Conceptos Esenciales de Geometría y Estadística: Un Recorrido Matemático

Conceptos Fundamentales de Geometría

Polígonos y sus Propiedades

A continuación, se abordan preguntas clave sobre los polígonos y sus características:

  1. ¿Qué es un polígono?
  2. ¿Qué es un polígono regular?
  3. Sabemos que los polígonos regulares se pueden dividir en triángulos. ¿En qué tipo de triángulos?
  4. ¿Existe alguna excepción de polígono regular en la que el tipo de triángulo sea distinto?
  5. Si «n» son los lados del polígono, ¿cuántos triángulos, como mínimo, tendrá el polígono?

Definiciones y Características

  • a) Polígono: Se define como la porción del plano limitada por una línea poligonal simple cerrada, que incluye esta línea.
  • b) Polígono Regular: Se dice que un polígono es regular cuando es equilátero y equiángulo, es decir, todos sus lados y ángulos son iguales.
  • c) División en Triángulos: Una característica común a todos los polígonos regulares es que se pueden dividir en triángulos isósceles uniendo el centro con todos los vértices del polígono.
    • Excepción: En el hexágono regular, estos triángulos son equiláteros.
  • d) Número de Triángulos: Si «n» son los lados del polígono, al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtienen (n-2) triángulos.

Conceptos de Frontera y Región en Geometría

Actividades Didácticas y Definiciones

Explica qué actividades desarrollarías en el aula para trabajar los conceptos de frontera y región, y define estos dos conceptos.

En la Capacidad 5: «Líneas y superficies abiertas y cerradas. Profundizar las nociones de > y >, relacionándolas con los conceptos de frontera y región».

Actividades y Ejemplos Prácticos

  • En el espacio: La frontera será una superficie cerrada.
    • Materiales y Ejemplos:
      • Una caja tapada (región: dentro de la caja, fuera de la caja).
      • Un armario (o cualquier otro ejemplo visto en clase).
  • En el caso de las superficies: La frontera vendrá determinada por una línea cerrada.
    • Ejemplos:
      • La circunferencia del círculo central del campo de fútbol (región: dentro y fuera del círculo).
      • Diagrama de Venn (o cualquier otro ejemplo visto en clase).
  • Cuando se trate de líneas: La frontera vendrá determinada por un punto en el caso de líneas abiertas, y por dos puntos no consecutivos en el caso de líneas cerradas (por ejemplo, establecer dos tramos en las bolas de un collar abierto o cerrado).

Definiciones Clave

  • Frontera: Conjunto de puntos que separa en dos regiones claramente diferenciadas (interior y exterior) una línea, una superficie o un espacio, y que es necesario atravesar para ir de una región a otra.
  • Región: Es la línea, superficie o espacio que quedan separados por la frontera (región interior – región exterior).

Tipos de Variables Estadísticas

Clasificación y Descripción

¿Qué tipos de variables estadísticas existen? Descríbelas.

  • Variables Cualitativas: No se pueden precisar numéricamente.
  • Variables Cuantitativas: Determinadas por una cantidad numérica. En este caso, pueden ser:
    • Continuas: La variable puede tomar muchos valores diferentes y, por tanto, es recomendable agruparlos (ej. altura, peso).
    • Discretas: Puede tomar pocos valores y no es necesario el agrupamiento (ej. número de hermanos, cantidad de coches).

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Espacio Muestral y Suceso

Define Espacio Muestral y Suceso.

  • Espacio Muestral (Ω): Se define como el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Este conjunto se representa comúnmente por la letra griega Omega (Ω).
  • Suceso: Cualquier subconjunto del espacio muestral se denomina suceso.

Movimientos Rígidos o Isometrías en Geometría

Definición y Tipos

¿Qué es un movimiento rígido o Isometría? Nombra, define y representa los movimientos rígidos que conozcas, tal y como lo has visto en clase.

Un Movimiento Rígido o Isometría es una transformación geométrica que conserva las dimensiones (forma y tamaño) de las figuras.

Los movimientos rígidos o isometrías son:

  • Traslaciones
  • Rotaciones (o Giros)
  • Simetrías Axiales

Tipos de Isometrías

Traslación

Consideraremos una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

Alternativamente, una Traslación de vector v (representado como $\vec{v}$ o una flecha sobre la v), denotada como $T_{\vec{v}}$, es un movimiento rígido en el plano en el que todos los puntos de este se desplazan siguiendo el vector, que recibe el nombre de Vector de Traslación. (Se incluiría un dibujo representativo).

Rotación (o Giro)

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto al que llamamos centro y un ángulo de giro.

Alternativamente, un Giro o Rotación de centro O y ángulo α, denotado como $G_{O,\alpha}$, es un movimiento rígido en el plano en el cual un punto P cualquiera distinto de O, se transforma en otro punto P’ de manera que el ángulo PÔP’ = α y la distancia d(O, P) = d(O, P’). El centro de Giro O es un punto fijo que se transforma en sí mismo: $G_{O,\alpha}(O) = O$. (Se incluiría un dibujo representativo).

Simetría Axial

Una Simetría Axial de eje e, denotada como $S_e$, es un movimiento rígido en el plano en el que un punto P, exterior a la recta e, se transforma en otro punto P’ de manera que la recta e es la mediatriz del segmento PP′. Cualquier punto Q del eje de simetría se transforma en sí mismo, $S_e(Q) = Q$, es decir, el eje de simetría es homólogo de sí mismo $S_e(e) = e$.

Alternativamente, consideraremos una simetría axial como aquel movimiento rígido que, aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo respecto de un eje e, $S_e$. (Se incluiría un dibujo representativo).