Conceptos Clave y Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

Conceptos Fundamentales de la Derivada

Definición de Derivada

La derivada de la función f en el punto x₀ ∈ Dom(f) se define como:

f'(x₀) = y'(x₀) = lim_h→0 [f(x₀+h)-f(x₀)]/h

El límite es una indeterminación 0/0. Si es finito, f es derivable en x₀.

Relación entre Continuidad y Derivabilidad

Si f es derivable en x₀, entonces f es continua en x₀.

Hipótesis: f'(x₀) = lim_x→x₀ [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀) = A

Tesis: lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)

Demostración:

f(x) = f(x)-f(x₀)+f(x₀)

f(x) = [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀) * (x-x₀) + f(x₀)

lim_x→x₀ f(x) = lim_x→x₀ [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀) * lim_x→x₀ (x-x₀) + lim_x→x₀ f(x₀)

lim_x→x₀ f(x) = A * 0 + f(x₀)

lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)

Relación entre Derivada y Derivadas Laterales

Existe f'(x₀)=A ↔ Existe f’₊(x₀) = f’_–(x₀) = A.

Definición 1: f es derivable en (a, b) si f es derivable para todo x ∈ (a, b).

Definición 2: f es derivable en [a, b] si f es derivable en (a, b) y existe f’₊(a) y existe f’_–(b).

Función Derivada

Dada f: A→B, se define la función derivada como:

f’: A – {x / no existe f'(x)} → ℝ

f'(x) = lim_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h

Ejemplo: Derivada del Valor Absoluto

Consideremos la función f(x) = |x-2|. Para x₀=2:

lim_h→0 [|2+h-2|-0]/h = lim_h→0 |h|/h

Por límites laterales (1; -1), no existe lim_h→0 |h|/h. Por lo tanto, no existe la pendiente de la tangente (m_tg) en x₀=2.

Reglas de Derivación Fundamentales

Suma/Resta: (f ± g)’ = f’ ± g’
Producto: (f * g)’ = f’ * g + f * g’
Cociente: (f / g)’ = (f’ * g – f * g’) / g²
Constante por Función: (c * f)’ = c * f’
Función dividida por Constante: (f / c)’ = (1/c) * f’

Regla de la Derivada Inversa

Sea f, con y=f(x), una función que posee función inversa x=f⁻¹(y) y f'(x) ≠ 0. Entonces, existe [f⁻¹(y)]’ = 1/f'(x).

Otras notaciones:

dx/dy = 1/(dy/dx)
x'(y) = 1/f'(x)
y'(x) = 1/f'(y)

Regla de la Cadena

Sean y = g(u) donde u = f(x). Si existe g'(u) = dy/du y existe f'(x) = du/dx, entonces existe dy/dx = g'(u) * u’ = g'(f(x)) * f'(x).

Derivadas Sucesivas

f'(x) = lim_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h = dy/dx

f»(x) = lim_h→0 [f'(x+h)-f'(x)]/h = d²y/dx²

Derivación Logarítmica

Si y = [f(x)]^g(x), entonces ln(y) = ln([f(x)]^g(x)) → ln(y) = g(x) * ln(f(x)). Luego, se aplica derivación implícita.

Interpretación Geométrica de la Derivada

La derivada de una función en un punto se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

¿Qué puede pasar con el límite?

Existe y es finito: En ese caso, m_tg = f'(x₀).
Existe y es infinito: m_tg = ∞ → Recta tangente vertical.
No existe: La recta tangente no existe.

Definición de Recta Tangente

Se define la recta tangente a la curva de ecuación y=f(x) en el punto P(x₀, y₀) como:

y – y₀ = f'(x₀)(x – x₀)
x = x₀ (para tangentes verticales)

Puntos donde la Derivada No Existe

Puntos de discontinuidad
Puntos cuspidales
Puntos angulares
Puntos con recta tangente vertical

Recta Normal

La recta normal es perpendicular a la recta tangente. Su pendiente es: m_n = -1/m_tg.

Diferencial de una Función

Sea f derivable en x, con y=f(x). Se define el diferencial de la variable independiente como dx = Δx, y el diferencial de la variable dependiente dy = f'(x) * Δx = f'(x) * dx.

Para diferenciales sucesivos: dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x) * (dx)ⁿ.

Aplicaciones del Diferencial

El diferencial se utiliza para el cálculo aproximado del valor de una función:

f(x₀+Δx) ≈ f(x₀) + dy = f(x₀) + f'(x₀) * dx

Variación aproximada de una función: dy = f'(x₀) * dx.

Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

Teorema de Rolle

Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), y f(a)=f(b). Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que f'(c)=0.

Teorema del Valor Medio de Lagrange (TVMDL)

Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = [f(b)-f(a)]/[b-a].

Interpretación Geométrica

Si trazamos la recta secante a la curva que pasa por P(a, f(a)) y Q(b, f(b)), vemos que su pendiente es [f(b)-f(a)]/[b-a]. Por otro lado, f'(c) es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto R(c, f(c)). El teorema afirma que m_tg = m_sec, es decir, las pendientes de ambas rectas son iguales.

Demostración

Construimos una función auxiliar g(x) = f(x) + k(x-a), donde k es una constante que debemos determinar para que g verifique el Teorema de Rolle en el intervalo [a, b].

¿g es continua en [a, b]? Sí, porque g está formada por f (que es continua por hipótesis) y una función lineal (que también es continua).
¿g es derivable en (a, b)? Sí, porque g está formada por f (que es derivable por hipótesis) y una función lineal (que siempre es derivable).
¿g(a)=g(b)? Queremos encontrar k para que verifique esta condición:
- g(a) = f(a) + k(a-a) → g(a) = f(a)
- g(b) = f(b) + k(b-a)
Para g(a)=g(b) → f(a) = f(b) + k(b-a) → k = [f(a)-f(b)]/(b-a).

Así, g(x) = f(x) + [f(a)-f(b)]/(b-a) * (x-a).

Como g verifica el Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que g'(c)=0.

Derivamos g y luego reemplazamos:

g'(x) = f'(x) + [f(a)-f(b)]/(b-a)

0 = f'(c) + [f(a)-f(b)]/(b-a)

f'(c) = – [f(a)-f(b)]/(b-a)

f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a).

Corolarios del Teorema del Valor Medio

Si f es una función tal que f'(x)=0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es una función constante para todo x ∈ (a, b).
Demostración: Debemos ver que f es constante ↔ para todo x₁, x₂ ∈ (a, b), f(x₁) = f(x₂).
Sean x₁, x₂ ∈ (a, b). Vemos si se puede aplicar el TVMDL a f en el intervalo [x₁, x₂] ⊂ (a, b).
Por hipótesis, sabemos que f'(x)=0 para todo x ∈ (a, b).
- ¿Será derivable en (x₁, x₂)? Por hipótesis, sabemos que es derivable en (a, b), entonces será derivable en [x₁, x₂] ⊂ (a, b).
- ¿Será continua en [x₁, x₂]? Sí, porque al ser derivable en (x₁, x₂), entonces es continua en [x₁, x₂].
Entonces, existe c ∈ (x₁, x₂) tal que f'(c) = [f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁).
Por hipótesis, f'(c)=0.
Entonces, [f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁)=0. Para que el cociente sea 0, el numerador debe ser 0 → f(x₂)-f(x₁)=0 → f(x₂)=f(x₁) → f es constante.
Si f y g tienen la misma derivada en (a, b), entonces f y g difieren en una constante.
Sean f y g tales que f'(x)=g'(x) para todo x ∈ (a, b). Este corolario recibe el nombre de Teorema Fundamental del Cálculo Integral.
Demostración: Consideramos una función h(x) = f(x)-g(x). Veamos si verifica el corolario anterior.
h'(x) = f'(x)-g'(x) = 0 (por hipótesis).
Entonces, h(x)=k (por el corolario anterior).
Por lo tanto, k = f(x)-g(x) → f(x) = g(x)+k.

Teorema de Cauchy

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que [f(b)-f(a)]g'(c) = [g(b)-g(a)]f'(c). Si g'(c) ≠ 0 y g(b) ≠ g(a), esto se puede expresar como f'(c)/g'(c) = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)].

Demostración

Caso 1: g(b) ≠ g(a)
Construimos una función auxiliar h(x) = f(x) + k*g(x), donde k es una constante que queremos determinar para que la función h verifique el Teorema de Rolle.
- ¿h es continua en [a, b]? Sí, porque h está formada por la suma de f y g, y por hipótesis f y g son continuas.
- ¿h es derivable en (a, b)? Sí, porque h está formada por dos funciones las cuales por hipótesis lo son.
- ¿h(a)=h(b)?
  - h(a) = f(a) + k*g(a)
  - h(b) = f(b) + k*g(b)
  Para h(a)=h(b) → f(a) + k*g(a) = f(b) + k*g(b) → k*g(a) – k*g(b) = f(b) – f(a) → k(g(a)-g(b)) = f(b)-f(a) → k = [f(b)-f(a)]/[g(a)-g(b)].
Como h verifica el Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que h'(c)=0.
h'(x) = f'(x) + k*g'(x)
0 = f'(c) + k*g'(c)
f'(c) = -k*g'(c)
f'(c) = -([f(b)-f(a)]/[g(a)-g(b)]) * g'(c)
f'(c) = ([f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]) * g'(c)
[g(b)-g(a)]f'(c) = [f(b)-f(a)]g'(c).
Caso 2: g(a)=g(b)
Si g(a)=g(b), por el Teorema de Rolle aplicado a g, existe c ∈ (a, b) tal que g'(c)=0.
Sustituyendo en la expresión del Teorema de Cauchy: [f(b)-f(a)]g'(c) = [g(b)-g(a)]f'(c)
[f(b)-f(a)] * 0 = [0] * f'(c)
0 = 0.
La igualdad se cumple trivialmente.

Derivación en Coordenadas Especiales

Derivada Paramétrica

Sean x=f(t) y y=g(t) para t ∈ I las ecuaciones paramétricas. Si existen f'(t), g'(t) y f'(t) ≠ 0, y existe la inversa de x=f(t) dada por t=f⁻¹(x), entonces existe dy/dx = g'(t)/f'(t).

Demostración: Sean y=g(t) y t=f⁻¹(x). Por la regla de la cadena:

dy/dx = (dy/dt) * (dt/dx) = (dy/dt) * (1/(dx/dt)) = g'(t)/f'(t).

Derivada Polar

dy/dx = [f'(θ) sen(θ) + f(θ) cos(θ)] / [f'(θ) cos(θ) – f(θ) sen(θ)]

Estudio de la Variación de Funciones

Monotonía de Funciones

Si f es creciente en su dominio si y solo si para todo x₁, x₂ ∈ Dom(f) con x₁ < x₂, entonces f(x₁) < f(x₂).

Si f es decreciente en su dominio si y solo si para todo x₁, x₂ ∈ Dom(f) con x₁ < x₂, entonces f(x₁) > f(x₂).

Criterio de la Primera Derivada para Monotonía

Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b).

Si f'(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente en [a, b].
Si f'(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].

Demostración de a): Para todo x₁, x₂ ∈ [a, b] con x₁ < x₂. Por el TVMDL, existe c ∈ (x₁, x₂) tal que f'(c) = [f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁).

Por hipótesis del caso a), f'(c) > 0. Como x₂-x₁ > 0, entonces f(x₂)-f(x₁) > 0 → f(x₂) > f(x₁). La función crece.

Para determinar intervalos de monotonía, se buscan los puntos donde f'(x)=0 o donde no existe f'(x).

Extremos de Funciones

Definiciones de Extremos

f(c) es un Máximo Relativo (MR) si y solo si f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ E(c, δ) (un entorno de c).
f(c) es un Mínimo Relativo (mr) si y solo si f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ E(c, δ).
f(c) es un Máximo Absoluto (Mabs) si y solo si f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ Dom(f).
f(c) es un Mínimo Absoluto (mabs) si y solo si f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ Dom(f).

Puntos Críticos

Definición: El punto c es un punto crítico de f si y solo si c ∈ Dom(f) y (no existe f'(c) o f'(c)=0).

Teorema: Relación entre Extremos Relativos y Puntos Críticos

Si f(c) es un Extremo Relativo (ER), entonces c es un punto crítico.

Hipótesis: f(c) es un ER.

Suponemos que f(c) es un MR ↔ f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ E(c, δ).

Ahora, en c puede ser que no exista f'(c) (Caso 1) o f'(c)=0 (Caso 2).

Consideremos f'(c) = lim_x→c⁻ [f(x)-f(c)]/(x-c) = f’_–(c).

Si x < c → x-c < 0. Como f(x) ≤ f(c) → f(x)-f(c) ≤ 0.

Entonces, [f(x)-f(c)]/(x-c) ≥ 0. Por lo tanto, f’_–(c) ≥ 0.

Consideremos f'(c) = lim_x→c⁺ [f(x)-f(c)]/(x-c) = f’₊(c).

Si x > c → x-c > 0. Como f(x) ≤ f(c) → f(x)-f(c) ≤ 0.

Entonces, [f(x)-f(c)]/(x-c) ≤ 0. Por lo tanto, f’₊(c) ≤ 0.

Si existe f'(c), entonces f’_–(c) = f’₊(c) = f'(c). Esto implica que f'(c) = 0.

Suponemos que f(c) es un mr ↔ f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ E(c, δ).

Ahora, en c puede ser que no exista f'(c) (Caso 1) o f'(c)=0 (Caso 2).

Consideremos f'(c) = lim_x→c⁻ [f(x)-f(c)]/(x-c) = f’_–(c).

Si x < c → x-c < 0. Como f(c) ≤ f(x) → 0 ≤ f(x)-f(c).

Entonces, [f(x)-f(c)]/(x-c) ≤ 0. Por lo tanto, f’_–(c) ≤ 0.

Consideremos f'(c) = lim_x→c⁺ [f(x)-f(c)]/(x-c) = f’₊(c).

Si x > c → x-c > 0. Como f(c) ≤ f(x) → 0 ≤ f(x)-f(c).

Entonces, [f(x)-f(c)]/(x-c) ≥ 0. Por lo tanto, f’₊(c) ≥ 0.

Si existe f'(c), entonces f’_–(c) = f’₊(c) = f'(c). Esto implica que f'(c) = 0.

Criterio de la Variación del Signo de la Primera Derivada

Sea f continua en E(c, δ) y c es un punto crítico de f.

Si f'(x) > 0 en (c-δ, c) y f'(x) < 0 en (c, c+δ), entonces f(c) es un Máximo Relativo.
Si f'(x) < 0 en (c-δ, c) y f'(x) > 0 en (c, c+δ), entonces f(c) es un Mínimo Relativo.
Si f'(x) > 0 para todo x ∈ E*(c, δ) o f'(x) < 0 para todo x ∈ E*(c, δ), entonces f(c) no es un Extremo Relativo.

Demostración de a):

f es continua en [c-δ, c] y derivable en (c-δ, c).

Si f'(x) > 0 en (c-δ, c), entonces f es creciente en [c-δ, c]. Si x ∈ [c-δ, c], entonces f(x) ≤ f(c) (1).

f es continua en [c, c+δ] y derivable en (c, c+δ).

Si f'(x) < 0 en (c, c+δ), entonces f es decreciente en [c, c+δ]. Si x ∈ [c, c+δ), entonces f(x) ≤ f(c) (2).

De (1) y (2), f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ E(c, δ). Por lo tanto, f(c) es un Máximo Relativo.

Demostración de b):

f es continua en [c-δ, c] y derivable en (c-δ, c).

Si f'(x) < 0 en (c-δ, c), entonces f es decreciente en [c-δ, c]. Si x ∈ (c-δ, c), entonces f(x) ≥ f(c) (1).

f es continua en [c, c+δ] y derivable en (c, c+δ).

Si f'(x) > 0 en (c, c+δ), entonces f es creciente en [c, c+δ]. Si x ∈ [c, c+δ), entonces f(x) ≥ f(c) (2).

De (1) y (2), f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ E(c, δ). Por lo tanto, f(c) es un Mínimo Relativo.

Demostración de c):

Suponemos f'(x) > 0 en (c-δ, c+δ). Entonces f es creciente en (c-δ, c+δ).

Si x ≤ c, f(c) ≥ f(x). Si c ≤ x, f(c) ≤ f(x).

Esto significa que f(c) no es un Extremo Relativo, ya que la función sigue creciendo a través de c.

Criterio de la Segunda Derivada

Sea f derivable en E(c, δ) y f'(c)=0.

Si f»(c) > 0, entonces f(c) es un Mínimo Relativo.
Si f»(c) < 0, entonces f(c) es un Máximo Relativo.
Si f»(c) = 0, el criterio no decide.

Para la demostración, se utiliza la definición de f»(c) = lim_x→c [f'(x) – f'(c)]/(x-c) y las propiedades de los límites.

Concavidad y Puntos de Inflexión

Definición de Concavidad

El gráfico de f es cóncavo hacia arriba en (a, b) si y solo si para todo x₀ ∈ (a, b), f(x) > f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀) para todo x ∈ E*(x₀, δ).

El gráfico de f es cóncavo hacia abajo en (a, b) si y solo si para todo x₀ ∈ (a, b), f(x) < f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀) para todo x ∈ E*(x₀, δ).

Teorema de Concavidad

Sea f tal que existe f»(x) en (a, b).

Si f»(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a, b).
Si f»(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a, b).