos”. En estos modelos, la predicción del futuro depende muy fuertemente de
las condiciones iniciales y de los parámetros del modelo. Tanto, que pueden llegar a
comprometer la interpretabilidad del resultado. Vamos a ver algunos ejemplos de sistemas
caóticos:
Ejemplo 1: La importancia de los parámetros
Imagina que queremos modelar la cantidad de superficie del planeta Tierra cubierta por hielo.
Podemos expresar esta cantidad como la “proporción de superficie nevada” o para abreviar
“PSN”. Si PSN=0 significa que no hay ninguna superficie nevada y si PSN=1 que toda la Tierra
está cubierta por nieve. Parece razonable suponer que la proporción de superficie nevada el
año que viene (en el tiempo t+1 año) dependa de alguna manera de la proporción de
superficie nevada el año anterior (tiempo t). Podríamos proponer (podemos hacerlo, ¡para eso
somos los diseñadores del modelo!) la siguiente ecuación:
PSNt+1 = A∙PSNt
Siendo A el parámetro del modelo. Si A es muy grande, la proporción de superficie nevada
aumentará muy rápidamente y si es pequeño, más despacio.
A poco que pensemos, veremos que este modelo no es satisfactorio, ya que predice que la
superficie nevada tiende a cero siempre que A<1 y=»» a=»» infinito=»» si=»» a=»»>1. Además, no tiene en
cuenta que no puede nevar indefinidamente, ya que si el agua está en forma de hielo, no
formará nubes y en algún momento dejará de nevar… En seguida nos daríamos cuenta de que
hay que poner un segundo factor que “limite” la cantidad de agua disponible. Armados con
nuestra confianza de modeladores profesionales, aventuramos que una solución podría ser
multiplicar por el “complementario” de la proporción de superficie nevada (1‐PSNt), así, si la
proporción de superficie nevada sube mucho y se acerca a 1, (1‐PSNt) se acercará a cero y

“limitará” el crecimiento, simulando la falta de agua disponible para la precipitación. Por tanto,
proponemos como modelo definitivo de la proporción de superficie nevada de la tierra de un
año t+1 en función de los valores del año anterior como:
PSNt+1 = A∙PSNt∙(1‐ PSNt)
En realidad no es importante cómo hayamos llegado a esa ecuación, sólo la estamos
estudiando para demostrar como una ecuación tan sencilla como esa puede contener
comportamientos extraños. La razón: la ecuación es no lineal.
Supongamos que experimentamos con el modelo y probamos los siguientes casos:
CASO 1: Parámetro A=0.9 y condición inicial PSN0=0.9
Si vamos calculando valores de PSN sucesivos, veremos que con estos valores, PSN tiende a
cero… ¡Este mundo acabaría sin nieve!
CASO 2: Parámetro A=2.8 y condición inicial PSN0=0.6
Si vamos calculando valores de PSN sucesivos, veremos que a los pocos años la solución se
estabiliza en PSN=0.6429. Y ahí nos quedamos. Predecimos un mundo cubierto en un 64.29%
de su superficie con nieve y en estado de equilibrio permanente a partir de ahí. ¡Un
aburrimiento!
CASO 3: Parámetro A=3.2 y condición inicial PSN0=0.1
Si vamos calculando valores de PSN sucesivos, veremos que a los pocos años tenemos un
mundo alternante entre dos estados de equilibrio, un año tenemos PSN=0.7994 y otro
PSN=0.5130. Este resultado es muy destacable, resulta que modificando ligeramente el
parámetro (en el caso 2 el parámetro es A=2.8 y en el caso 3 tenemos A=3.2, un cambio de
sólo el 13% en el parámetro A) ¡nos cambia la naturaleza de la solución! Pasamos de un mundo
con un único estado de equilibro a un mundo con dos estados de equilibro. En matemáticas, a
las soluciones de equilibrio de una ecuación caótica como la que nos ocupa se las denomina
“atractores”, para indicar que las soluciones de la ecuación son “atraídas” hacia puntos
concretos. Prueba con el valor A=3.5, te encontrarás con un mundo con cuatro estados de
equilibrio distintos.
CASO 4: Parámetro A=3.9 y condición inicial PSN0=0.1.

Si el caso 3 resulta curioso, no lo es menos este. Si lo pruebas, encontrarás que no hay
soluciones de equilibrio, la evolución del sistema es aparentemente impredecible, aunque
provenga de una ecuación perfectamente determinada. Nota que si únicamente pudiéramos
ver la serie de valores de PSN y no supiéramos cómo se ha calculado, pensaríamos que es un
proceso aleatorio, cuando en realizad no lo es. Por eso a este tipo de sistemas se los denomina
“caóticos”, aunque sean deterministas en el fondo, en la práctica se comportan como
aleatorios.
Imagina que te planteases usar la ecuación que hemos visto en el mundo real. Para estimar el
parámetro A –que en principio sería desconocido‐ tu única opción sería medir
experimentalmente los valores de la proporción de superficie nevada dos años consecutivos
(año t y año t+1) y despejar A. Así, si despejamos A de la ecuación del modelo PSNt+1 =
A∙PSNt∙(1‐ PSNt) resulta:
Supón que para el año t (digamos 2014) estimas que PSNt=0.800 y que al año siguiente t+1
(sería 2015) vuelves a medir PSN y obtienes un valor de PSNt+1=0.624. Calculas A y te sale
A=3.9
¡ya tenemos el problema! Tu modelo te sale de esos que aparentemente no predicen nada. Y
lo que es peor, tus medidas de PSNt y PSNt+1 son experimentales, y evidentemente estarán
afectadas de error. Si en lugar de 0.800, hubieras estimado un valor de 0.790 (un error de sólo
un 1%) A te hubiera resultado 3.76, que ofrece unas soluciones completamente diferentes…
¿quiere decir esto que un modelo basado en ecuaciones no lineales no sirve para nada? ¡Nada
de eso! Si hemos sido capaces de convertir en ecuaciones las leyes de la naturaleza habremos
aprendido mucho en el proceso. Además no todos los valores de los parámetros resultan en
caos. Sin embargo, nos indica que hemos de ser muy cuidadosos al trabajar con modelos
basados en ecuaciones no lineales, ya que tienen el germen del caos en su interior.
Ejemplo 2: la importancia de las condiciones iniciales
Queramos o no, la mayoría de las ecuaciones de los modelos de sistemas físicos son
“ecuaciones diferenciales”. Bajo este nombre tan intimidatorio, lo único que se esconde es el
hecho de que a un físico le suele interesar saber cómo varía en el tiempo o en el espacio una
cantidad (es decir, le interesa conocer la “diferencia” entre los valores de una cantidad en dos
momentos, de ahí viene el nombre). Matemáticamente, la variación de una cantidad se
expresa anteponiendo una “d” a la cantidad. Por ejemplo, si escribimos dT, siendo T la temperatura, queremos indicar el “cambio en la temperatura”. Por ejemplo si entre el tiempo
t=1 segundo y el tiempo t=1.5 segundos la temperatura “T” ha cambiado 2ºC, diremos que en
un intervalo de tiempo de 0.5 segundos (es decir en el intervalo dt=0.5 s) la variación de
temperatura ha sido de dT=2 ºC
Normalmente interesa la velocidad de cambio de una cantidad, en nuestro ejemplo, si
queremos la velocidad de cambio de la temperatura, sólo tendremos que hacer la división
dT/dt, que resulta en 2ºC/0.5s = 4ºC/s.
Matemáticamente, el significado de una variación de una cantidad cuando hacemos tender el
tiempo dt a cero se determinan con las derivadas. Las variaciones de una cantidad son tan
importantes para la física, que los matemáticos han desarrollado toda la teoría del cálculo para
que podamos estimar con precisión las velocidades de cambio de las cosas simplemente
usando una tabla de derivadas.
Supongamos que queremos hacer un modelo de la evolución de la temperatura T del planeta
Tierra. Sabemos que los océanos de la Tierra tienen CO2 disuelto y que al aumentar la
temperatura del océano, el CO2 se hace menos soluble y va abandonando el agua para pasar a
la atmósfera. El CO2 en la atmósfera incrementa el efecto invernadero, y en consecuencia la
temperatura sube más, y se expulsa más CO2… y así podría seguir el ciclo. Observando esto,
nosotros podemos proponer el siguiente modelo ¿y si la velocidad de cambio de la
temperatura es función de esa misma temperatura? Es decir, cuanta más temperatura haya,
más se notará este efecto y más rápidamente irá aumentando la temperatura.
No parece descabellado ¿no?. Le preguntamos a nuestro amigo matemático y nos propone la
siguiente ecuación del modelo:
Que no es más que expresar que la velocidad de cambio de la temperatura es directamente
proporcional a la temperatura, o en otras palabras, cuanto más temperatura haya, más rápido
irá cambiando.
Eso es una “ecuación diferencial”, y para solucionarla, sólo tenemos que averiguar qué función
de la temperatura T tiene su derivada igual a ella misma. La única función de t cuya derivada es
igual a ella misma es una exponencial, en concreto la función:

Es la solución general de esa ecuación, siento “C” cualquier constante. Efectivamente, si
hacemos la derivada de esa función respecto a T, obtenemos que dT/dt = Cet, que es lo mismo
que T. Así que la cosa funciona.
Sólo nos queda conocer el valor de C, para determinarlo, al igual que en el ejemplo anterior,
debemos hacer una medida experimental. Supongamos que para un tiempo inicial t=0,
medimos la temperatura T0, si sustituimos en la ecuación, nos sale que C=To y la solución a
nuestro modelo será:
Y diremos que T0 es la “condición inicial”.
Armados con nuestro modelo nos lanzamos a predecir la temperatura del futuro, y para
nuestra desesperación veremos que con este modelo, T aumenta de manera continua hasta el
infinito… Y eso no cuadra con nuestras observaciones. Así que nuestro modelo es erróneo y
tenemos que proponer otro. Tras darle muchas vueltas, se nos ocurre que a lo mejor si
metemos en las ecuaciones algo que varíe cíclicamente (por ejemplo usando una función seno)
podríamos simular la influencia de la estaciones del año. Así que, proponemos la siguiente
ecuación:

El “efecto mariposa”


Esta dependencia crítica de las soluciones de algunas ecuaciones de las condiciones iniciales a
veces se denomina “efecto mariposa”, en el sentido de que en teoría, una mariposa que bata
sus alas en un extremo del mundo podría cambiar el estado de la atmósfera lo suficiente (por
ejemplo aumentando la temperatura media una diezmillonésima de grado) como para que
años después se generase un gran efecto en otra parte del mundo (un huracán, una ola de
calor, etc…).
Te puedes preguntar ¿pero este efecto es un artefacto de las matemáticas o es real? Pues lo
cierto es que nadie lo sabe con certeza, lo que es seguro es que las ecuaciones con las que se
puede describir matemáticamente el clima contienen el efecto y que aplicándoles
simplificaciones, suele poder “controlarse”, al menos para periodos de unas decenas de años.
Sin embargo, es muy probable que el clima real sea caótico por naturaleza –tal y como
sugieren las ecuaciones de la física que se deben usar para modelarlo‐, y que con pequeños
cambios, podamos estar generando efectos muy fuertes aún lejanos en el tiempo.

4.3. Modelos climáticos


Clasificaremos los modelos del clima en función del nº de dimensiones que son capaces de
reproducir. Sólo vamos a desarrollar los de dimensión cero y uno, ya que son formalmente
sencillos pero permiten comprender los conceptos esenciales que se utilizan en modelos de
dimensiones superiores.

4.3.1. Modelos climáticos de dimensión cero


Consideran al sistema climático como un punto, en el sentido de que sólo necesitaremos un
valor para caracterizar a cada variable climática. Si repasas los apuntes de “Meteorología y
Climatología” de 2º, recordarás que si queremos modelar la temperatura de un planeta de
radio R, que recibe una cantidad S de radiación del Sol (constante solar) y que tiene un albedo
A, podemos asegurar que:

radiación que recibe la Tierra del Sol depende de la latitud (por lo que ya no habrá una única S,
sino una Si distinta para cada latitud “i”, es decir “Si”. El color del suelo también varía con la
latitud, por lo que habrá que considerar un albedo distinto Ai para cada latitud i. Por último,
ahora nos vemos obligados a simular las posibles transferencias de energía entre latitudes.
Esto lo podemos hacer suponiendo que de nuestra regíón “i” hacia las adyacentes, se
transmite una energía que llamaremos Fi.
En 1969, un científico Soviético llamado Mikhail Budyko, estimó aproximaciones sencillas para
cada uno de los términos necesarios para un modelo que considerase estas cuestiones.
Nosotros seguiremos su ejemplo y tomaremos como las ecuaciones de cada proceso del
modelo:
Radiación que entra en la regíón “i”: