Aplicaciones Prácticas del Contraste de Hipótesis en Estadística
Evaluación de un Nuevo Método de Producción de Lámparas Eléctricas
Planteamiento del Problema
Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población con distribución normal de duración media μ = 2400 horas, con una desviación típica σ = 300. Se toma una muestra de n = 100 lámparas producidas por este método, y esta muestra da una duración media de x̄ = 2320 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un riesgo igual o menor al 5% (nivel de significación α = 0.05)?
Formulación de Hipótesis
Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
Hipótesis Nula (H0): μ = 2400 (La duración media es 2400 horas)
Hipótesis Alternativa (H1): μ ≠ 2400 (La duración media es diferente de 2400 horas)
Se trata de un contraste bilateral.
Definición de la Zona de Aceptación
Para un nivel de significación α = 0.05, le corresponde un valor crítico zα/2 = 1.96.
Determinamos el intervalo de confianza para la media (que define la zona de aceptación):
La zona de aceptación es el intervalo (2341.2, 2458.8).
Verificación con la Muestra
El valor obtenido de la media de la muestra es x̄ = 2320.
Decisión Final
Comparamos la media muestral con la zona de aceptación: 2320 no pertenece al intervalo (2341.2, 2458.8).
Decisión: Rechazamos la hipótesis nula H0 con un nivel de significación del 5%.
Conclusión: Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la duración media de las lámparas producidas con el nuevo método no es de 2400 horas, con un riesgo de error del 5%.
Contraste de Hipótesis: Tiempo Medio en 100m Decathlon
Planteamiento del Problema y Datos Muestrales
Se sabe por experiencia que el tiempo obtenido por los participantes olímpicos de la prueba de 100 metros, en la modalidad de decathlon, es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media μ = 12 segundos y desviación típica σ = 1.5 segundos. Para contrastar, con un nivel de significación α = 0.05, si no ha variado el tiempo medio en la última Olimpiada, se extrajo una muestra aleatoria de n = 10 participantes y se anotó el tiempo obtenido por cada uno, con los resultados siguientes (en segundos):
- 13
- 12
- 11
- 10
- 11
- 11
- 9
- 10
- 12
- 11
a) Hipótesis Nula y Alternativa del Contraste
Hipótesis Nula (H0): μ = 12 (El tiempo medio no ha variado)
Hipótesis Alternativa (H1): μ ≠ 12 (El tiempo medio ha variado)
Es un contraste bilateral.
b) Determinación de la Región Crítica
La región crítica o de rechazo corresponde a los valores del estadístico de contraste que son suficientemente extremos como para rechazar H0. Para α = 0.05 y un contraste bilateral, los valores críticos son zα/2 = ±1.96. La región crítica estará definida por los valores fuera del intervalo de aceptación.
c) Realización del Contraste
Se necesita calcular la media muestral (x̄) y el estadístico de contraste.
d) Explicación de los Errores Tipo I y Tipo II en Contexto
Error Tipo I (α): Consiste en rechazar la hipótesis nula (H0) cuando en realidad es verdadera. En este contexto, significaría concluir que el tiempo medio ha variado (μ ≠ 12), cuando en realidad no lo ha hecho (μ = 12).
Error Tipo II (β): Consiste en aceptar (no rechazar) la hipótesis nula (H0) cuando en realidad es falsa. En este contexto, significaría concluir que el tiempo medio no ha variado (μ = 12), cuando en realidad sí ha cambiado (μ ≠ 12).
Estudio del Tiempo Medio de Espera en Urgencias
Planteamiento del Problema
Se ha comprobado que el tiempo de espera (en minutos) hasta ser atendido, en cierto servicio de urgencias, sigue un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra de n = 100 personas que fueron atendidas en dicho servicio, se ha calculado un tiempo medio de espera muestral x̄ = 14.25 minutos y una desviación típica muestral s = 2.5 minutos (asumimos que es una buena estimación de σ o usamos t-student si σ es desconocida, aunque con n=100 la normal es buena aproximación).
a) Contraste con Nivel de Significación del 5% (α = 0.05)
¿Podríamos afirmar, con un nivel de significación α = 0.05, que el tiempo medio de espera (μ) en ese servicio de urgencias no es de 15 minutos?
Hipótesis Nula (H0): μ = 15
Hipótesis Alternativa (H1): μ ≠ 15 (Contraste bilateral)
b) Contraste con Nivel de Significación del 0.1% (α = 0.001)
¿Qué podríamos concluir si el nivel de significación hubiese sido α = 0.001?
Se repite el contraste con un nivel de exigencia mayor (menor α).
c) Comparación y Justificación
¿Existe contradicción en ambas situaciones? Justifica las respuestas.
Se debe analizar si la decisión (aceptar o rechazar H0) cambia al modificar el nivel de significación y explicar por qué.
Verificación del Tiempo Medio de Empleo en una Fábrica
Planteamiento del Problema
Una encuesta, realizada a n = 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma era de x̄ = 6.5 años, con una desviación típica s = 4 (usada como estimación de σ). ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación α = 0.05, que el tiempo medio de empleo (μ) en esa fábrica es menor o igual que 6 años?
Justifica adecuadamente la respuesta.
1. Formulación de Hipótesis (Nula H0 y Alternativa H1)
Hipótesis Nula: H0: μ ≤ 6 (El tiempo medio es menor o igual a 6 años)
Hipótesis Alternativa: H1: μ > 6 (El tiempo medio es mayor a 6 años)
Tenemos un contraste unilateral (a la derecha).
2. Identificación de la Distribución y Datos Muestrales
No conocemos la distribución de la población, pero dado que la muestra es n = 64 > 30, por el Teorema Central del Límite, la media muestral sigue aproximadamente una distribución normal. Usamos la media muestral x̄ = 6.5 y la desviación típica s = 4.
La distribución de la media muestral bajo H0 (considerando el caso límite μ=6) es aproximadamente:
3. Construcción de Regiones de Aceptación y Rechazo
Partimos de un nivel de significación α = 0.05 y, dado que tenemos un contraste unilateral, emplearemos el valor crítico zα. Para α = 0.05, z0.05 = 1.645.
La región de aceptación para H0 corresponde a valores del estadístico de contraste menores o iguales al valor crítico (o, equivalentemente, medias muestrales por debajo de un cierto umbral).
Calculamos el umbral para la media muestral:
La región de aceptación es (-∞, 6.8225]. La región de rechazo es (6.8225, +∞).
4. Cálculo del Estadístico de Contraste y Verificación
El estadístico de contraste que vamos a emplear es la media muestral: x̄ = 6.5.
Verificamos si pertenece a la región de aceptación: 6.5 ∈ (-∞, 6.8225].
El estadístico de contraste (la media muestral) pertenece a la región de aceptación.
5. Interpretación de la Decisión
Como el estadístico de contraste pertenece a nuestra región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula H0 (o, más precisamente, no tenemos evidencia suficiente para rechazarla).
Podemos aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de duración del empleo es menor o igual a 6 años.
Repetición: Verificación del Tiempo Medio de Empleo en una Fábrica
1. Formulación de Hipótesis (Nula H0 y Alternativa H1)
Hipótesis Nula: H0: μ ≤ 6
Hipótesis Alternativa: H1: μ > 6
Tenemos un contraste unilateral.
2. Identificación de la Distribución y Datos Muestrales
No conocemos la distribución de la población, pero dado que la muestra es n = 64 > 30, con media x̄ = 6.5 y desviación típica s = 4, podemos concluir que la media muestral sigue aproximadamente la siguiente distribución (bajo H0, μ=6):
3. Construcción de Regiones de Aceptación y Rechazo
Partimos de un nivel de significación α = 0.05 y, dado que tenemos un contraste unilateral, emplearemos zα = z0.05 = 1.645. La región de aceptación sería:
Región de Aceptación: (-∞, 6.8225].
4. Cálculo del Estadístico de Contraste y Verificación
El estadístico de contraste es la media muestral: x̄ = 6.5.
6.5 ∈ (-∞, 6.8225] ⇒ El estadístico de contraste pertenece a la región de aceptación.
5. Interpretación de la Decisión
Como el estadístico de contraste pertenece a nuestra región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula H0.
Podemos aceptar que el tiempo medio de duración del empleo es igual o menor a 6 años.
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