Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística
Definición Clásica de Probabilidad o “A Priori”
En una probabilidad clásica, la probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. La oportunidad de ocurrencia de un evento se define como el número de formas en las que el evento ocurre dividido por el número total de resultados posibles.
Regla de la Suma de Probabilidades
Para calcular la probabilidad de que ocurra cualquier suceso A o B, se usa la regla de la suma.
Esta regla considera que puede ocurrir el suceso A, el suceso B o ambos sucesos A y B.
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Para sucesos mutuamente excluyentes (como el lanzamiento de una moneda), la regla se reduce a: P(A o B) = P(A) + P(B)
Producto de Probabilidades / Probabilidad Compuesta
La fórmula de la probabilidad condicional se puede manipular algebraicamente de modo que la probabilidad conjunta se puede determinar a partir de la probabilidad condicional de un suceso.
P(A y B) = P(A | B) * P(B) = P(B | A) * P(A)
Esta regla puede aplicarse si se tiene que calcular la probabilidad de que ocurran conjuntamente tres o más sucesos. Es importante determinar si los sucesos son o no independientes.
Sucesos Mutuamente Excluyentes
El suceso mutuamente excluyente indica que los dos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo tanto, su interacción es vacía (como en el caso de lanzar una moneda).
La independencia indica que un suceso no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional se denota como P(M | I) e indica la probabilidad condicional del suceso M sabiendo que se verificó el suceso I.
Se puede calcular a partir del espacio muestral reducido o el espacio muestral original aplicando la siguiente fórmula: P(B | A) = P(B o A) / P(A) con P(A) ≠ 0.
¿Cuándo Son Independientes Dos Sucesos?
Los sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta las posibilidades de que el otro ocurra. Es decir, A es independiente de B y B es independiente de A.
Distribución Binomial
Una distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta que se usa frecuentemente es la distribución binomial.
A partir de una experiencia en la que ocurre uno de dos resultados posibles: A o (no A) y ante n repeticiones independientes de la misma, se define la variable binomial x: número de veces que ocurre el resultado A en las n repeticiones. Existen n repeticiones idénticas que conducen a uno de dos resultados: éxito o fracaso.
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson se usa para modelizar situaciones en las que hay ocurrencias aleatorias de sucesos por unidad de espacio o tiempo y en donde se desea conocer la probabilidad de un número específico de éxitos.
Se dice que existe un proceso de Poisson si al considerar un experimento en el que se observa la aparición de sucesos puntuales en un intervalo continuo (de tiempo, área, etc.), en cualquier intervalo suficientemente pequeño del intervalo continuo se verifica que:
- La probabilidad de observar exactamente más de un éxito en el intervalo es estable.
- La probabilidad de observar exactamente más de un éxito en el intervalo dado es 0.
Λ (Lambda) es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio.
X es el número de ocurrencias cuya probabilidad se desea conocer.
E es la base de los logaritmos naturales.
La fórmula de la distribución de Poisson muestra que la misma describe una variable aleatoria discreta que puede tomar cualquier valor de una sucesión infinita.
Inferencia Estadística
La inferencia estadística es un proceso que usa información proveniente de la muestra para generalizar y tomar decisiones acerca de toda la población en estudio.
Diferencias entre Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis
Los dos procedimientos más ampliamente utilizados de inferencia estadística son:
- La construcción de un intervalo de confianza cuando el objetivo sea estimar un parámetro poblacional.
- La prueba de hipótesis, cuando el objetivo sea tomar una decisión respecto de una hipótesis que se formula sobre el valor de un parámetro poblacional.
Coeficiente de Correlación / Análisis de Regresión
Análisis de Regresión: Es un procedimiento estadístico que estudia la relación funcional entre variables, con el objeto de predecir una en función de la/s otra/s.
Análisis de Correlación: Un grupo de técnicas estadísticas dadas para medir la intensidad de la relación entre dos variables.