Desarrollo del Pensamiento Geométrico: Errores y Estrategias Didácticas

Errores Comunes y Estrategias Didácticas en Geometría

Comprensión de Área y Perímetro: Desafíos y Actividades

Un **error bastante frecuente** es que, en algunos casos, los niños calculan el **área** y el **perímetro** de una figura y le asignan el dato mayor al área y el menor al perímetro.
En una **investigación** llevada a cabo por Wagman en 1982, se constató que un tercio de los sujetos que intervinieron en ella **confundía el área con el perímetro**.
La frecuencia con la que se presenta este error se puede entender si revisamos la **metodología** que generalmente se utiliza. Al alumnado se le presentan las mismas actividades, basadas en dibujos para determinar el área y el perímetro. Por tanto, es interesante que realicen actividades de **recorte**, **pegado**, **coloreado**, **hilos**, etc., que hayan puesto de manifiesto las **diferencias entre los dos conceptos**. El hecho de que dos figuras tengan la misma área induce a algunos niños a creer que tienen el mismo perímetro. Más del 90% tiende espontáneamente a afirmar que existe una **dependencia entre el aumento o disminución del perímetro y el aumento o disminución del área**.

Algunas de las **actividades** que propone M. A. del Olmo (1993) para **distinguir el área del perímetro** son:

Facilitar ejemplos de figuras que, a pesar de dimensiones engañosas, tengan la **misma área** (tales como **paralelogramos** de la misma base y altura).
Facilitar ejemplos de figuras que, a pesar de engañosas coincidencias en sus dimensiones lineales, tengan **distinta área** (como el **rombo** obtenido por flexión del cuadrado).

Estas dos ideas se pueden trabajar con **mecanos**.

Trabajo con cuerda: Con una cuerda de una longitud dada (fija), construir diferentes figuras (**perímetro constante**).
Trabajo con **cuadrados** y **triángulos** de cartulina: Con un número fijo de cuadrados o triángulos, construir diferentes polígonos (**área constante**).
Clasificar los **pentaminós**, los **tetrahexos**, los **hexadiamantes**… por su **perímetro**.
Comparar diversas figuras construidas con **poliminós**, **tetrahexos**, etc., respecto de su **área** y su **perímetro**.
Considerar o proyectar la construcción de **jardines** de distintas formas con igual cantidad de **valla**.

Fases del Proceso de Aprendizaje

Fase 1. Indagación

El maestro sostiene un diálogo con los alumnos acerca de los objetos de la materia que se va a estudiar, lo que le permite conocer las interpretaciones que los alumnos les dan a las palabras. En esta fase se prepara el **terreno conceptual** para el estudio posterior.

Fase 2. Orientación Dirigida

El profesor organiza en forma secuencial las actividades de exploración de los alumnos, por medio de las cuales estos pueden tomar **conciencia de los objetivos** que se persiguen y se familiarizan con las **estructuras características**. La mayoría de las actividades en esta fase consisten en tareas de un solo paso en las que se les pide a los alumnos dar respuestas específicas.

Fase 3. Explicitación

Los estudiantes refinan el empleo de su vocabulario, construyendo ahora sobre experiencias previas. La intervención del maestro en esta fase debe restringirse a lo mínimo indispensable y orientarse a facilitar la **expresión explícita de las opiniones** de los alumnos con respecto a las **estructuras intrínsecas del estudio**. En esta fase, los alumnos empiezan a formar el **sistema de relaciones** del estudio, a partir del cual podrán operar con eficacia en la solución de los problemas. Es en esta fase cuando el **diálogo socrático** puede resultar particularmente fértil.

Fase 4. Orientación Libre

Los alumnos encuentran en esta fase tareas de **múltiples pasos**, así como otras que pueden llevarse a cabo por procedimientos diferentes. Esto les permite adquirir experiencia en el hallazgo de su manera propia de resolver las tareas. La unidad 4, **Conceptos Geométricos Fundamentales: Estudio de Figuras en el Plano. Áreas**, es un ejemplo. Los alumnos llegan a hacer explícitas muchas de las **relaciones entre los objetos de estudio** cuando se les estimula a orientarse por sí mismos en el campo de investigación.

Fase 5. Integración

Los alumnos revisan en esta fase los métodos que tienen a su disposición y lanzan una mirada de conjunto, con lo cual se busca que **unifiquen los objetos y las relaciones** y que los **asimilen internamente** en un nuevo dominio de pensamiento. La ayuda del maestro en esta fase consiste en proporcionar a los alumnos algunas **vistas panorámicas** de aquello que ellos ya conocen, teniendo cuidado de no presentarles ideas nuevas o discordantes.

Conceptos de Conservación en el Desarrollo Cognitivo

Conservación del Peso

Hay alumnos que presentan dificultades ante actividades en donde la forma o el contenido de un objeto puede o no cambiar el peso del objeto. Por ejemplo: se toma una bola de plastilina redonda y se pregunta si pesa lo mismo cuando se estira en forma de salchicha. A los 7 años y medio, el 57% de los niños admite la **conservación del peso**. A los 10 años, el 86% de los niños admite la **conservación del peso**.

Conservación de Volumen de Líquido y Capacidad

**Piaget** demostró que los niños pequeños relacionan el volumen con la altura e incluso cuando ven trasvasar un líquido entre dos recipientes, piensan que habrá mayor volumen en el más alto. Rotwey Uges (1979) repitió el experimento y obtuvo los siguientes resultados: A los 7 años y medio, el 43% de los niños admite la **conservación del volumen**. A los 10 años, el 82% de los niños admite la **conservación del volumen**.

Errores en el Concepto de Simetría

1) Errores cuyo origen está en el **concepto de simetría**, ya que surgen cuando los estudiantes no aplican correctamente las dos propiedades que relacionan una figura y su imagen:

**Falta de equidistancia** al eje de cada punto y su imagen, como se muestra en la figura (a), donde la imagen correcta aparece punteada.
**Falta de perpendicularidad** respecto del eje del segmento que une un punto y su imagen (b).

Niveles de Razonamiento Geométrico (Van Hiele)

Nivel 0. Visualización

Los alumnos reconocen las figuras por su **apariencia global**. Es aquí donde el alumno percibe las figuras como un todo global, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. Pueden aprender el empleo de cierto vocabulario para identificar algunas figuras (por ejemplo, las palabras **triángulo**, **cuadrado**, **cubo**), pero no son capaces de identificar explícitamente las **propiedades de las figuras**. Por ejemplo, un niño de 6 años puede reproducir un cuadrado, un rombo, un rectángulo; puede recordar de memoria sus nombres. Pero no es capaz de ver que el cuadrado es un tipo especial de rombo o que el rombo es un paralelogramo particular. Para él son formas distintas y aisladas.

Nivel 2. Deducción Informal (Clasificación)

Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas, pero solo con ayuda y guía. Los alumnos relacionan las figuras con sus **propiedades** (por ejemplo, con enunciados como «todo cuadrado es un rectángulo»). Pero no son capaces de organizar los enunciados en forma secuencial para justificar sus observaciones. Los alumnos pueden clasificar figuras jerárquicamente mediante la ordenación de sus propiedades y dar **argumentos informales** para justificar sus clasificaciones; por ejemplo, un cuadrado es identificado como un rombo porque puede ser considerado como un rombo con unas propiedades adicionales. En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son las **propiedades de clases de figuras**.

Nivel 3. Deducción Formal

En él se entiende el sentido de los **axiomas**, las **definiciones** y los **teoremas**, pero aún no se hacen **razonamientos abstractos**, ni se entiende suficientemente el significado del **rigor de las demostraciones** y no alcanzan a comprender las relaciones entre varios sistemas deductivos.

Nivel 4. Rigor

Los alumnos analizan diversos **sistemas deductivos** con un grado de rigor comparable al exigido por **Hilbert** en su tratamiento de la geometría. Los estudiantes comprenden las propiedades de que puede gozar un sistema deductivo, como la **consistencia**, la **independencia** y la **completitud** de los postulados y razonan formalmente sobre sistemas matemáticos. Pueden estudiar geometría sin modelos de referencia y razonar formalmente manipulando enunciados geométricos tales como **axiomas**, **definiciones** y **teoremas**.