Desafíos Actuales y Futuros en la Enseñanza de las Matemáticas: Estrategias Innovadoras

¿Por Qué es Difícil la Enseñanza de las Matemáticas?

La matemática ha sido un instrumento de creación de belleza artística y un campo de ejercicio lúdico entre los matemáticos de todos los tiempos. La complejidad de la matemática y de la educación sugiere que los teóricos de la educación matemática, y no menos los agentes de ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que, en muchos aspectos, la dinámica actual está generando.

Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales. En nuestro país, ejercieron gran influencia a partir de 1927, por el interés de Rey Pastor, quien publicó, en su Biblioteca Matemática, su traducción al castellano. Hoy día, podemos afirmar con toda justificación que seguimos estando en una etapa de profundos cambios.

Entre las principales características del movimiento y los efectos por él producidos, se pueden contar los siguientes:

Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas, especialmente en álgebra.

Los años 70 y 80 han presentado una discusión, en muchos casos vehemente y apasionada, sobre los valores y contravalores de las tendencias presentes, y luego una búsqueda intensa de formas más adecuadas de afrontar los nuevos retos de la enseñanza matemática por parte de la comunidad matemática internacional.

¿Qué es la Actividad Matemática?

La actividad matemática se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que incluyen:

Una simbolización adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja.
Una manipulación racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se adhieren a las convenciones iniciales de partida.

Más adelante, el mismo espíritu matemático se habría de enfrentar con:

La complejidad del símbolo (álgebra).
La complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo).
La complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad, estadística).

Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de los matemáticos sobre su propio quehacer vienen provocando, de forma más o menos consciente, fluctuaciones importantes en las consideraciones sobre lo que la enseñanza matemática debe ser.

Apoyo Permanente en lo Real

Como vamos a ver en seguida, esta idea tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Nuestra enseñanza ideal debería tratar de reflejar este carácter profundamente humano de la matemática, ganando con ello en asequibilidad, dinamismo, interés y atractivo.

El Centro de la Educación Matemática

La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido.

En esta dirección se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heurísticas adecuadas para la resolución de problemas en general, por estimular la resolución autónoma de verdaderos problemas, más bien que la mera transmisión de recetas adecuadas en cada materia. Lo verdaderamente importante vendrá a ser su preparación para el diálogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.

La educación matemática adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante tarea.

La Inculturación a Través del Aprendizaje Activo

Si conocemos la evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir, la situación reciente de las teorías que de ellas han surgido.

Su aplicación a la resolución de los problemas, que en un principio aparecían como objetivos inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfacción y placer intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matemático eficaz y de una fuerte atracción hacia la matemática.

Pero el profesor debería saber cómo han ocurrido las cosas para:

Comprender mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad, en la elaboración de las ideas matemáticas, y a través de ello las de sus propios alumnos.
Entender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfonía matemática.

Ahí es donde se pueden buscar las ideas originales en toda su sencillez y originalidad. Y, sin embargo, todas estas cuestiones han tenido que ser, en algún tiempo, materia de ardua reflexión.

Tal visión dinámica nos capacitaría para muchas tareas interesantes en nuestro trabajo educativo:

Posibilidad de extrapolación hacia el futuro.
Inmersión creativa en las dificultades del pasado.

Mientras llega una situación razonable, yo me atrevería a aconsejar:

La lectura atenta de algunos de los numerosos y excelentes tratados de historia que van apareciendo en castellano (Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness…).
Acudir, para los temas del interés particular de cada uno, a las fuentes originales, especialmente de los clásicos.
Leer las biografías de los grandes matemáticos, al menos en la forma sucinta en que aparecen en el Dictionary of Scientific Biography.
Enmarcar temporal y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivación, precedentes.
Señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en la que se encuentran actualmente.
Apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible.

Si no es capaz de resolver problemas, se trata de considerar como lo más importante:

Que el alumno manipule los objetos matemáticos.
Que active su propia capacidad mental.
Que ejercite su creatividad.
Que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente.
Que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental.
Que adquiera confianza en sí mismo.
Que se divierta con su propia actividad mental.
Que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana.

He aquí unas cuantas razones interesantes:

Porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jóvenes: capacidad autónoma para resolver sus propios problemas.
Porque el mundo evoluciona muy rápidamente: los procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos.
Porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo.
Porque muchos de los hábitos que así se consolidan tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemáticas.

Pero lo que tradicionalmente se ha venido haciendo por una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes fases:

La forma de presentación de un tema matemático basada en el espíritu de la resolución de problemas debería proceder más o menos del siguiente modo:

Propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos…).
Manipulación autónoma por los estudiantes.
Familiarización con la situación y sus dificultades.
Elaboración de estrategias posibles.
Ensayos diversos por los estudiantes.
Herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados).
Elección de estrategias.
Ataque y resolución de los problemas.
Recorrido crítico (reflexión sobre el proceso).
Afianzamiento formalizado (si conviene).
Generalización.
Nuevos problemas.

Los viernes ponen el énfasis en los procesos de pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver con los programas de su materia, y los demás días de la semana se dedican con sus alumnos a machacar bien los contenidos que hay que cubrir, sin acordarse.

Por ello, considero importante trazar, aunque sea someramente, las líneas de trabajo que se pueden seguir a fin de conseguir una eficaz preparación en el tema.

El Trabajo en Grupo

El trabajo en grupo en este tema tiene una serie de ventajas importantes:

Proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento, al permitirnos percibir las distintas formas de afrontar una misma situación-problema.
Se puede aplicar el método desde diferentes perspectivas, unas veces en el papel de moderador del grupo, otras en el de observador de su dinámica.
El grupo proporciona apoyo y estímulo en una labor que de otra manera puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia que requiere.
El trabajo con otros nos da la posibilidad de contrastar los progresos que el método es capaz de producir en uno mismo y en otros.

Algunos de los aspectos que es preciso atender en la práctica inicial adecuada son los siguientes:

Exploración de los diferentes bloqueos que actúan en cada uno de nosotros, a fin de conseguir una actitud sana y agradable frente a la tarea de resolución de problemas.
Práctica de los diferentes métodos y técnicas concretas de desbloqueo.
Exploración de las aptitudes y defectos propios más característicos, con la elaboración de una especie de autorretrato heurístico.
Ejercicio de diferentes métodos y alternativas.
Práctica sostenida de resolución de problemas con la elaboración de sus protocolos y su análisis en profundidad.

Primera parte (media hora).

El esquema concreto de trabajo puede tener lugar según estas cuatro fases que pueden servir como marco muy general:

En busca de estrategias posibles.

En la bibliografía, al final de estas notas, se pueden encontrar varios lugares en los que he tratado de proporcionar una descripción más detallada de esta forma de proceder.

Aparte de que estaríamos con ello prescindiendo del gran poder motivador que la modelización y las aplicaciones poseen.

El Juego en la Educación Matemática

Huizinga lo analiza en su obra Homo ludens, presenta unas cuantas características peculiares:

Es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar.
Tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación.
El juego no es broma; el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego.
El juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su ejecución.
El juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio.
Existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan gran placer.
El juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practican.

Son los procesos de las mentes más creativas que están ahora a su disposición para que él haga uso de ellas en las situaciones más confusas y delicadas. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías matemáticas, fértiles en ideas y problemas.

Del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Martin Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista americana Scientific American: «Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de mata, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas».

El matemático experto comienza su aproximación a cualquier cuestión de su campo con el mismo espíritu explorador con el que un niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco va desentrañando.

En su aprendizaje se puede utilizar con gran provecho, como hemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su historia, las biografías de los matemáticos más interesantes, sus relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningún otro camino puede transmitir cuál es el espíritu correcto para hacer matemáticas como un juego bien escogido.

Las experiencias son altamente satisfactorias, consiguiéndose en muchos casos a través de interesantes problemas, mediante la difusión de parcelas de la historia de la matemática o de sus aplicaciones, la involucración de familias y poblaciones enteras en actividades que en principio tal vez fueron planeadas para los estudiantes.

Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy difícil.

Cuyos problemas resultaban opacos, en parte por las enormes masas de información.

El Impacto de la Tecnología en la Enseñanza de las Matemáticas

Aunque parece bastante obvio que el sabor de la matemática del futuro será bastante diferente del actual por razón de la presencia del ordenador, aún no se ve bien claro cómo esto va a plasmarse en los contenidos de la enseñanza primaria y secundaria. O a la extracción a mano de la raíz cuadrada de un número de seis cifras.

En la actualidad, año 1991, en nuestra segunda enseñanza, así como en los primeros años de nuestra enseñanza universitaria, dedicamos gran energía y largo tiempo a fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y agilidad en el cálculo de derivadas, antiderivadas, resolución de sistemas lineales, multiplicación de matrices, representación gráfica de funciones, cálculo de la desviación típica…

Ya desde hace unos años existen en el mercado calculadoras de bolsillo que son capaces, sin más que apretar unas pocas teclas, en unos breves segundos, de hallar la derivada de (l+(1/x))^1/x, de dar su polinomio de Taylor hasta el término de tercer grado, de representar…

Por otra parte, la calculadora me proporciona la gráfica de la función: de esta calculadora que realiza cálculo simbólico, además del numérico, y por supuesto mucho más la de los ordenadores actuales, potencian claramente las posibilidades de la matemática elemental para las aplicaciones realistas que hasta ahora estaban vedadas en nuestros cursos por el exceso de tedioso cálculo simbólico y numérico que habría que efectuar a mano.

En realidad, es un fenómeno universal que, a mi parecer, se debe en buena medida a la falta de preparación específica en este importante aspecto de la educación matemática.

Las obras elementales de Coxeter pueden ser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno.

Probabilidad y Estadística

Tal vez nos falten buenos modelos de enseñanza de ellas.

La Universidad y la Formación de Profesores de Matemáticas

Lo que la sociedad tiene derecho a esperar de la universidad en lo que respecta a la formación inicial de aquellas personas a las que les va a confiar la educación matemática de los más jóvenes se podría concretar en:

Una componente científica adecuada para su tarea específica.
Un conocimiento práctico de los medios adecuados de transmisión de las actitudes y saberes que la actividad matemática comporta.

Pienso que son raras entre nosotros las universidades que no descuidan abiertamente esta seria obligación con respecto a la sociedad y que urge poner manos a la obra a fin de remediar esta situación rápidamente.

A mi parecer, es muy necesario, por lo que a la sociedad le va en ello, que se formen en nuestras universidades buenos equipos de investigación en educación matemática que ayuden a resolver los muchos problemas que se presentan en el camino para una enseñanza matemática más eficaz.

Popularización de la Matemática

En la comunidad matemática internacional se viene prestando recientemente una gran atención a los medios convenientes para lograr abrir los ojos de amplios sectores de la sociedad hacia los beneficios de todos los órdenes que puede reportar una cultura que integre, del modo debido, ciencia y matemática.

Constituye una gran responsabilidad social la indudable pérdida de potencial humano que se produce a través de una enseñanza matemática inadecuada, que no logra presentar esta ciencia como una actividad atractiva, interesante, asequible, divertida, incardinada en la cultura y en la historia, útil para la vida y el desarrollo de la sociedad.