Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales y Subespacios

Teoría de Espacios Vectoriales

1. Definición de Subespacio Vectorial de Rⁿ

Sea V (o Rⁿ) un espacio vectorial, y sea W un subconjunto de V no vacío (W ⊂ V, W ≠ ∅). Decimos que W es un subespacio vectorial de V si (W, +, *) tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones de V, es decir, si verifica:

• u + v ∈ W, ∀u, v ∈ W
• αu ∈ W, ∀α ∈ R, ∀u ∈ W

2. Condición Necesaria y Suficiente para que W ⊂ V sea un Subespacio Vectorial

Dado un espacio vectorial V y un subconjunto W no vacío de V (W ⊂ V, W ≠ ∅), es condición necesaria y suficiente para que W sea subespacio vectorial de V que se cumpla:

W es un subespacio de V ⇔ {∀u, v ∈ W} → αu + βv ∈ W, ∀α, β ∈ R

3. Significado de que los Vectores {u₁, u₂, u₃} sean Generadores de un Espacio Vectorial V. Definición de Sistema de Generadores

V = 〈u₁, u₂, …, u_n〉: Un conjunto u₁, u₂, u₃ de vectores pertenecientes al espacio vectorial V, es un sistema de generadores del espacio vectorial V si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de u₁, u₂, u₃.

4. Definición de Base de un Espacio Vectorial V

Sean u₁, u₂, …, u_n un conjunto de vectores del espacio vectorial V. Se dice que un conjunto B = 〈u₁, u₂, …, u_n〉 es una base del espacio vectorial V si:

1. B es linealmente independiente
2. B es generador de V → 〈B〉 = V

Por lo que todo vector de V se puede escribir como combinación lineal única de la base. Es decir, una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio vectorial V.

5. Definición de la Dimensión de un Espacio Vectorial

La dimensión de un espacio vectorial V (dim{V}) es el número de vectores linealmente independientes de dicho espacio (o el número de vectores que forman una base de V). Sea V = 〈B〉, B = {u₁, u₂, …, u_n} una base de V (formada por n vectores), entonces la dimensión de V es → dim{V} = n.

Siendo n → {el número mínimo de vectores generadores de V, el número máximo de vectores independientes de V}

6. Definición de Combinación Lineal de Vectores

Sean u₁, u₂, …, u_n vectores pertenecientes al espacio vectorial V, y sean los escalares α₁, α₂, …, α_n ∈ R, la expresión:

v = u₁α₁ + u₂α₂ + … + u_nα_n = ∑u_iα_i se denomina combinación lineal de los vectores u₁, u₂, …, u_n

7. Definición de las Coordenadas de un Vector v de un Espacio Vectorial V, respecto a la Base B

Un conjunto B = {u₁, u₂, …, u_n} ⊂ V, es una base de V si y solo si todo vector de V se puede escribir de manera única como combinación lineal de los elementos de B.

v = u₁α₁ + u₂α₂ + … + u_nα_n

A los escalares α₁, α₂, …, α_n se les llama coordenadas del vector v de V en la base B. Y estos escalares de la combinación lineal son únicos (ya que todo vector de V se puede escribir de forma única como combinación lineal de los elementos de B).

8. Definición de Vectores Linealmente Independientes y Linealmente Dependientes

Un conjunto u₁, u₂, …, u_n de vectores pertenecientes a un espacio vectorial V, son linealmente independientes (o libres) si:

u₁α₁ + u₂α₂ + … + u_nα_n = θ ⇒ α₁ = α₂ = … = α_n = 0 (solución trivial)

Si no se verifica esto, es decir, si existe algún α_i ≠ 0 tal que ∑u_iα_i = θ, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado.

9. Explicación de Conjunto de Vectores Linealmente Dependientes en un Espacio Vectorial, sabiendo que v₁ = 3v₂ – v₃

Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. En nuestro ejercicio tenemos:

v₁ = 3v₂ – v₂ →

w₁ + w₂ = 3(w₂ – 2w₃) – w₃ + 3w₄ →

w₁ + w₂ = 3w₂ – 6w₃ – w₃ + 3w₄ →

w₁ = 2w₂ – 7w₃ + 3w₄ →

Como uno de los vectores se puede expresar como combinación lineal de los otros, entonces los vectores w₁, w₂, w₃, w₄ son linealmente dependientes.

10. Si u y v son Linealmente Independientes, ¿también lo son 2u y 3v?

Verdadero. Serán independientes si α2u + β3v = θ → α = β = 0

Como en el enunciado dice que u y v son linealmente independientes, entonces se cumple que:

{α2 = 0 → α = 0, β3 = 0 → β = 0}

Por lo que los vectores 2u y 3v son linealmente independientes.

11. Demostrar que el Conjunto {u₁, u₂, …, u_n, θ} es un Conjunto Ligado

Si existe algún α_i ≠ 0 tal que ∑α_iu_i = θ, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado.

Cualquier conjunto de vectores que contenga el vector nulo θ, es un conjunto linealmente dependiente (ligado) → {u₁, u₂, …, θ, …, u_n} es un conjunto linealmente dependiente, pues como podemos comprobar, la igualdad se cumple para cualquier valor del coeficiente α* (no tiene por qué ser cero).

α₁u₁ + α₂u₂ + α*θ + … + α_nv_n = θ

12. Demostrar que el Conjunto {v₁, v₂, v₁, v₃, …, v_n} ∈ Rⁿ es Ligado

Si existe algún α_i ≠ 0 tal que ∑α_iv_i = θ, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado. (Si son linealmente dependientes, al igualar una combinación lineal de los vectores al vector θ, la igualdad se verifica para algún coeficiente α_i ≠ 0).

Si uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros, entonces los vectores son linealmente dependientes. Y en nuestro caso, como tenemos dos vectores iguales (v₁), entonces uno de ellos se puede escribir como combinación lineal del resto, y por tanto son dependientes o ligados:

α₁v₁ + α₂v₂ + α*₁v₁ + α₃v₃ + … + α_nv_n = θ

(1α + 1α*)v₁ + α₂v₂ + α₃v₃ + … + α_nv_n = θ

La igualdad se verifica para α₁ + α*₁ = 0 → α₁ = -α*₁ (y este valor no tiene por qué ser cero), por lo tanto, el conjunto de valores son ligados o linealmente dependientes.

13. ¿Un Conjunto de Vectores Linealmente Independientes puede contener dos Vectores Proporcionales?

Falso. Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede tener dos vectores proporcionales, porque si son proporcionales, uno es combinación lineal del otro y, por tanto, serían linealmente dependientes.

14. Demostrar que en una Base de V, todo Vector de V se puede escribir de forma única como Combinación Lineal de la Base

Supongamos que B = {v₁, v₂, …, v_n} es una base de V. Vamos a coger un vector (v) del espacio V y lo vamos a escribir como dos combinaciones lineales distintas de los vectores de la base:

Entonces:

v = α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_nv_n

v = β₁v₁ + β₂v₂ + … + β_nv_n

α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_nv_n = β₁v₁ + β₂v₂ + … + β_nv_n →

(α₁ – β₁)v₁ + (α₂ – β₂)v₂ + … + (α_n – β_n)v_n = θ → Por ser una base, los vectores {v₁, v₂, …, v_n} son linealmente independientes y, por tanto, los coeficientes de esta combinación lineal tienen que ser cero → α_i – β_i = 0 → α_i = β_i ∀i = 1, …, n

Y, por tanto, queda demostrado que v se escribe de forma única como combinación lineal de la base.

15. Demostrar que el Conjunto de Matrices Simétricas de Orden 2 es un Subespacio Vectorial del Conjunto de Matrices Cuadradas de Orden 2

Podemos escribir el conjunto de matrices simétricas A = {X ∈ M₂ / X^t = X}. Tendríamos que comprobar que αX + βY ∈ A:

(αX + βY)^t = αX^t + βY^t = αX + βY ∈ A, por tanto, A es un subespacio vectorial de M₂.

16. Sean u₁, u₂, u₃, …, u_m ∈ R^m. Demostrar que si ∃α₂, α₃, …, α_m ∈ R / u₁ = α₂u₂ + α₃u₃ + … + α_mu_m, entonces el Conjunto de Vectores {u₁, u₂, u₃, …, u_m} es Linealmente Dependiente

Un conjunto de vectores {u₁, u₂, u₃, …, u_m} son linealmente independientes si en la ecuación:

α₁u₁ + α₂u₂ + α₃u₃ + … + α_mu_m = θ, todos los coeficientes α₁, α₂, …, α_m son iguales a cero, α_i = 0

Si tenemos que:

α₂u₂ + α₃u₃ + … + α_mu_m = u₁

Y despejamos (igualamos a θ) tenemos:

-u₁ + α₂u₂ + α₃u₃ + … + α_mu_m = θ

Y, por tanto, como podemos ver, la ecuación:

α₁u₁ + α₂u₂ + α₃u₃ + … + α_mu_m = θ

se verifica para el valor de α₁ = -1

Por lo que podemos concluir que en la combinación lineal no todos los coeficientes α_i = 0, y entonces el conjunto de vectores {u₁, u₂, u₃, …, u_m} son linealmente dependientes.