Conceptos Fundamentales de Cálculo Integral y Series Numéricas

Integral Definida

Sea f una función definida en el intervalo [a, b]. Sea P = {x0, x1, …, xn} una partición del intervalo [a, b], donde a = x0 < x1 < … < xn = b. Sea T = {t1, t2, …, tn} un conjunto de puntos muestra de la partición, tal que ti ∈ [xi-1, xi] para cada i. Sea ||P|| la norma de la partición (la longitud del subintervalo más largo, max{Δxi}). Se define la integral definida de f en [a, b] como el límite de las sumas de Riemann:

ab f(x) dx = lim||P||→0i=1n f(ti)Δxi

Siempre que el límite exista y sea independiente de la elección de la partición P y de los puntos muestra T.

Teoremas de Integrabilidad

Condiciones suficientes para que una función f sea integrable en [a, b]:

  • Si f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b].
  • Si f es monótona y acotada en [a, b], entonces f es integrable en [a, b].
  • Si f tiene un número finito de discontinuidades finitas (de salto) en [a, b], entonces f es integrable en [a, b].
  • Si f es integrable en [a, b], entonces f es acotada en [a, b] (condición necesaria).

Teorema del Valor Medio para Integrales (TVMCI)

Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces, existe al menos un número α ∈ (a, b) tal que:

ab f(x) dx = f(α)(b – a)

Demostración (esbozo):

  1. Si a = b, entonces ∫aa f(x) dx = 0 y f(α)(a – a) = 0. El teorema se cumple trivialmente.
  2. Si f es constante, f(x) = k, entonces ∫ab k dx = k(b – a). Como f(α) = k, se cumple k(b – a) = k(b – a).
  3. Si a < b y f no es constante: Por hipótesis, f es continua en [a, b]. Por el Teorema de los Valores Extremos (Weierstrass), f alcanza un valor mínimo absoluto m (f(c) = m) y un valor máximo absoluto M (f(d) = M) en [a, b]. Es decir, m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Aplicando propiedades de la integral definida: ∫ab m dx ≤ ∫ab f(x) dx ≤ ∫ab M dx m(b – a) ≤ ∫ab f(x) dx ≤ M(b – a) Como b – a > 0, podemos dividir por (b – a): m ≤ [1 / (b – a)] ∫ab f(x) dx ≤ M Sea Y0 = [1 / (b – a)] ∫ab f(x) dx. Este valor Y0 está entre el mínimo (m) y el máximo (M) de la función continua f. Por el Teorema del Valor Intermedio (Bolzano) aplicado a f, debe existir al menos un α en [a, b] (de hecho, en (a, b) si f no es constante) tal que f(α) = Y0. Por lo tanto, f(α) = [1 / (b – a)] ∫ab f(x) dx, que es equivalente a f(α)(b – a) = ∫ab f(x) dx.

Función Integral

Sea f integrable en [a, b] y sea x un punto cualquiera en [a, b]. Se define la función integral de f como la función F tal que:

F(x) = ∫ax f(t) dt, para t ∈ [a, x]

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f continua en [a, b] y sea F la función integral correspondiente a f, definida como F(x) = ∫ax f(t) dt. Entonces, F es derivable en (a, b) y su derivada es f(x):

F'(x) = d/dx [∫ax f(t) dt] = f(x)

Esbozo de la demostración:

F'(x) = limh→0 [F(x + h) – F(x)] / h

F(x + h) – F(x) = ∫ax+h f(t) dt – ∫ax f(t) dt = ∫ax+h f(t) dt + ∫xa f(t) dt = ∫xx+h f(t) dt

Como f es continua en [a, b], también es continua en el intervalo [x, x+h] (o [x+h, x] si h < 0). Por el Teorema del Valor Medio para Integrales (TVMCI), existe un α entre x y x+h tal que:

xx+h f(t) dt = f(α)((x + h) – x) = f(α)h

Sustituyendo en la definición de derivada:

F'(x) = limh→0 [f(α)h] / h = limh→0 f(α)

Cuando h → 0, el punto α (que está entre x y x+h) tiende a x (α → x). Dado que f es continua, limα→x f(α) = f(x).

Por lo tanto, F'(x) = f(x). Este teorema afirma que toda función continua en [a, b] tiene una primitiva (antiderivada) en ese intervalo, que es precisamente su función integral.

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow)

Sea f continua en [a, b] y sea G una primitiva cualquiera de f en [a, b] (es decir, G'(x) = f(x)). Entonces:

ab f(x) dx = G(b) – G(a)

Esto también se denota como [G(x)]ab.

Esbozo de la demostración:

Por el Primer Teorema Fundamental, sabemos que F(x) = ∫ax f(t) dt es una primitiva de f. Por hipótesis, G(x) también es una primitiva de f. Como dos primitivas de la misma función en un intervalo difieren en una constante, tenemos:

G(x) = F(x) + C = ∫ax f(t) dt + C

Evaluamos en x = a:

G(a) = ∫aa f(t) dt + C = 0 + C ⇒ C = G(a)

Evaluamos en x = b:

G(b) = ∫ab f(t) dt + C

Sustituyendo C = G(a):

G(b) = ∫ab f(t) dt + G(a)

Reordenando, obtenemos la Regla de Barrow:

ab f(t) dt = G(b) – G(a)

Aplicaciones de la Integral Definida

Cálculo de Área en Coordenadas Cartesianas

Deseamos calcular el área de la región R delimitada por la curva y = f(x) (con f(x) ≥ 0), el eje de las x, y las rectas verticales x = a y x = b.

Se parte el intervalo [a, b] mediante una partición P = {x0, x1, …, xn}. Por cada xi se traza una vertical hasta que toque la curva. La región queda dividida en n franjas F1, …, Fn. El área total A(R) es la suma de las áreas de las franjas: A(R) = ∑ A(Fi).

Para aproximar el área de cada franja A(Fi), se toma un punto muestra ti ∈ [xi-1, xi] y se construye un rectángulo Ri con base Δxi = xi – xi-1 y altura h = f(ti). El área del rectángulo es A(Ri) = f(ti)Δxi.

El área total se aproxima por la suma de las áreas de los rectángulos: A(R) ≈ ∑ A(Ri) = ∑ f(ti)Δxi.

Para mejorar la aproximación, se aumenta el número de subintervalos de forma que la norma de la partición tienda a cero (||P|| → 0). Si el límite existe e independientemente de P y T, este límite es la integral definida:

A(R) = lim||P||→0i=1n f(ti)Δxi = ∫ab f(x) dx

Área con Curvas Paramétricas

Si una curva viene dada por las ecuaciones paramétricas x = f(t), y = g(t), con t ∈ [α, β], y la curva se traza exactamente una vez cuando t aumenta de α a β, el área bajo la curva (suponiendo g(t) ≥ 0) viene dada por:

A(R) = ∫αβ y dx = ∫αβ g(t) f'(t) dt (si x aumenta con t)

O A(R) = ∫βα g(t) f'(t) dt = -∫αβ g(t) f'(t) dt (si x disminuye con t).

Longitud de Arco

Se considera una función f continua y derivable en todo el intervalo [a, b]. Se parte el intervalo [a, b] con una partición P = {x0, …, xn}. Por cada xi, se obtiene un punto Pi = (xi, f(xi)) en la curva. La longitud de la curva L se aproxima por la suma de las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos: L ≈ ∑k=1n Longitud(Pk-1Pk).

La longitud del segmento Pk-1Pk es:

Longitud(Pk-1Pk) = √[(xk – xk-1)² + (f(xk) – f(xk-1))²] = √[Δxk² + Δyk²]

Como f es continua y derivable en [a, b], también lo es en cada subintervalo [xk-1, xk]. Por el Teorema del Valor Medio (para derivadas), existe γk ∈ (xk-1, xk) tal que:

f'(γk) = [f(xk) – f(xk-1)] / (xk – xk-1) = Δyk / Δxk

Entonces, Δyk = f'(γk)Δxk.

Sustituyendo en la longitud del segmento:

Longitud(Pk-1Pk) = √[Δxk² + (f'(γk)Δxk)²] = √[1 + (f'(γk))²] Δxk

La longitud total aproximada es L ≈ ∑k=1n √[1 + (f'(γk))²] Δxk.

Para mejorar la aproximación, hacemos que la norma de la partición tienda a cero (||P|| → 0). El límite de esta suma de Riemann es la integral definida:

L = lim||P||→0k=1n √[1 + (f'(γk))²] Δxk = ∫ab √[1 + (f'(x))²] dx

Área de una Superficie de Revolución

Se requiere que la función f sea derivable en [a, b] y que f(x) ≥ 0 en ese intervalo. Se desea calcular el área de la superficie generada al girar la curva y = f(x) alrededor del eje x.

Se parte el intervalo [a, b] con P = {x0, …, xn}. Cada subarco Pi-1Pi, al girar alrededor del eje x, genera una superficie (Sri). El área total A(SR) es la suma de las áreas de estas superficies: A(SR) = ∑ A(Sri).

Cada A(Sri) se aproxima con el área lateral de un cono truncado (Acti) cuya generatriz es el segmento Pi-1Pi, radio menor r ≈ f(xi-1) y radio mayor R ≈ f(xi). El área lateral de un cono truncado es A = π(R + r)g, donde g es la longitud de la generatriz.

A(Sri) ≈ A(cti) = π[f(xi-1) + f(xi)] * Longitud(Pi-1Pi)

Usando la expresión para la longitud del segmento derivada anteriormente:

A(Sri) ≈ π[f(xi-1) + f(xi)] √[1 + (f'(γi))²] Δxi

Cuando Δxi → 0, f(xi-1) y f(xi) tienden a f(x), y la suma se convierte en una integral:

A(SR) = lim||P||→0i=1n 2π f(τi) √[1 + (f'(γi))²] Δxi = ∫ab 2π f(x) √[1 + (f'(x))²] dx

(Donde τi es algún punto en [xi-1, xi], a menudo se usa f(x) directamente en la integral).

Volumen de un Sólido de Revolución (Método de Discos)

Se calcula el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región plana comprendida por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x = a y x = b, gira alrededor del eje x.

Se utiliza el volumen de un cilindro: V = πr²h.

Se parte el intervalo [a, b]. Cada subintervalo [xi-1, xi] define una franja. Se toma un punto muestra ti ∈ [xi-1, xi]. Se aproxima el volumen de la rebanada del sólido (Vsfi) generado por esta franja mediante un cilindro (disco) de radio r = f(ti) y altura h = Δxi.

V(sfi) ≈ V(ci) = π[f(ti)]² Δxi

El volumen total del sólido se aproxima por la suma de los volúmenes de los cilindros:

V(SR) ≈ ∑ V(ci) = ∑ π[f(ti)]² Δxi

Para mejorar la aproximación, hacemos que la norma de la partición tienda a cero (||P|| → 0). Si el límite existe, es la integral definida:

V(SR) = lim||P||→0i=1n π[f(ti)]² Δxi = ∫ab π[f(x)]² dx

Sucesiones

Teorema de Conexión Función-Sucesión: Si limx→∞ f(x) = L y la sucesión {an} se define como an = f(n) para n ≥ 1, entonces existe limn→∞ an = L.

Sucesiones Monótonas y Acotadas

  • Definición 1: Una sucesión {an} es creciente si y solo si an ≤ an+1 para todo n. Es decreciente si y solo si an ≥ an+1 para todo n. Si cumple alguna de estas definiciones, la sucesión es monótona.
  • Acotación: Una sucesión {an} es acotada si existe un número M > 0 tal que |an| ≤ M para todo n. Esto es equivalente a decir que el conjunto imagen {an | n ∈ ℕ} es acotado (superior e inferiormente).

Teoremas:

  • Teorema de Convergencia Monótona: Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
  • Si una sucesión {an} converge, entonces {an} es acotada. (El recíproco no es cierto).

Series Numéricas

Una serie es la suma de los términos de una sucesión infinita: ∑n=1 an.

Tipos Comunes de Series

  • Serie Geométrica:n=0 arn o ∑n=1 arn-1.
    • Si |r| < 1, la serie converge y su suma es S = a / (1 – r).
    • Si |r| ≥ 1, la serie diverge.
  • Serie Telescópica:n=1 (bn – bn+1) o ∑n=1 (bn+1 – bn).
    • Si limn→∞ bn+1 = L (finito), la primera forma converge a S = b1 – L.
    • La convergencia depende del límite del término general bn. La suma parcial es SN = b1 – bN+1 (para la primera forma).
  • Serie p (o Hiperarmónica):n=1 1/np.
    • Si p > 1, la serie converge.
    • Si p ≤ 1, la serie diverge. (Si p = 1, es la serie armónica, que diverge).

Criterios de Convergencia para Series de Términos Positivos

Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia

Teorema: Si la serie ∑n=1 an converge, entonces limn→∞ an = 0.

Contrapositivo (uso principal): Si limn→∞ an ≠ 0 o el límite no existe, entonces la serie ∑n=1 an diverge.

Esbozo de la demostración: Si ∑ an converge, entonces la sucesión de sumas parciales {Sn} converge a un límite L: limn→∞ Sn = L. Como Sn = Sn-1 + an, tomando límites: limn→∞ Sn = limn→∞ Sn-1 + limn→∞ an. Por lo tanto, L = L + limn→∞ an, lo que implica que limn→∞ an = 0.

Criterio de la Integral (de Cauchy-Maclaurin)

Sea ∑n=1 an una serie con an ≥ 0 para todo n. Sea f una función tal que f(n) = an para n ≥ n0 (para algún n0 ∈ ℤ). Si f es continua, positiva y decreciente en [n0, ∞), entonces:

La serie n=n0 an y la integral impropia n0 f(x) dx tienen el mismo comportamiento (ambas convergen o ambas divergen).

Criterio de Comparación Directa

Sean ∑ an y ∑ bn dos series tales que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ≥ n0.

  • a) Si la serie mayor ∑ bn converge, entonces la serie menor ∑ an también converge.
  • b) Si la serie menor ∑ an diverge, entonces la serie mayor ∑ bn también diverge.

Criterio de Comparación por Límite

Sean ∑ an y ∑ bn dos series con an ≥ 0 y bn > 0 para todo n ≥ n0. Sea:

c = limn→∞ (an / bn)

  • a) Si c es un número finito y c > 0 (0 < c < ∞), entonces ambas series tienen el mismo comportamiento (ambas convergen o ambas divergen).
  • b) Si c = 0 y la serie ∑ bn converge, entonces la serie ∑ an también converge.
  • c) Si c = ∞ y la serie ∑ bn diverge, entonces la serie ∑ an también diverge.

Criterio de la Razón (o del Cociente / D’Alembert)

Sea ∑ an una serie con an > 0 para todo n ≥ n0. Sea:

c = limn→∞ (an+1 / an)

  • a) Si c < 1, la serie ∑ an converge.
  • b) Si c > 1 (o c = ∞), la serie ∑ an diverge.
  • c) Si c = 1, el criterio no decide (se debe usar otro criterio).

Series Alternadas

Criterio de Leibniz para Series Alternadas

Sea la serie alternada ∑n=1 (-1)n+1 an (o ∑n=1 (-1)n an). La serie converge si se cumplen las siguientes tres condiciones:

  1. an > 0 para todo n (o a partir de algún n0).
  2. La sucesión {an} es decreciente: an ≥ an+1 para todo n (o a partir de algún n0).
  3. limn→∞ an = 0.

Convergencia Absoluta y Condicional

  • Definición 1: La serie ∑ an es absolutamente convergente si la serie de sus valores absolutos, ∑ |an|, converge.
  • Definición 2: La serie ∑ an es condicionalmente convergente si la serie ∑ an converge, pero la serie ∑ |an| diverge.

Criterio de la Convergencia Absoluta

Teorema: Si la serie ∑ |an| converge (es decir, ∑ an es absolutamente convergente), entonces la serie ∑ an también converge.

Esbozo de la demostración: Se utiliza la desigualdad -|an| ≤ an ≤ |an|. Sumando |an| a los tres términos, obtenemos: 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|. Por hipótesis, ∑ |an| converge. Como 2 es una constante, la serie ∑ 2|an| también converge. Aplicando el Criterio de Comparación Directa a 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|, concluimos que la serie ∑ (an + |an|) converge. Sabemos que una combinación lineal de series convergentes es convergente. Consideremos la serie original como: ∑ an = ∑ [(an + |an|) – |an|]. Como ∑ (an + |an|) converge y ∑ |an| converge (por hipótesis), su diferencia, que es ∑ an, también debe converger.

Series de Taylor y Maclaurin

Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en un intervalo I que contiene a ‘a’.

La Serie de Taylor de f centrada en ‘a’ es:

n=0 [f(n)(a) / n!] (x – a)n = f(a) + f'(a)(x-a) + [f»(a)/2!](x-a)² + …

(Donde f(n)(a) es la n-ésima derivada de f evaluada en a, y f(0)(a) = f(a)).

Si a = 0, la serie se llama Serie de Maclaurin.

El Polinomio de Taylor de grado n de f centrado en ‘a’ es la n-ésima suma parcial de la serie de Taylor:

Pn(x) = ∑k=0n [f(k)(a) / k!] (x – a)k

Fórmula de Taylor con Resto

Sea f una función con derivadas hasta el orden n+1 en un intervalo I que contiene a ‘a’. Para cualquier x ∈ I, existe un número ‘c’ estrictamente entre ‘a’ y ‘x’ tal que:

f(x) = Pn(x) + Rn(x)

donde Pn(x) es el polinomio de Taylor de grado n y Rn(x) es el resto n-ésimo. La forma de Lagrange del resto es:

Rn(x) = [f(n+1)(c) / (n+1)!] (x – a)n+1

La serie de Taylor converge a la función f(x) si y solo si el límite del resto tiende a cero cuando n tiende a infinito:

limn→∞ Rn(x) = 0

Acotación del Error (Fórmula de Lagrange)

Si existe un número M tal que |f(n+1)(t)| ≤ M para todo t entre ‘a’ y ‘x’, entonces se puede acotar el valor absoluto del resto (el error al aproximar f(x) con Pn(x)):

|Rn(x)| = |f(x) – Pn(x)| ≤ [M / (n+1)!] |x – a|n+1