Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica y Álgebra Lineal

Clase 1: Geometría Analítica Fundamental

Aunque no se presentan teoremas formales en esta sección, se exponen ideas clave para comprender los fundamentos de la geometría analítica en el espacio tridimensional (R³):

  • Una recta en R³ se determina por un punto y un vector director.
  • Un plano se determina por tres puntos no colineales, o por un punto y un vector normal.
  • La intersección de dos planos no paralelos es una recta.
  • Una recta en el espacio puede ser representada como la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales.

Clase 2: Producto Vectorial y Problemas Métricos

Definición: Producto Vectorial

Sean u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃) vectores en R³, su producto vectorial se define como:

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁)

Propiedades del Producto Vectorial:

  • u × v es ortogonal a u y a v.
  • La magnitud del producto vectorial es |u × v| = |u||v|sin(θ), donde θ es el ángulo entre u y v.

Aplicaciones Comunes:

  • Cálculo del área del paralelogramo generado por u y v.
  • Determinación de un vector normal a planos.

Clase 3: Ángulo entre Planos y Espacios Vectoriales

Teorema: Ángulo entre Planos

El ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre sus respectivos vectores normales.

Definición: Espacio Vectorial

Un conjunto V, junto con las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar, constituye un espacio vectorial si satisface los diez axiomas fundamentales (incluyendo asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro, inverso aditivo, etc.).

Clase 4: Subespacios Vectoriales y Suma

Teorema: Intersección de Subespacios

Sean W₁ y W₂ dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces, su intersección W₁ ∩ W₂ también es un subespacio de V.

Demostración:

  1. El vector cero (0) pertenece a W₁ y a W₂, por lo tanto, 0 ∈ W₁ ∩ W₂.
  2. Si u, v ∈ W₁ ∩ W₂, entonces u + v ∈ W₁ y u + v ∈ W₂. Consecuentemente, u + v ∈ W₁ ∩ W₂.
  3. Si u ∈ W₁ ∩ W₂ y α es un escalar, entonces αu ∈ W₁ y αu ∈ W₂. Por lo tanto, αu ∈ W₁ ∩ W₂.

Teorema: Suma de Subespacios

La suma de dos subespacios W₁ y W₂, definida como W₁ + W₂ = {w₁ + w₂ | w₁ ∈ W₁, w₂ ∈ W₂}, es también un subespacio de V.

Demostración:

  1. El vector cero (0) puede expresarse como 0 = 0 + 0, donde 0 ∈ W₁ y 0 ∈ W₂. Por lo tanto, 0 ∈ W₁ + W₂.
  2. Si v₁ = w₁ + w₂ y v₂ = w₁’ + w₂’ (con w₁, w₁’ ∈ W₁ y w₂, w₂’ ∈ W₂), entonces v₁ + v₂ = (w₁ + w₁’) + (w₂ + w₂’). Dado que W₁ y W₂ son subespacios, (w₁ + w₁’) ∈ W₁ y (w₂ + w₂’) ∈ W₂. Así, v₁ + v₂ ∈ W₁ + W₂.
  3. Si v₁ = w₁ + w₂ y α es un escalar, entonces αv₁ = αw₁ + αw₂. Como W₁ y W₂ son subespacios, αw₁ ∈ W₁ y αw₂ ∈ W₂. Por lo tanto, αv₁ ∈ W₁ + W₂.

Clase 5: Conjuntos Generadores y Dependencia Lineal

Teorema: Caracterización de Independencia Lineal

Un conjunto de vectores {v₁, …, vₙ} es linealmente independiente (LI) si y solo si la única solución de la ecuación vectorial:

λ₁v₁ + ⋯ + λₙvₙ = 0

es la solución trivial, es decir, λ₁ = ⋯ = λₙ = 0.

Teorema: Caracterización de Dependencia Lineal

Un conjunto de vectores {v₁, …, vₙ} es linealmente dependiente (LD) si y solo si existe al menos un vector vᵢ en el conjunto que puede expresarse como una combinación lineal de los otros vectores.

Relación con Sistemas Homogéneos:

Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo A·x = 0 tiene más incógnitas que ecuaciones, entonces posee infinitas soluciones, lo que implica que los vectores columna de la matriz A son linealmente dependientes.

Teorema: Criterio para Matrices Cuadradas

  • Si el determinante de una matriz cuadrada A es distinto de cero (det(A) ≠ 0), entonces las columnas de A son linealmente independientes (LI).
  • Si el determinante de una matriz cuadrada A es igual a cero (det(A) = 0), entonces las columnas de A son linealmente dependientes (LD).

Clase 6: Base y Dimensión de Espacios Vectoriales

Teoremas de Caracterización de Bases y Dimensión

  1. En un espacio vectorial de dimensión n:
    • Cualquier conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente (LD).
    • Cualquier conjunto con menos de n vectores no puede generar el espacio vectorial completo.
    • Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes (LI) es una base del espacio.
    • Cualquier conjunto de n vectores que genera el espacio es una base del mismo.
  2. Todo conjunto linealmente independiente (LI) con menos de n vectores en un espacio de dimensión n puede extenderse para formar una base.

Clase 7: Suma Directa de Subespacios

Teorema: Suma Directa

La suma de dos subespacios W₁ y W₂ es una suma directa, denotada como W₁ ⊕ W₂, si se cumplen las siguientes dos condiciones:

  1. La intersección de los subespacios es únicamente el vector cero: W₁ ∩ W₂ = {0}.
  2. Todo vector v perteneciente a la suma W₁ + W₂ puede escribirse de forma única como v = w₁ + w₂, donde w₁ ∈ W₁ y w₂ ∈ W₂.

Clase 8: Coordenadas y Cambio de Base

Teorema Fundamental de Coordenadas

  • Todo vector en un espacio vectorial tiene una representación única como combinación lineal de los vectores de una base dada.
  • El proceso de cambio de coordenadas entre diferentes bases se realiza mediante una matriz de cambio de base específica.

Clase 9: Aplicaciones Lineales

Teorema: Criterios para una Aplicación Lineal

Una transformación T: V → W es una aplicación lineal si y solo si satisface las siguientes dos propiedades:

  • Aditividad: T(u + v) = T(u) + T(v) para todo u, v ∈ V.
  • Homogeneidad: T(αv) = αT(v) para todo escalar α y todo v ∈ V.

Teorema: Determinación de una Aplicación Lineal

Si se conoce la acción de una transformación lineal T sobre los vectores de una base del espacio vectorial V, entonces la aplicación T está completamente determinada para cualquier vector en V.

Clase 10: Núcleo, Imagen, Inyectividad y Biyectividad de Aplicaciones Lineales

Teorema: Propiedades del Núcleo y la Imagen

  • El Núcleo (o Kernel) de una aplicación lineal T, denotado como Núcleo(T) = {v ∈ V | T(v) = 0}, es un subespacio del espacio de partida V.
  • La Imagen de una aplicación lineal T, denotada como Imagen(T) = {w ∈ W | ∃v ∈ V : T(v) = w}, es un subespacio del espacio de llegada W.

Teorema: Criterio de Inyectividad

Una aplicación lineal T es inyectiva (o uno a uno) si y solo si su Núcleo es el subespacio trivial: Núcleo(T) = {0}.

Teorema: Criterio de Sobreyectividad

Una aplicación lineal T es sobreyectiva (o exhaustiva) si y solo si su Imagen es igual al codominio (espacio de llegada W): Imagen(T) = W.

Teorema: Criterio de Biyectividad

Una aplicación lineal T es biyectiva si y solo si es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva.

Teorema: Criterio de Invertibilidad

Una aplicación lineal T es invertible si y solo si es biyectiva.