Fundamentos de Matemáticas: Conceptos Clave y Resolución de Problemas

Cuestionario de Evaluación de Conceptos Matemáticos

1A) En las actitudes hacia las matemáticas predomina:

a) componente evaluativo
b) componente matemático
c) componente afectivo
d) Todas son correctas

1B) El pensamiento productivo supone:

a) un análisis que determina una estrategia
b) una síntesis que explica un cálculo
c) una conjetura que implica una propiedad
d) una reproducción de estrategias y métodos ya conocidos

1C) ¿Cuál de los siguientes NO ES uno de los cuatro referentes para formular problemas matemáticos?

a) contexto
b) formato
c) fuente
d) objetivos

1D) Típicamente, en los modelos de enseñanza tradicional, se otorga mayor importancia a:

a) algoritmos
b) conceptos
c) recopilación de datos
d) Todas son correctas

1E) Lee el enunciado del recuadro: «Calcula el área de un triángulo que mide 7 m de base y 4 de altura». ¿A qué tipo de contexto pertenece el problema planteado?

a) contexto real
b) realístico
c) matemático
d) manipulativo

1F) ¿A qué fase del MIRPM pertenecen los heurísticos del recuadro «registrar y explicar los pasos, actuar con rigor, orden y precisión»?

a) fase del análisis del enunciado
b) fase de síntesis de rúbrica
c) fase de transposición de términos
d) fase de ejecución

1G) En los problemas de estructura multiplicativa señalaremos dos clasificaciones diferentes, que son:

a) según la situación representada y según las variables intensivas
b) según la situación representada y según las variables extensivas
c) según la situación representada y según el producto cartesiano
d) Todas son falsas

Desarrollo de Conceptos Clave en Matemáticas

Características Fundamentales: Problema vs. Ejercicio Matemático

EJERCICIO	PROBLEMA
Se ve claramente lo que hay que hacer.	Supone un reto.
La finalidad es la aplicación mecánica de algoritmos.	La finalidad es buscar en los conocimientos y experiencias que se poseen para rescatar los que son útiles para llegar a la solución.
Se resuelven en un tiempo relativamente corto.	Requieren más tiempo para su ejecución.
Generalmente tienen una solución.	Pueden tener una o más soluciones y las vías para llegar a ellas pueden ser variadas.
Son muy numerosos en los libros de texto.	Suelen ser escasos en los libros de texto.

El Dominio Afectivo en la Resolución de Problemas Matemáticos (RPM)

¿Cuáles son los tres campos y cómo influyen?

Creencias: Visiones, concepciones o valores que se otorgan a las matemáticas o RPM.
Actitudes: La manera de estar dispuesto o comportarse respecto a un problema matemático.
Emociones: Reacciones que experimentan los alumnos a los estímulos que genera un problema matemático.

Ejemplos:

Creencias: “Yo no sirvo para las matemáticas, son solo para personas súper inteligentes.”

Actitudes: “Siempre me aburro con los problemas de geometría.”

Emociones: Un estudiante siente ansiedad al ver un problema con fracciones y se bloquea antes de empezar.

Definición y Ejemplo de Problemas Multiplicativos de Producto Cartesiano

Aparecen dos cantidades para determinar el número de combinaciones que pueden establecerse entre ellas. En estos problemas, los diagramas cartesianos pueden servir para representarlos, facilitando su comprensión.

Enunciado: Sofía tiene 3 camisetas de colores diferentes (roja, azul y amarilla) y 2 pantalones (uno negro y uno gris). Si cada día puede elegir una camiseta y un pantalón para vestirse, ¿cuántas combinaciones diferentes de ropa puede hacer?

Dentro del dominio afectivo podemos definir tres campos:

a) Creencias, aptitudes y emociones
b) Razonamiento, aptitudes y emociones.
c) Creencias, actitudes y emociones
d) Creencias, emociones y frustración.

Dentro del dominio afectivo, podemos definir tres campos cuya influencia se deja sentir de forma determinante en la Resolución de Problemas Matemáticos (RPM):

a) Creencias, Aptitudes y Emociones.
b) Creencias, Actitudes y Emociones
c) Creencias, Aptitudes y Procedimientos
d) Creencias, Actitudes y Procedimientos.

A la hora de afrontar problemas matemáticos, un error común de los alumnos de primaria es:

a) La confusión entre lenguaje hablado y la aplicación de los cálculos
b) La confusión entre lenguaje escrito y la aplicación de las propiedades.
c) La confusión entre propiedades y cálculos mentales.
d) Todas son correctas.

¿Cuál de las siguientes NO ES ninguna fase del Modelo Integrado de Resolución de Problemas Matemáticos?

a) Análisis y Comprensión.
b) Búsqueda de Estrategias.
c) Síntesis de Auto-instrucciones.
d) Ejecución de un Plan

Lee el enunciado de abajo: ¿A qué tipo de problema pertenece dicho enunciado? «Juan tenía 15 caramelos y se comió 3. ¿Cuántos caramelos le quedan?»

a) Problema de Cambio
b) Problema de Comparación.
c) Problema de Combinación.
d) Problema de Igualación.

Las Rúbricas Holísticas se utilizan generalmente para realizar:

a) Evaluación Formativa.
b) Evaluación Orientativa.
c) Evaluación Criterial.
d) Todas son correctas.

¿Qué propiedad establece que: «Reagrupar los números en una operación no afecta al resultado»?

a) Propiedad Conmutativa.
b) Propiedad Asociativa
c) Propiedad Distributiva
d) Todas son falsas.

¿Cuál de los siguientes sucesos te parece que tiene mayor probabilidad de suceder el año que viene?

a) Que nazcan 7 niñas seguidas en una ciudad con 10 nacimientos al año
b) Que nazcan 70 niñas seguidas en una ciudad con 100 nacimientos al año.
c) Que nazcan 700 niñas seguidas en una ciudad con 1000 nacimientos al año
d) Todas las respuestas son igualmente probables.

Rúbricas Analíticas y Holísticas en la Evaluación Matemática

Rúbricas Holísticas: Se utilizan generalmente para realizar una evaluación de naturaleza sumativa, ya sea para evaluar la adquisición de un conocimiento concreto o bien para valorar la calidad global de actividades abiertas donde no haya una respuesta correcta definitiva y pueda permitir errores en el proceso.

Rúbricas Analíticas: Se suelen utilizar para una evaluación más pormenorizada de los diversos aspectos que se consideran fundamentales en el proceso. Estas rúbricas son más costosas de construir y de aplicar que las holísticas pero, por otro lado, permiten un alto grado de retroalimentación para los estudiantes.

Rúbrica Holística tiende a ver el trabajo como un todo. Rúbrica Analítica tiende a evaluar componentes.

Medidas Estadísticas Fundamentales: Frecuencia, Media, Moda, Mediana, Rango, Varianza y Desviación Típica

Frecuencia Absoluta: Es el número de veces que aparece un dato.
Frecuencia Relativa: Cociente entre el número de veces que aparece y el número total de datos.
Media: Se define como la suma de los elementos, dividida por el número total de casos.

Fórmula: Suma de (Casos × Frecuencia Absoluta) / Total de Casos

Moda: Elemento que más se repite en un conjunto de datos.

Identificación: La frecuencia absoluta que más se repite.

Mediana: Elemento que ocupa la posición central en un conjunto de datos ordenados.

Identificación: Una vez ordenadas todas las frecuencias absolutas, es el valor central.

Rango: Diferencia entre el valor máximo y mínimo de un conjunto de datos.

Cálculo: Número mayor de casos – Número menor de casos.

Varianza: Es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Calcular (Nº de Casos – Media)² para cada caso.
Multiplicar el resultado por la frecuencia absoluta.
Sumar todos los resultados.
Dividir entre el total de casos menos 1.

Desviación Típica: Es una medida de la dispersión, ya que se calcula como la raíz cuadrada de la varianza. Se suele representar con la letra s o bien σ.

Cálculo: Raíz cuadrada de la varianza.

Tipos de Problemas de Estructura Aditiva

Problemas de Cambio

Son aquellos en los que un suceso cambia el valor de la cantidad.

Problemas de Cambio-Separación:

Aquellos en los que la cantidad inicial se ve disminuida debido a la acción realizada.

Ejemplo: El árbol del patio tiene 25 naranjas y se han caído 10. ¿Cuántas quedan?

Problemas de Cambio-Unión:

Aquellos en los que la acción realizada origina un incremento de la cantidad inicial.

Ejemplo: En el aula de informática había 10 ordenadores y han instalado 5 más. ¿Cuántos hay ahora?

Problemas de Combinación

Establecen la relación que existe entre un conjunto y una partición del mismo en dos o más subconjuntos. En esta relación, podemos partir del cardinal de cada uno de los dos subconjuntos y querer calcular el cardinal del conjunto total. También podemos conocer el cardinal de un subconjunto y el del conjunto unión y desconocer el cardinal del otro subconjunto, como en el enunciado siguiente.

Ejemplo: En la mochila de Laura hay 6 cuadernos de matemáticas y 4 cuadernos de lengua. ¿Cuántos cuadernos tiene en total?

Problemas de Comparación

Presentan situaciones en las que dos cantidades son comparadas para establecer las diferencias cuantitativas entre ellas.

Ejemplo: Mateo tiene 5 caramelos y Ana tiene 2. ¿Cuántos caramelos tiene Mateo más que Ana?

Problemas de Igualación

Se caracterizan por ser problemas híbridos de comparación y cambio.

Ejemplo: Susana tiene 5 libros y Pablo 3. ¿Cuántos libros ha de comprar Pablo para tener los mismos que Susana?

Tipos de Problemas de Estructura Multiplicativa

Según el Tipo de Cantidades

Cantidades Extensivas:

Las cantidades extensivas expresan la extensión de una entidad o sustancia y se refieren a un conjunto, montón o trozo de esa entidad o sustancia. Dependen de la cantidad de materia que posee una entidad. Pueden diferenciarse las cantidades extensivas discretas y continuas en referencia a la clasificación tradicional de magnitudes.

Cantidades Intensivas:

Las cantidades intensivas son unidades compuestas, formadas por el cociente de dos cantidades extensivas y vienen expresadas por una unidad compuesta (ej. 60 km/h). A diferencia de las extensivas, no son aditivas. Ejemplos de cantidades intensivas son la densidad o la velocidad.

Según la Situación Representada

Problemas de Razón:

La razón que aparece en estos problemas caracteriza este grupo y le da el nombre. Aparece el cociente de dos magnitudes (cantidad intensiva; ej. caramelo/paquete, km/h) que se repiten un número de veces determinado (en relación con la unidad del denominador).

Problemas de Comparación:

Hay implicadas tres cantidades y tratamos de conocer una de ellas a partir de las otras dos.

Problemas de Combinación o Producto Cartesiano:

Problemas de Dos Etapas:

Los problemas en más de una etapa son problemas más complejos que contienen más de una situación de las señaladas anteriormente. Cada una de estas situaciones puede dar lugar a subproblemas diferentes.

Propiedades Fundamentales de las Operaciones Matemáticas

Propiedad Conmutativa

La propiedad conmutativa establece que cambiar el orden de dos números en una operación no afecta al resultado:

Conmutativa: a + b = b + a.

Propiedad Asociativa

La propiedad asociativa establece que reagrupar los números en una operación no afecta al resultado:

Asociativa: (a+b) + c = a + (b+c).

Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva establece que la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de los sumandos multiplicados por dicho número:

Distributiva: 2·(3+6) = 2·3 + 2·6.

Método Integrado de Resolución de Problemas Matemáticos (MIRPM)

Fase 1: Análisis, Comprensión y Familiarización con la Situación

Heurísticos:

Releer el enunciado e imaginar la situación.
Expresar el enunciado en otras palabras.
Realizar gráficos, diagramas o bien introducir una notación más adecuada.
Seleccionar el material adecuado.
Proponer un modelo manipulativo que facilite la resolución.
Determinar los datos, tanto explícitos como implícitos, así como las condiciones del problema.
Descomponer el problema en subproblemas o tareas intermedias, si fuese posible.
Analizar el contexto, conceptos y procesos relevantes.
Ejemplificar los casos generales y especiales o límite.
Delimitar el objetivo del problema.

Auto-instrucciones:

Los nervios no sirven de nada.
Debo afrontar el problema.
Los pensamientos negativos no me ayudan.
Ya resolví problemas parecidos.
No hay de qué preocuparse.

Fase 2: Búsqueda y Diseño de Estrategias de Solución

Heurísticos:

Recordar y explorar problemas similares en forma, datos o conclusión.
Simplificar el problema.
Estimar magnitudes o el resultado final. Conjeturar.
Descomponer el problema en otros subproblemas más sencillos.
Partir de casos particulares.
Proponer o deducir posibles contradicciones.
Asumir un resultado parcial, y a partir del mismo, generalizarlo a las condiciones iniciales.

Auto-instrucciones:

Si cometo errores, puedo corregirlos.
Voy a concentrarme, porque puedo resolver el problema.
Si estoy tenso, respiro y se me pasa.
Si no pienso en los nervios, desaparecen.
La tensión no puede conmigo.

Fase 3: Ejecución de la Estrategia

Heurísticos:

Registrar y explicar todos los pasos.
Explicar el orden de ejecución.
Resaltar los logros intermedios.
Interpretar correctamente y resaltar los resultados intermedios que han ayudado a resolver el problema.
Actuar con rigor, orden y precisión.
Controlar en cada momento el estado de ejecución.

Auto-instrucciones:

Si cometo errores, puedo corregirlos.
Voy a concentrarme, porque puedo resolver el problema.
Si estoy tenso, respiro y se me pasa.
Si no pienso en los nervios, desaparecen.
La tensión no puede conmigo.

Fase 4: Reflexión y Análisis del Proceso de Ejecución

Heurísticos:

Analizar la consistencia de la solución y del proceso.
Resolver de modo diferente.
Transferencia y generalización.

Auto-instrucciones:

Me haya salido bien o mal, he mejorado.
Disminuir los nervios me ha venido bien.
Mis compañeros me han ayudado mucho.
La próxima vez tengo que estar más tranquilo.
A la siguiente me va a salir.
Lo conseguí o casi.

Fase 5: Autoevaluación y Aprendizaje

Autoevaluación:

¿He aprendido algo?
¿Me han perjudicado mucho los nervios?
¿Me ha pasado algún bloqueo?
Pese a todo, ¿he conseguido controlarme?
Pase lo que pase, ¡estoy aquí para aprender!