Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Cálculo: Espacios Vectoriales, Aplicaciones Lineales y Más

Espacios Vectoriales

1. Definición de Subespacio Vectorial de Rⁿ

Indica cuándo un subconjunto no vacío de Rⁿ es un subespacio vectorial de Rⁿ.

Sea V (ó Rⁿ) un espacio vectorial, y sea W un subconjunto de V no vacío (𝑊 ⊂ 𝑉, 𝑊 ≠ ∅). Decimos que W es un subespacio vectorial de V si (𝑊,+,*) tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones de V, es decir, si verifica:

-> 𝑢+𝑣 ∈𝑊, ∀𝑢,𝑣 ∈𝑊
-> 𝛼𝑢 ∈ 𝑊 , ∀𝛼 ∈ R, ∀ 𝑢 ∈ 𝑊

2. Condición Necesaria y Suficiente para que 𝐖⊂𝐕 sea un Subespacio Vectorial

Dado un espacio vectorial V y un subconjunto W no vacío de V (𝑊⊂𝑉, 𝑊 ≠ ∅) es condición necesaria y suficiente para que W sea subespacio vectorial de V que se cumpla:

𝑊 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑉 ⇔ {∀ 𝑢,𝑣∈𝑊}→𝛼𝑢+𝛽𝑣 ∈𝑊 ∀𝛼,𝛽 ∈R

3. Sistema de Generadores de un Espacio Vectorial

¿Qué significa que los vectores {𝒖₁, 𝒖₂, 𝒖₃} sean generadores de un espacio vectorial V? Define el concepto de sistema de generadores de un espacio vectorial.

𝑉 = 〈𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 〉: Un conjunto 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃ de vectores pertenecientes al espacio vectorial V, es un sistema de generadores del espacio vectorial V si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃.

4. Definición de Base de un Espacio Vectorial V

Sean 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 un conjunto de vectores del espacio vectorial V. Se dice que un conjunto 𝐵 = 〈𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛〉 es una base del espacio vectorial V si:

𝐵 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐵𝑒𝑠𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑑𝑒𝑉→ 〈𝐵〉=𝑉

Por lo que todo vector de V se puede escribir como combinación lineal única de la base. Es decir, una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio vectorial V.

5. Dimensión de un Espacio Vectorial

Define la dimensión de un espacio vectorial: La dimensión de un espacio vectorial V (𝑑𝑖𝑚{𝑉}) es el número de vectores linealmente independientes de dicho espacio (o el número de vectores que forman una base de V). Sea 𝑉 = 〈𝐵〉 , 𝐵 = {𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛} una base de V (formada por n vectores), entonces la dimensión de V es → 𝑑𝑖𝑚{𝑉} = 𝑛.

Siendo 𝑛 → {𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉

𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉

6. Combinación Lineal de Vectores

Define combinación lineal de vectores: Sean 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 vectores pertenecientes al espacio vectorial V, y sean los escalares 𝛼₁, 𝛼₂, … , 𝛼_𝑛 ∈ R, la expresión

𝑣=𝑢₁𝛼₁+𝑢₂𝛼₂+⋯+𝑢_𝑛𝛼_𝑛 =∑𝑢_𝑖𝛼_𝑖 se denomina combinación lineal de los vectores 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛

7. Coordenadas de un Vector Respecto a una Base

Definir las coordenadas de un vector v de un espacio vectorial V, respecto a la base B: Un conjunto 𝐵={𝑢₁,𝑢₂,…,𝑢_𝑛 }⊂𝑉, es una base de V si y sólo si todo vector de V se puede escribir de manera única como combinación lineal de los elementos de B.

𝑣 = 𝑢₁𝛼₁ + 𝑢₂𝛼₂ + ⋯ + 𝑢_𝑛𝛼_𝑛

A los escalares 𝛼₁, 𝛼₂, . . , 𝛼_𝑛 se les llama coordenadas del vector 𝑣 𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵. Y estos escalares de la combinación lineal son únicos (ya que todo vector de V se puede escribir de forma única como combinación lineal de los elementos de B).

8. Vectores Linealmente Independientes y Dependientes

Define el concepto de vectores linealmente independientes y linealmente dependientes: Un conjunto 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 de vectores pertenecientes a un espacio vectorial V, son linealmente independiente (o libres) si

𝑢₁𝛼₁ +𝑢₂𝛼₂ +⋯+𝑢_𝑛𝛼_𝑛 =𝛳 ⇒ 𝛼₁ =𝛼₂ = …=𝛼_𝑛 =0 (𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙)

Si no se verifica esto, es decir si existe algún 𝛼_𝑖 ≠ 0 tal que ∑ 𝑢_𝑖𝛼_𝑖 = 𝛳, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado.

9. Conjunto de Vectores Linealmente Dependientes

Explicar qué se entiende por conjunto de vectores linealmente dependientes en un espacio vectorial, sabiendo que 𝒗_𝟏 = 𝟑𝒗_𝟐 − 𝒗_𝟑 Y que…: Un conjunto de vectores, son linealmente dependientes si uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. En nuestro ejercicio tenemos

𝒗_𝟏 = 𝟑𝒗_𝟐 − 𝒗_𝟐 →

𝑤₁ + 𝑤₂ = 3(𝑤₂ − 2𝑤₃) − 𝑤₃ + 3𝑤₄ →

𝑤₁ + 𝑤₂ = 3𝑤₂ − 6𝑤₃ − 𝑤₃ + 3𝑤₄ →

𝑤₁ = 2𝑤₂ − 7𝑤₃ + 3𝑤₄ →

Como uno de los vectores se puede expresar como combinación lineal de los otros, entonces los

vectores 𝑤₁, 𝑤₂, 𝑤₃, 𝑤₄ son linealmente dependientes.

10. Independencia Lineal de 2u y 3v

¿Si 𝒖 y 𝒗 son linealmente independientes, también lo son 𝟐𝒖 y 𝟑𝒗? Razona. Verdadero. Serán independientes si 𝛼2𝑢 + 𝛽3𝑣 = 𝛳 → 𝛼 = 𝛽 = 0

Como en el enunciado dice que 𝑢 y 𝑣 son linealmente independientes entonces se cumple que

{𝛼2=0→ 𝛼=0 𝛽3 = 0 → 𝛽 = 0

Por lo que los vectores 2𝑢 𝑦 3𝑣 son linealmente independientes.

11. Conjunto Ligado con el Vector Nulo

Demostrar que el conjunto {𝐮_𝟏,𝐮_𝟐,…,𝐮_𝐧,𝚹} es un conjunto ligado.

Si existe algún 𝛼_𝑖 ≠ 0 tal que la ∑ 𝛼_𝑖 𝑢_𝑖 = 𝛳, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado.

Cualquier conjunto de vectores que contenga el vector nulo 𝛳, es un conjunto linealmente dependiente (ligado)-> {𝑢₁,𝑢₂,…𝛳,…,𝑢_𝑛 } es un conjunto linealmente dependiente, pues como podemos comprobar la igualdad se cumple para cualquier valor del coeficiente 𝛼∗ (no tiene por qué ser cero).

𝛼₁𝑢₁ +𝛼₂𝑢₂ +𝛼∗𝛳+ …+𝛼_n𝑣_n =𝜃

12. Conjunto Ligado con Vectores Repetidos

Demuestra que el conjunto {𝒗_𝟏, 𝒗_𝟐, 𝒗_𝟏, 𝒗_𝟑 … , 𝒗_𝒏 } ∈ R^𝒏 es ligado: Si existe algún 𝛼_𝑖 ≠0 tal que la ∑ 𝛼_𝑖𝑣_𝑖 = 𝛳, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado.  (Si son linealmente dependientes, al igualar una combinación lineal de los vectores al vector 𝜃, la igualdad se verifica para algún coeficiente 𝛼_𝑖 ≠0).

Si uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros, entonces los vectores son linealmente dependientes. Y en nuestro caso como tenemos dos vectores iguales (𝑣₁) entonces uno de ellos se puede escribir como combinación lineal del resto, y por tanto son dependientes o ligados:

𝛼₁𝑣₁ +𝛼₂𝑣₂ +𝛼∗1𝑣₁ + 𝛼₃𝑣₃ +⋯+𝛼_n𝑣_n =𝜃

(1𝛼 +1𝛼∗)𝑣₁ +𝛼₂ 𝑣₂ + 𝛼₃ 𝑣₃ +⋯+𝛼_n 𝑣_n =𝜃

La igualdad se verifica para 𝛼₁ + 𝛼∗1 = 0 → 𝛼₁= −𝛼∗1 (y este valor no tiene por qué ser cero) por lo tanto el conjunto de valores son ligados o linealmente dependientes.

13. Vectores Proporcionales en un Conjunto Linealmente Independiente

¿Un conjunto de vectores linealmente independientes, puede contener dos vectores proporcionales? Falso. Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede tener dos vectores proporcionales, porque si son proporcionales uno es combinación lineal del otro y por tanto serían linealmente dependientes.

14. Combinación Lineal Única en una Base

Demuestra que en una base de V, todo vector de V se puede escribir de forma única como combinación lineal de la base. Supongamos que 𝐵 = {𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛} es una base de V. Vamos a coger un vector (v) del espacio V y lo vamos a escribir como dos combinaciones lineales distintas de los vectores de la base

Entonces

𝑣 = 𝛼₁𝑣₁ + 𝛼₂𝑣₂ + ⋯ + 𝛼_𝑛𝑣_𝑛

𝑣 = 𝛽₁𝑣₁ + 𝛽₂𝑣₂ + ⋯ + 𝛽_𝑛𝑣_𝑛

𝛼₁𝑣₁+𝛼₂𝑣₂+⋯+𝛼_𝑛𝑣_𝑛 =𝛽₁𝑣₁+𝛽₂𝑣₂+⋯+𝛽_𝑛𝑣_𝑛 →

(𝛼₁−𝛽₁)𝑣₁+(𝛼₂−𝛽₂)𝑣₂ +⋯+(𝛼_𝑛−𝛽_𝑛)𝑣_𝑛=𝛳→ Por ser una base, los vectores {𝑣₁,𝑣₂,…,𝑣_𝑛} son linealmente independientes y por tanto los coeficientes de esta combinación lineal tienen que ser cero -> 𝛼_𝑖 − 𝛽_𝑖 = 0 → 𝛼_𝑖 = 𝛽_𝑖 ∀𝑖 = 1, … , 𝑛

y por tanto queda demostrado que v se escribe de forma única como combinación lineal de la base.

15. Matrices Simétricas como Subespacio Vectorial

Demostrar que el conjunto de matrices simétricas de orden 2 es un subespacio vectorial del conjunto de matrices cuadradas de orden 2: Podemos escribir el conjunto de matrices simétricas 𝐴 = {𝑋 ∈ 𝑀₂/𝑋^𝑡 = 𝑋} Tendríamos que comprobar que 𝛼𝑋 + 𝛽𝑌 ∈ 𝐴

(𝛼𝑋+𝛽𝑌)^𝑡 =𝛼𝑋^𝑡 +𝛽𝑌^𝑡 =𝛼𝑋+𝛽𝑌∈𝐴, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀₂.

16. Dependencia Lineal a Partir de una Combinación Lineal

Sean 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃, … , 𝑢_𝑚∈ R^𝑚. Demostrar que si ∃𝛼₂,𝛼₃,…,𝛼_𝑚∈R/𝑢₁=𝛼₂𝑢₂+𝛼₃𝑢₃+⋯+𝛼_𝑚𝑢_𝑚, entonces el conjunto de vectores {𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃, … , 𝑢_𝑚} es linealmente dependiente. Un conjunto de vectores {𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃, … , 𝑢_𝑚} son linealmente independientes si en la ecuación

𝛼₁𝑢₁ + 𝛼₂𝑢₂ + 𝛼₃𝑢₃ + ⋯ + 𝛼_𝑚𝑢_𝑚 = θ todos los coeficientes 𝛼₁, 𝛼₂, … , 𝛼_𝑚 son iguales a cero 𝛼_𝑖 = 0

Si tenemos que

Y despejamos (igualamos a 𝜃) tenemos

𝛼₂𝑢₂+𝛼₃𝑢₃+⋯+𝛼_𝑚𝑢_𝑚 =𝑢₁

−𝑢₁ + 𝛼₂𝑢₂ + 𝛼₃𝑢₃ + ⋯ + 𝛼_𝑚𝑢_𝑚 = θ

Y, por tanto, como podemos ver, la ecuación

𝛼₁𝑢₁ + 𝛼₂𝑢₂ + 𝛼₃𝑢₃ + ⋯ + 𝛼_𝑚𝑢_𝑚 = θ

Se verifica para el valor de 𝛼₁ = −1

Por lo que podemos concluir que en la combinación lineal no todos los coeficientes 𝛼_𝑖 = 0, y entonces el conjunto de vectores {𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃, … , 𝑢_𝑚} son linealmente dependientes.

Aplicaciones Lineales

1. Definición de Aplicación Lineal

Define el concepto de aplicación lineal: Sean 𝑉 𝑦 𝑊 espacios vectoriales reales (sobre R). Una aplicación 𝑓: 𝑉 → 𝑊 es una aplicación lineal si cumple:

𝑓(𝑢+𝑣)=𝑓(𝑢)+𝑓(𝑣) ∀𝑢,𝑣 ∈𝑉
𝑓(𝜆𝑢)=𝜆𝑓(𝑢) ∀𝑢∈𝑉, ∀𝜆∈R

Estas dos condiciones se pueden resumir en una sola:

𝑓(𝛼𝑢+𝛽𝑣)=𝛼𝑓(𝑢)+𝛽𝑓(𝑣) ∀𝑢,𝑣 ∈𝑉, ∀𝛼,𝛽∈R

2. Núcleo o Ker de una Aplicación Lineal

Define el núcleo o 𝑲𝒆𝒓 de una aplicación lineal

Sea 𝑓: 𝑉 → 𝑊 una aplicación lineal (donde V y W son subespacios vectoriales). El núcleo de una aplicación (𝐾𝑒𝑟(𝑓)) es un subespacio vectorial del espacio V inicial (𝐾𝑒𝑟(𝑓) ⊂ 𝑉) tal que:

𝐾𝑒𝑟(𝑓) ={𝑥∈𝑉/𝑓(𝑥)= 𝛳𝑤 }=𝑓⁻¹(𝛳𝑤)

El 𝐾𝑒𝑟(𝑓) o núcleo son los elementos de V que tienen por imagen al vector nulo.

3. Imagen de una Aplicación Lineal

Define la imagen de una aplicación lineal

La imagen de una aplicación (𝐼𝑚(𝑓)) es un subespacio del espacio final (𝐼𝑚(𝑓) ⊂ 𝑊), tal que 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑓(𝑉) = {𝑦 ∈ 𝑊/𝑓(𝑥) = 𝑦; , 𝑥 ∈ 𝑉} = {𝑓(𝑥)/𝑥 ∈ 𝑉}. La imagen de f son los elementos de W que son imagen de un elemento de V.

4. Función Inyectiva

Define función inyectiva

Una función es inyectiva si los elementos distintos de V tienen imágenes en W distintas:

𝑓𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔[𝑥≠. 𝑦 ⇒𝑓(𝑥)≠. 𝑓 (𝑦), ∀𝑥,𝑦 ∈R], 𝑜𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔[𝑓(𝑥)=𝑓(𝑦)⇒𝑥=𝑦, ∀𝑥,𝑦 ∈R]

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎 𝒇 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 ⇔ 𝑲𝒆𝒓(𝒇) = {𝜭𝒗}𝑼𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒔𝒊 𝒆𝒍 𝒏ú𝒄𝒍𝒆𝒐 𝒆𝒔𝒕á 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒔ó𝒍𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒖𝒍𝒐 𝑦 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟á 𝑞𝑢𝑒 dim(𝐾𝑒𝑟𝑓) = 0.

5. Función Sobreyectiva

Función sobreyectiva

Una función es sobreyectiva si todo elemento de W es imagen de un elemento de V:

𝑓𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔ [∀𝑦∈𝑊∃𝑥∈𝑉/𝑓(𝑥)=𝑦]. 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎 𝒇 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 ⇔ 𝑰𝒎(𝒇) = {𝑾}(𝑼𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒊𝒏𝒄𝒊𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍)𝑦 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟á 𝑞𝑢𝑒 dim(𝑊) = dim(𝐼𝑚𝑓)

RECORDAR: El rango de una aplicación lineal es igual a la dimensión de la imagen de la aplicación: dim(𝐼𝑚(𝑓)) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑓.

6. Función Biyectiva

Función biyectiva: Es aquella que es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

7. Teorema Fundamental de las Dimensiones

Define el Teorema fundamental de las dimensiones de V y W

𝑆𝑒𝑎 𝑓:𝑉 → 𝑊

𝑑𝑖𝑚 (𝑉) = 𝑑𝑖𝑚(𝐾𝑒𝑟(𝑓)) + 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑚(𝑓)) 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 → 𝑑𝑖𝑚 (𝐼𝑚(𝑓)) ≤ 𝑑𝑖𝑚(𝑉)

8. Relación de Desigualdad entre las Dimensiones de V e Im(f)

Sea la aplicación lineal 𝐟:𝐕→𝐖. Justificar la relación de desigualdad entre las dimensiones de 𝐕 e 𝐈𝐦(𝐟)

Se cumple que dim 𝑉 = dim 𝐾𝑒𝑟(𝑓) + dim 𝐼𝑚(𝑓) 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑓) ≤ dim(𝑉).

9. Relación de Desigualdad entre dim(V) y dim(W) si f es Inyectiva

Sea la aplicación lineal 𝐟: 𝐕 → 𝐖. Justifica la relación de desigualdad existente entre 𝒅𝒊𝒎(𝑽) 𝒚𝒅𝒊𝒎(𝑾) si es inyectiva

Si f es inyectiva la dim 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) = 0 y por tanto la dim 𝑉 = dim 𝐼𝑚(𝑓) 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒

𝑑𝑖𝑚 𝑉 ≤ dim 𝑊.

10. Aplicación Lineal Biyectiva de R³ a R⁴

¿Puede existir una aplicación lineal biyectiva 𝒇: R^𝟑 → R^𝟒? Justifica

Para que una aplicación lineal sea biyectiva tiene que ser inyectiva y sobreyectiva. Y será sobreyectiva si 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑑𝑖𝑚 (𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙).

Pero en este caso la 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑚(R⁴) = 4. Pero como el espacio inicial es de dimensión 3 y sabemos que 𝑑𝑖𝑚 R³ = 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟(𝑓) + 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑓) Entonces la 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑓) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟 ≤ 3. Y por tanto no puede ser sobreyectiva, y tampoco

biyectiva.

11. Aplicación Lineal No Sobreyectiva si dim(V)

Dada una aplicación lineal 𝑓: 𝑉 → 𝑊 demostrar que si dim(𝑉) 𝑊) la aplicación lineal f no puede ser sobreyectiva.

No puede ser sobreyectiva porque en este caso la 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑓)

12. Aplicación Lineal de R² a R³: Sobreyectividad

Sea la aplicación lineal 𝒇: R^𝟐 → R^𝟑 ¿ 𝑷𝒖𝒆𝒅𝒆 ser sobreyectiva? Una aplicación f es sobreyectiva si 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑓)=𝑑𝑖𝑚(𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙). Pero en este caso la 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠𝑑𝑖𝑚(R³) = 3. Pero como el espacio inicial es de dimensión 2 y sabemos que

𝑑𝑖𝑚 R² = 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟(𝑓) + 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑓).Entonces la 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑓) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟 ≤ 2. Y por tanto no puede ser sobreyectiva (y tampoco biyectiva).

13. Inversa de una Aplicación Lineal

¿Cuándo es invertible una aplicación lineal? Define inversa de una aplicación lineal Para calcular la inversa tiene que ser biyectiva (si no es biyectiva no se puede calcular la inversa).

Sea 𝑓 una aplicación lineal biyectiva (isomorfismo) de V en W, definimos la inversa de 𝑓 (𝑓⁻¹) como una aplicación de W en V donde:

𝑓⁻¹:𝑊 → 𝑉

𝑦→𝑓⁻¹(𝑦)=𝑥 / 𝑓(𝑥)=𝑦

14. Matriz Asociada a una Aplicación Lineal

Define matriz asociada a una aplicación lineal:

𝑓: 𝑉 → 𝑊 una aplicación lineal

𝐵={𝑎₁,𝑎₂,,…,𝑎_𝑛,}𝑢𝑛𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒𝑑𝑒𝑉 (𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜dim(𝑉)=𝑛)

𝐵 ́={𝑏₁, 𝑏₂,,…,𝑏_𝑚, }𝑢𝑛𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒𝑑𝑒𝑊 (𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 dim(𝑊)=𝑚)

Llamamos 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒇 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 𝑩𝑩 ́ (𝑴𝑩𝑩 ́(𝑓)) a la matriz que tiene por columnas las coordenadas de las imágenes 𝑓(𝑎₁), 𝑓(𝑎₂),… 𝑓(𝑎_𝑛) en la base B ́(alfa₁₁,alfa₁₂…alfa_1n).

15. Demostración del Núcleo como Subespacio Vectorial

Demostrar que el núcleo (𝑲𝒆𝒓) de una aplicación lineal 𝒇: 𝑽 → 𝑾 es un subespacio vectorial de V

Sea 𝑓: 𝑉 → 𝑊 una aplicación lineal (donde V y W son subespacios vectoriales)

El núcleo de una aplicación (𝐾𝑒𝑟(𝑓)) es un subespacio vectorial del espacio V (𝐾𝑒𝑟(𝑓) ⊂ 𝑉) formado por los elementos de V que tienen por imagen al vector nulo

𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑢 ∈ 𝑉/𝑓(𝑢) = 𝛳𝑤}

Por tanto, si los vectores 𝑢, 𝑣 pertenecen al 𝐾𝑒𝑟(𝑓), entonces cumplen que → {𝑓(𝑢) = 𝛳𝑤 𝑓(𝑣) = 𝛳𝑤

Un subconjunto de vectores (en este caso el 𝐾𝑒𝑟(𝑓)) será un subespacio vectorial si cumple: 𝛼𝑢+𝛽𝑣 ∈𝐾𝑒𝑟(𝑓) ∀𝑢,𝑣∈𝐾𝑒𝑟(𝑓), ∀𝛼,𝛽∈R

Y sabemos que si f es una aplicación lineal entonces cumple que:

𝑓(𝛼𝑢+𝛽𝑣)=𝛼𝑓(𝑢)+𝛽𝑓(𝑣) ∀𝑢,𝑣∈𝑉, ∀𝛼,𝛽∈R Basándonos en lo anterior podemos demostrar que el 𝐾𝑒𝑟(𝑓) es un subespacio vectorial de V, pues ∀𝑢,𝑣 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), ∀𝛼,𝛽 ∈ R

§𝑓(𝛼𝑢+𝛽𝑣)=𝛼𝑓(𝑢)+𝛽𝑓(𝑣)=𝛼𝛳𝑤 +𝛽𝛳𝑤 =𝛳𝑤, → 𝛼𝑢+𝛽𝑣∈𝐾𝑒𝑟(𝑓) Con lo que queda demostrado que el 𝐾𝑒𝑟(𝑓) es un subespacio vectorial de V.

16. Demostración de la Imagen como Subespacio Vectorial

Demostrar que el conjunto imagen de una aplicación lineal 𝒇: 𝑽 → 𝑾 es un subespacio vectorial de W

Sea 𝑓: 𝑉 → 𝑊 una aplicación lineal (donde V y W son subespacios vectoriales)

La imagen de una aplicación (𝐼𝑚(𝑓)) es un subespacio vectorial del espacio W (𝐼𝑚(𝑓) ⊂ 𝑊) que está formada por los elementos de W que son imagen de un elemento de V

𝐼𝑚(𝑓)=𝑓(𝑉)={𝑎∈𝑊/𝑓(𝑢)=𝑎; 𝑢∈𝑉}

Por tanto si los vectores 𝑎, 𝑏 pertenecen a la 𝐼𝑚(𝑓) entonces cumplen → {𝑓(𝑢) = 𝑎, 𝑢 ∈ 𝑉 𝑓(𝑣) = 𝑏, 𝑣 ∈ 𝑉

Un subconjunto de vectores (en este caso la Im(𝑓)) será un subespacio vectorial si cumple: 𝛼𝑎+𝛽𝑏 ∈𝐼𝑚(𝑓) ∀𝑎,𝑏∈𝐼𝑚(𝑓), ∀𝛼,𝛽∈R

Y sabemos que si f es una aplicación lineal entonces cumple que:

§𝑓(𝛼𝑢+𝛽𝑣)=𝛼𝑓(𝑢)+𝛽𝑓(𝑣) ∀𝑢,𝑣∈𝑉, ∀𝛼,𝛽∈R

Basándonos en lo anterior podemos demostrar que la 𝐼𝑚(𝑓) es un subespacio vectorial de W, pues ∀𝑎,𝑏 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) ∀𝛼,𝛽 ∈ R

P𝑜𝑟𝑠𝑒𝑟𝑉𝑢𝑛𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠𝑒𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑞𝑢𝑒 ∀𝑢,𝑣∈𝑉 → 𝛼𝑢+𝛽𝑣∈𝑉

§𝑓(𝛼𝑢+𝛽𝑣)=𝛼𝑓(𝑢)+𝛽𝑓(𝑣)=𝛼𝑎+𝛽𝑏 → 𝛼𝑎+𝛽𝑏∈𝐼𝑚(𝑓)

Con lo que queda demostrado que la 𝐼𝑚(𝑓) es un subespacio vectorial de W.

Tema 31.- Definición de determinante de una matriz

El determinante asocia a cada matriz cuadrada A un número real que denotaremos por det(𝐴)𝑜 𝑝𝑜𝑟|𝐴|.Sea una matriz cuadrada A (𝐴 ∈ 𝑀𝑛(R), el determinante de la matriz es el número resultante de sumar algebraicamente todos los productos de n elementos de la matriz en los que intervienen un elemento de cada fila y un elemento de cada columna.2.- ¿Cuántos productos aparecen en el desarrollo de un determinante de orden 5? 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 3.- El producto 𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏𝒂𝟒𝟓𝒂𝟓𝟒𝒂𝟏𝟐 ¿forma parte del desarrollo de un determinante de orden 5? Indica, razonando la repuesta qué signo debe presentar.

Sí forma parte del desarrollo del determinante porque hay un elemento de cada fila y de cada columna y sólo uno.

Para determinar el signo tenemos que ver cuántas inversiones hay, en este caso hay tres inversiones: 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 = (−1)𝑛o 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠) = (−1)3 = (−) 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜.

4.- Razona por qué vale cero el determinante de una matriz cuadrada de que tiene una fila de ceros.Porque en cada uno de los productos del desarrollo del determinante vamos a tener un cero y por lo tanto todos los productos serán cero, y el resultado final de la suma será cero. 5.- Definición de rango de una matriz 𝑨∈𝑴𝒎𝒙𝒎 El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de sus submatrices cuadradas que tenga determinante no nulo.

También se puede definir como el máximo número de vectores fila o columna que son linealmente independientes.

Tema 41.- Define un sistema de Cramer. ¿Qué propiedades tiene un sistema de Cramer? Un sistema se dice que es de Cramer si tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (de forma que la matriz de coeficientes es cuadrada 𝐴 = 𝑀𝑛) y la matriz A es no singular (|𝐴| ≠ 0) por tanto se puede invertir (existe 𝐴−1)

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟 → { 𝑚 = 𝑛 |𝐴| ≠ 0

Todo sistema de Cramer tiene solución única, es decir, es un sistema compatible determinado (𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵) = 𝑛 )

2.- Concepto de discusión de un sistema y resolución de un sistema: discutir un sistema consiste en indicar si el sistema tiene una única solución (compatible determinado), infinitas soluciones (compatible indeterminado) o ninguna solución (incompatible).𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒖𝒏 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 es buscar su solución o soluciones.

3.- Concepto de solución del sistema.La solución de un sistema es aquel vector X que verifica simultáneamente todas las igualdades de un sistema.

4.- Enunciar el teorema de Roucher

Dado un sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝐵 se verifica que:

1.- El sistema es compatible si y sólo si ⇔ 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵)

2.- Un sistema compatible es determinado ⇔ 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵) = 𝑛

(𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑛o 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠)3.- Un sistema compatible es indeterminado ⇔ 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵)

5.- Para cada uno, escribe un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. Justifica en cada caso:𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛{2𝑥+𝑦=5}{𝑥+3𝑦=5} → |𝐴|=|2 1|=5≠0→𝑟𝑔(𝐴)=𝑟𝑔(𝐴|𝐵)=2=𝑛

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛{2𝑥+𝑦=1} {4+2𝑦=2} → |𝐴|=|2 1|=0→𝑟𝑔(𝐴)=𝑟𝑔(𝐴|𝐵)=1

𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 { 2𝑥 + 𝑦 = 1 } {4x+2y=3} → 𝑟𝑔(𝐴) = 1;𝑟𝑔(𝐴|𝐵) = 2 → 𝑟𝑔(𝐴) ≠ 𝑟𝑔(𝐴|𝐵)

6.- Demuestra que el sistema es compatible determinado si el 𝒓𝒈(𝑨) = 𝒏

Si el 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑛, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 las columnas de la matriz A son linealmente independientes, y por tanto la expresión de B como combinación lineal de A es única, por lo que el sistema es compatible determinado. 7.- Demuestra que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas 𝑨𝑿 = 𝑩, si el 𝒓𝒈(𝑨) = 𝒓𝒈(𝑨/𝑩) 𝒏, entonces el sistema es compatible indeterminado.Si el 𝑟𝑔(𝐴)

Por tanto, si a una solución del sistema le sumamos estos escalares, los nuevos valores también serán solución al sistema. Por tanto, hay infinitas soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

8.- Demuestra que si un sistema tiene más de una solución entonces tiene infinitas soluciones. Demuestra que un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones.𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑋1𝑦𝑋2 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐴𝑋=𝐵. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑋1 = 𝐵, 𝐴𝑋2 = 𝐵.Podemos demostrar que cualquier vector de la forma (pora λ∈ R) 𝜆𝑋1 + (1 − 𝜆)𝑋2 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐴(𝜆𝑋1 +(1−𝜆)𝑋2)=𝜆𝐴𝑋1 +(1−𝜆)𝐴𝑋2 =𝜆𝐵+(1−𝜆)𝐵=𝐵 Por tanto, queda demostrado que si hay más de una solución entonces hay infinitas soluciones. 9.- Demuestra que un sistema es compatible ⇔ 𝒓𝒈(𝑨) = 𝒓𝒈(𝑨|𝑩) Demuestra que un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Condición necesaria (⇒)Partimos de que el sistema es compatible, entonces existe un solución al sistema, con lo que B es combinación lineal de las columnas de A y por tanto 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵) Condición suficiente (⇐)Partimos ahora de que 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵), entonces B es combinación lineal de las columnas de A, es decir existe un conjunto de valores para las (X) que verifican la igualdad 𝐴𝑋 = 𝐵, con lo que el sistema tiene solución.

10.- Demuestra que todo sistema de Cramer tiene solución única (es compatible determinado) Si 𝐴𝑋 = 𝐵 es un sistema de Cramer entonces la matriz de coeficiente es no singular, por lo que |𝐴| ≠ 0 y por tanto existe 𝐴−1. Si premultiplicamos el sistema por 𝐴−1 tenemos𝐴−1 𝐴𝑋=𝐴−1 𝐵, 𝑦𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜→ 𝛪𝑋=𝐴−1 𝐵 →𝑋 = 𝐴−1 𝐵 (solución del sistema)Y como 𝐴−1 es única, entonces X también será una solución única. 11.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 𝑨𝑿 = 𝜭 ¿En qué casos este sistema tiene solución y por qué? Es un sistema de ecuaciones homogéneo. Este sistema siempre es compatible (siempre tiene solución) pues 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵) 12.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 𝑨𝑿 = 𝜭. Si A es una matriz cuadrada de orden n ¿Qué solución existe entre el determinante de A y el tipo de solución? Si A es una matriz cuadrada entonces el sistema tiene n ecuaciones y n incógnitas de forma que:

SI el |𝐴| ≠ 0, entonces el 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑛 → 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 Si el |𝐴| = 0, entonces el 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) . 13.- Demuestra que un sistema homogéneo en el que el rango de la matriz del sistema es menor que el número de incógnitas tiene infinitas soluciones.

Los sistemas homogéneos tienen por término independiente al vector Θ y por tanto son siempre sistemas compatibles pues 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵) Si el 𝑟𝑔(𝐴)

14.- Dado un sistema 𝑨𝑿 = 𝑩 de 𝒎 ecuaciones con 𝒏 incógnitas. Si las columnas de la matriz de coeficientes son linealmente dependientes, el sistema podría tener solución única.Falso. El 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴

15.- Dado un sistema 𝑨𝑿 = 𝑩 de 𝒎 ecuaciones con 𝒏 incógnitas. Si 𝒎 > 𝒏 y el sistema es compatible indeterminado, entonces tiene menos de 𝒏 ecuaciones principales; y más de 𝒎 − 𝒏ecuaciones del sistema serán combinación lineal de ellas. Verdadero. El 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝐴

16.- Dado un sistema 𝑨𝑿 = 𝑩 de 𝒎 ecuaciones con 𝒏 incógnitas. Si 𝒎 > 𝒏 y el sistema es compatible determinado, entonces el sistema tiene 𝒎 − 𝒏 ecuaciones no principales que non se precisan para resolverlo.

Verdadero. El 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 = 𝑛, y por tanto hay que calcular n incógnitas, por lo que ”𝑠𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛” 𝑚 − 𝑛 ecuaciones. 17.-Dado un sistema 𝑨𝑿 = 𝑩 de 𝒎 ecuaciones con 𝒏 incógnitas. Si 𝒏 > 𝒎 el sistema no podrá tener solución única.

Verdadero. El 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 18.-Dado un sistema 𝑨𝑿 = 𝑩 de 𝒎 ecuaciones con 𝒏 incógnitas. Si el sistema tiene solución, entonces podría tener tan solo cuatro soluciones distintas.

Falso. Si un sistema es compatible, entonces o bien tiene una solución (S.C.D.) o bien tiene infinitas soluciones (S.C.I.). Es decir, si tiene más de una solución entonces tiene infinitas soluciones.19.- Dado un sistema 𝑨𝑿 = 𝑩 de 𝒎 ecuaciones con 𝒏 incógnitas. Si 𝒎 𝒏 el sistema tendrá solución única siempre que 𝒓𝒈(𝑨) = 𝒎

Falso. En este caso el rango A20.-Dado un sistema 𝑨𝑿 = 𝑩 de 𝒎 ecuaciones con 𝒏 incógnitas. El conjunto de soluciones puede ser o no un subespacio vectorial, dependiendo del tipo de sistema que se trate.Verdadero. Si el sistema es un sistema homogéneo, el conjunto de soluciones es un subespacio vectorial (la solución de un sistema homogéneo es un subespacio vectorial de R𝒏)

Tema 5 ,1.- Definición de producto escalar en R𝐧 y de producto escalar definido positivo en R𝐧

Dado el espacio vectorial R𝑛, llamamos producto escalar o interior a cualquier aplicación

〈,〉: R𝑛𝑥R𝑛 →R (𝑥,𝑦) → 〈𝑥 ,𝑦〉

Que verifica las siguientes propiedades:

1.- 〈𝑥,𝑦〉=〈𝑦,𝑥〉

2.- 〈𝑥+𝑧,𝑦〉= 〈𝑥,𝑦〉+ 〈𝑧,𝑦〉

3.- 〈𝜆𝑥,𝑦〉=𝜆〈𝑦,𝑥〉

∀𝑥,𝑦∈ R𝑛 ∀𝑥,𝑦,𝑧∈ R𝑛

∀𝑥,𝑦∈ R𝑛, ∀𝜆∈ R

Un producto interior (escalar) se denomina producto escalar definido positivo si verifica:

〈𝑥,𝑥〉≥0 ∀𝑥∈ R𝑛 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠〈𝑥,𝑥〉=0 ⇔𝑥=𝛳. 2.- Comprobar que el producto escalar euclídeo es un producto escalar definido positivo.

Un producto interior (escalar) se denomina producto escalar definido positivo si verifica:

〈𝑥,𝑥〉≥0 ∀𝑥∈ R𝑛 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠〈𝑥,𝑥〉=0 ⇔𝑥=𝛳

El producto escalar euclídeo es → 〈𝑥 , 𝑦〉 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 +. . +𝑥 𝑦 1122𝑛𝑛

Y podemos demostrar que es definido positivo pues

〈𝑥,𝑥〉=𝑥𝑥+𝑥𝑥+..+𝑥𝑥=𝑥2+𝑥2+⋯+𝑥2≥0 1122𝑛𝑛12𝑛

Y para que una suma de cuadrados sea igual a cero, todos los sumandos tienen que ser cero →

〈𝑥,𝑥〉=𝑥2+𝑥2+⋯+𝑥2=0 𝑠𝑜𝑙𝑜𝑠𝑖(𝑥,𝑥,…,𝑥)=(0,0,…,0) 12𝑛12𝑛

3.- Pon un ejemplo de un producto escalar definido positivo en R𝐧, que no sea el euclídeo. 〈𝑥 , 𝑦〉 = 𝟐𝒙𝟏𝒚𝟏 + 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐+. . +𝟐𝒙𝒏𝒚𝒏, o cualquier otra combinación de este tipo donde la suma de los exponentes sea PAR〈𝑥,𝑦〉=∑𝑥^𝑎𝑦^𝑏 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 (𝑎+𝑏=𝑝𝑎𝑟). 4.- Definición de vectores ortogonalesDos vectores son ortogonales (𝑥 ⊥ 𝑦) si forman un ángulo recto (es decir un ángulo de 90° ó 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)𝑐𝑜𝑠90°=0)2

Como el 𝑐𝑜𝑠 90° = 0, en la práctica para analizar si dos vectores son ortogonales tendremos que comprobar que: 〈𝑥 , 𝑦〉 = 0 5.- Definición de norma de R𝑛

Una norma es cualquier aplicación que a cada vector de R𝑛 le asocia un número real

no negativo y que verifica las siguientes propiedades:

1.- ‖𝑥‖ = 0 ⇔ 𝑥 = 0, 2.- ‖𝑥+𝑦‖≤‖𝑥‖+‖𝑦‖ ∀𝑥,𝑦∈ R𝑛, 3.- ‖𝜆𝑥‖≤|𝜆|‖𝑥‖ ∀𝑥∈ R𝑛, ∀𝜆∈ R

6.- Definición de distancia en R𝑛:Sea A un conjunto. Se define la métrica o distancia en A a una aplicación 𝑑:𝐴𝑥𝐴→ R+(𝑥, 𝑦) → 𝑑(𝑥, 𝑦)Y que verifica las siguientes propiedades:1:𝑑(𝑥,𝑦)=0 ⇔𝑥=𝑦, 2:𝑑(𝑥,𝑦) = 𝑑(𝑦,𝑥), 3:𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑦, 𝑧)

∀𝑥,𝑦∈𝐴 ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 7.- Relación entre norma y producto escalar:

Matemáticamente podemos calcular la norma en R𝑛 a partir de un producto escalar definido positivo mediante la siguiente relación (la norma es la raíz cuadrada del producto escalar): ‖𝑥‖ = √〈𝑥 , 𝑥〉 = 〈𝑥, 𝑥〉^1⁄28.- Relación entre norma y distancia Toda norma induce una distancia, es decir a partir de una norma se puede definir una distancia, mediante la siguiente relación: 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖. 9.- Define producto escalar euclídeo, norma euclídea y distancia euclídea

𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒖𝒄𝒍í𝒅𝒆𝒐 → 〈𝒙 , 𝒚〉 = 𝒙𝟏𝒚𝟏 + 𝒙𝟐𝒚𝟐+. . +𝒙𝒏𝒚𝒏

𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒆𝒖𝒄𝒍í𝒅𝒆𝒂→‖𝒙‖=√∑𝒙𝟐 =√𝒙𝟐 +𝒙𝟐 +⋯+𝒙𝟐 𝒊𝟏𝟐𝒏

𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂𝒆𝒖𝒄𝒍í𝒅𝒆𝒂→ 𝒅(𝒙,𝒚)=√(𝒙𝟏 −𝒚𝟏)𝟐 +(𝒙𝟐 −𝒚𝟐)𝟐 +⋯+(𝒙𝒏 −𝒚𝒏)𝟐

10.- Definición de punto interior.𝑥0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 A ⊂ R si está dentro del intervalo abierto:

𝑥0 𝑒𝑠𝑢𝑛𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑑𝑒A ⊂R ⇔ 𝑥0 ∈𝐴,∃𝑟>0/(𝑥𝑜 −𝑟,𝑥𝑜 +𝑟)⊂𝐴, son puntos de conjunto: 𝑨𝟎 ⊂ 𝑨 11.- Definición de punto aislado:𝑥0 𝑒𝑠𝑢𝑛𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜𝑑𝑒A ⊂R𝑛 ⇔𝑥0 ∈𝐴,∃𝑟>0/𝐵𝑜(𝑥0,𝑟)∩𝐴={𝑥0} 𝑦𝑒𝑠𝑡𝑜𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎que (𝐵𝑜(𝑥0,𝑟)−{𝑥0})∩𝐴=∅. 12.- Definición de punto adherente:𝑥0 𝑒𝑠𝑢𝑛𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑎𝑑h𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒A ⊂R ⇔ ∃𝑟>0/(𝑥𝑜 −𝑟,𝑥𝑜 +𝑟)∩𝐴≠∅,El conjunto A está contenido en la adherencia: 𝑨 ⊂ 𝑨. 13.- Definición de punto de acumulación de un conjunto 𝐀⊂ R𝐧:𝑥0 𝑒𝑠𝑢𝑛𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒A ⊂R𝑛 ⇔ ∃𝑟>0/(𝐵𝑜(𝑥0,𝑟)−{𝑥0})∩𝐴≠∅

15.- ¿Un punto aislado es de acumulación?Un punto aislado nunca es punto de acumulación 𝑥0 𝑒𝑠𝑢𝑛𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜𝑑𝑒𝐴 ⊂R𝑛 si 𝑥0 ∈𝐴,∃𝑟>0/(𝐵𝑜(𝑥0,𝑟)∩𝐴={𝑥0}

𝑦𝑒𝑠𝑡𝑜𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎que (𝐵𝑜(𝑥0,𝑟)−{𝑥0})∩𝐴=∅. 16.- Relación entre punto adherente y punto de acumulación: Todo punto de acumulación es punto de adherencia. Pero no todo punto de adherencia es de acumulación (por ejemplo, los aislados son de adherencia, pero no de acumulación)Los puntos de acumulación son los adherentes excepto los aislados𝐴, = 𝐴̅ − 𝐴𝑖𝑠𝑙(𝐴)17.- ¿Un punto de acumulación es siempre frontera? ¿Y un punto frontera es de acumulación? Justificar: Un punto de acumulación no tiene porqué se frontera (puede estar dentro del conjunto, pero no en la frontera).Un punto frontera no tiene porqué ser de acumulación, por ejemplo puede haber un punto de frontera que sea un punto aislado, y no es un punto de acumulación. 18.- Relación entre punto frontera e interior: No hay relación. Un punto de frontera nunca es un punto interior y un punto interior nunca es punto de frontera. 19.- Relación entre punto adherente y punto frontera: Todos los puntos frontera son puntos de adherencia. Pero lo contrario no ocurre, ya que los puntos interiores son de adherencia, pero no son de frontera. 20.- ¿Cuáles son los puntos de acumulación que no pertenecen al conjunto?:los puntos de la frontera externa

21.- ¿Cuáles son los puntos adherentes que no son del conjunto?:los puntos de la frontera externa 22.- ¿Cuáles son los puntos interiores de A que no son adherentes?

Todos los puntos interiores son adherentes 23.- ¿Cuáles son los puntos adherentes que no son interiores de A? Los puntos adherentes que no son interiores son todos los puntos de las fronteras interna (aquí ya se incluyen los aislados) y los puntos frontera externa. 26.- Definición del límite de una sucesión de números reales

Se dice que 𝑙 ∈ R es el límite de una sucesión de números realesy se escribe lim 𝑥𝑛 = 𝑙

𝑛→∞si y sólo ∀ɛ>0 ∃𝑛0∈N/|𝑥𝑛−𝑙|27.- Definición de serie: Dada una sucesión {𝑥𝑛} de números reales, se llama serie numérica de término general 𝑥𝑛 y se denota por ∑∞ 𝑥 al par de sucesiones ({𝑥 },{𝑆 }). Donde la sucesión {𝑆 } tiene por

términos generales: 𝑆1 = 𝑥1,𝑆2 = 𝑥1 + 𝑥2,𝑆3 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3. 28.- Demostrar qué si una sucesión de números reales tiene límite, este es único Teorema de la unicidad del límite: El límite de una sucesión, si existe, es único; es decir Si lim 𝑥𝑛 = 𝑎 𝑦 lim 𝑥𝑛 =𝑏 ⇒ 𝒂 = 𝒃, 𝑛→∞ 𝑛→∞ Para demostrarlo utilizamos un método que se llama “reducción al absurdo” que consiste en comprobar que pasa si no se cumple lo anterior, y nos dará una contradicción (un absurdo).Para ello vamos a suponer que los límites no son iguales, es decir que 𝑎 ≠ 𝑏,Y para simplificar supondremos que 𝑏 > 𝑎

Elegimos un valor para ɛ > 0 , y para nuestra demostración “nos va bien elegir” que ɛ=𝑏−𝑎/2 Condición 1.- Si “𝑎» es límite, aplicando la definición de límite, se cumple que

∀ɛ>0 ∃𝑛1∈N / |𝑥𝑛−𝑎|0 ∃𝑛2∈N / ⇒ |𝑥𝑛−𝑏|29.- Definición de sucesión convergente Sea {𝑥𝑛}𝑛∈N una sucesión de números reales, diremos que es convergente si tiene un límite (𝑙 ∈ R), es decir

lim𝑥𝑛=𝑙∈R (𝑥𝑛𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑎𝑙) 𝑛→∞. 30.- Definición de sucesión divergente Sea {𝑥𝑛}𝑛∈N una sucesión de números reales, diremos que es divergente (o no convergente) si su límite es infinito, es decir lim 𝑥𝑛 𝑛-> ∞=± ∞.

Tema 6 1.- Concepto de función real de una variable continua en un punto

Una función real de una variable real es cualquier aplicación 𝑓:R→ R 𝑥 → 𝑓(𝑥)

donde 𝒙 es la variable independiente e 𝒚 la v. dependiente. 2.- Definición de límite de una función en un punto 𝒙𝟎 Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ R → R Se dice que 𝑙 ∈ R es el límite de la función f en un punto 𝑥0 y se denota por 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎𝑓(𝑥)=𝑙 𝑠𝑖∀ɛ>0 ∃𝛿>0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑝𝑎𝑟𝑎𝑥∈𝐴 |𝒙−𝒙𝟎| 3.- Definición de función continua en un punto𝒙𝟎. Sea 𝑓: 𝐴⊂ R → R 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝐴𝑒𝑠𝑒𝑙𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜𝑑𝑒𝑓. La función 𝒇 es continua en el punto 𝒙𝟎∈𝑨 ⇔ 𝐥𝐢𝐦𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎). 4.- Demostrar qué si una función tiene límite en un punto 𝑥0, este es único.Para hacer esta demostración nos basamos en el teorema de la existencia de un límite:

𝑙∈R es el límite de la función 𝑓:𝐴⊂R→R en el punto 𝑥0 si y sólo si existen los límites laterales de f en el punto 𝑥0 y son iguales.De forma que si 𝑓 tiene límite en un punto entonces:lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥)= lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥)= lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥)=𝑙

Por tanto, si 𝑓 tiene un límite en 𝑥0 ∈ 𝐴 ́, entonces ese límite es único. 5.- Enunciar el teorema de Bolzano.

Sea 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊂ R → R, Si {𝑓𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑒𝑛[𝑎, 𝑏]}{𝑓(𝑎). 𝑓𝑏) 7.- Enunciar el teorema del valor intermedio o de Darboux: Sea 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊂ R → R

Si f es continua en el intervalo [𝑎, 𝑏]

y 𝑥1 8.- Enunciar el teorema de Weierstrass: Sea 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊂ R → R

Si 𝑓𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑒𝑛𝑒𝑙𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜[𝑎,𝑏] y ese intervalo es compacto 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] un máximo y un mínimo absolutos.