Campos Escalares y Funciones de Varias Variables

Campos Escalares

Introducción

Una cantidad escalar se define por su magnitud, es decir, su valor numérico en una escala específica. Ejemplos de escalares incluyen longitud, temperatura y precio. El concepto de campo escalar surgió en el siglo XIX para describir fenómenos como la distribución de temperaturas, presiones en fluidos, potencial electrostático y densidad de población. Los campos escalares se representan mediante funciones que definen la magnitud en cada punto del espacio.

Funciones Reales de n Variables

Una función real de n variables reales es una aplicación f: S⊆Rⁿ -> R que asigna a cada punto x=(x₁,x₂,…,x_n) en el conjunto S un único valor real y. El conjunto S se denomina dominio de la función f.

Dominio de un Campo Escalar

El dominio de una función real de varias variables es el conjunto de puntos x=(x₁,x₂,…,x_n) para los cuales la función tiene un valor real definido.

Límites y Continuidad

Una función f(x) tiene un límite L cuando x tiende a x^* si para cada ε>0 existe un δ(ε, x^*)>0 tal que |f(x)-L|<ε siempre que 0<|x-x^*|<δ. Una función f(x) es continua en x^* si el límite de f(x) cuando x tiende a x^* es igual a f(x^*).

Derivadas Parciales

La derivada parcial de una función f(x,y) con respecto a x en un punto (x₀, y₀) se define como:

∂f/∂x|(x₀,y₀) = lim_Δx->0 [f(x₀+Δx, y₀)-f(x₀,y₀)]/Δx

De manera similar, se define la derivada parcial con respecto a y.

Interpretación Geométrica

Las derivadas parciales representan la pendiente de la recta tangente a la curva formada por la intersección de la superficie que representa la función con un plano paralelo al eje x o y.

Derivadas Sucesivas

Las derivadas parciales de segundo orden se obtienen al derivar las derivadas parciales de primer orden. Si las derivadas involucradas son continuas, las derivadas parciales cruzadas (f_xy y f_yx) son iguales.

Derivada Direccional

La derivada direccional de un campo escalar f en un punto a en la dirección de un vector unitario y se define como:

f'(a;y) = lim_h->0 [f(a+hy)-f(a)]/h

Teorema del Valor Medio (TVM)

El TVM establece que el error en una magnitud calculada en función de otras variables es igual a la suma de los productos de los errores en las variables multiplicados por las respectivas derivadas parciales.

Derivadas de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena

La regla de la cadena se utiliza para calcular la derivada de una función compuesta. Si F(t) = f(x(t), y(t)), entonces:

dF/dt = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt

Teorema de la Función Implícita

El teorema de la función implícita establece que si f(x,y) = 0 y ∂f/∂y|(x₀,y₀) ≠ 0, entonces existe una función y(x) tal que f(x,y(x)) = 0 en un entorno de x₀.

Puntos Críticos

Un punto crítico es un punto en el dominio de una función donde el plano tangente es horizontal, es decir, las derivadas parciales son cero.

Máximos y Mínimos

Un máximo relativo ocurre en un punto (x₀,y₀) si f(x,y) ≤ f(x₀,y₀) para todos los puntos (x,y) en un entorno de (x₀,y₀). Un mínimo relativo se define de manera similar.