Propiedades y Tipos de Relaciones Matemáticas y Seriaciones
Comprendiendo las Relaciones y Seriaciones en Matemáticas
Una relación se define como una conexión mental que establecemos entre dos objetos. Estas conexiones carecen de existencia material y no pueden ser percibidas directamente a través de los sentidos; son el resultado de la reflexión.
Propiedades Fundamentales de las Relaciones
- Reflexiva/Antirreflexiva: Una relación es reflexiva si, para cualquier elemento, dicho elemento está relacionado consigo mismo.
- Simétrica/Antisimétrica: Una relación es simétrica si, siempre que un elemento A está relacionado con un elemento B, se cumple que el elemento B está relacionado con A. Por otro lado, una relación es antisimétrica si, al contrario de las relaciones simétricas, el orden de los elementos que intervienen en la relación nunca puede invertirse. Esto se puede formular diciendo que “una relación es antisimétrica siempre que un elemento A está relacionado con un elemento B, se cumple que el elemento B no está relacionado con A”.
- Transitiva: Una relación es transitiva si, siempre que A está relacionado con B y B está relacionado con C, se cumple que A está relacionado con C. La propiedad transitiva es fundamental porque permite relacionar dos objetos entre sí, de forma indirecta, a través de un tercero.
Clases Principales de Relaciones Matemáticas
Tras analizar estos conceptos previos, podemos identificar dos grandes clases de relaciones en matemáticas:
Relaciones de Equivalencia
Son aquellas relaciones que cumplen las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. Un ejemplo de relación de equivalencia es “nacer en la misma provincia que”.
Relaciones de Orden
- Relaciones de Orden Estricto: Estas relaciones cumplen las propiedades: antirreflexiva, antisimétrica y transitiva. Un ejemplo es la relación de “ser mayor que” aplicada al conjunto de los cinco primeros números naturales.
- Relaciones de Orden NO Estricto (o Amplio): Son aquellas que cumplen las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. Como ejemplo de relación de orden amplio podemos considerar los números relacionales con la relación de “ser menor o igual que”.
La relación de pertenencia presenta una característica peculiar: relaciona un objeto con un conjunto de objetos. Las relaciones que involucran conjuntos suelen ser más complejas que aquellas que relacionan solo dos objetos, ya que a veces requieren la consideración de todos los elementos del conjunto.
Desarrollo de la Capacidad de Seriación en Niños
La capacidad para seriar implica el reconocimiento de la diferencia y de la relación de orden. En las primeras edades, la única manera de desarrollar la comprensión del proceso de ordenar elementos formando una serie es mediante la práctica directa.
Experiencias con Objetos Manipulables
Tanto en las clasificaciones como en las seriaciones, las experiencias deben realizarse preferentemente con objetos que los niños puedan manipular.
Fases del Aprendizaje de la Seriación
Los niños atraviesan distintas fases o niveles al aprender a seriar:
- Primer Nivel: Ausencia de Seriación. El niño no puede seriar. Procede a ordenar parejas de elementos o series cortas (tres o cuatro elementos) que luego no puede coordinar. Realiza pequeñas series considerando algunos elementos e ignorando los restantes.
- Segundo Nivel: Primeras Seriaciones. El niño se inicia en la seriación, actuando por ensayo y error. Al explicar la razón de su orden, es incapaz de establecer la relación transitiva, ya que compara con un solo elemento. Logra seriar mediante un tanteo empírico.
- Tercer Nivel: Seriación Construida con un Método Sistemático. El niño procede a seriar de manera sistemática, desarrollando un esquema anticipatorio. Es capaz de insertar un elemento en una serie ordenada, ubicándolo sin titubeos. Analiza las características del elemento en relación con la serie y justifica su ordenamiento de manera operatoria.
Variables Cuantitativas y Cualitativas
Variables Cuantitativas (Ordenables)
Una variable es cuantitativa si, dados dos objetos, podemos determinar si sus valores son iguales o distintos. Además, podemos comparar los objetos según el grado de posesión de esa cualidad y, gracias a ello, ordenarlos. A las variables cuantitativas también se les llama ordenables. Ejemplos de variables ordenables son la longitud, la temperatura o el volumen.
Variables Cualitativas
Una variable es cualitativa si, dados dos objetos, podemos decir si los valores que toma la variable para esos objetos son iguales o distintos, pero no podemos ordenar los objetos por el grado de posesión de dicha cualidad.
Series Cualitativas
Una serie cualitativa es una sucesión de objetos ordenados atendiendo a una cualidad que cambia alternativamente, dando lugar a series repetitivas. Algunos materiales para trabajar las seriaciones cualitativas incluyen cuentas para ensartar o gomets.
Series Cuantitativas
Una serie cuantitativa es una sucesión de objetos (o colecciones de objetos) ordenados según una variable cuantitativa, ya sea de forma creciente o decreciente.