Didáctica de las Matemáticas: Herramientas, Conceptos y Estrategias de Aprendizaje

Herramientas Manipulativas en la Didáctica Matemática

Actividad con el Ábaco

Cada alumno recibe un ábaco y una tarjeta con un número natural de dos cifras (por ejemplo, 67). La consigna consiste en:

• Identificar cuántas decenas y unidades contiene el número.
• Representar el número en el ábaco colocando las bolitas correspondientes en cada varilla.
• Verificar entre compañeros si la representación es correcta.
• Registrar la descomposición en la hoja de trabajo: Ej: 67 = 60 + 7 → 6 decenas y 7 unidades.

Esta actividad permite comprender el valor posicional de las cifras en el sistema decimal y relacionar la cantidad concreta con su representación estructurada. Al manipular físicamente las unidades y decenas, los niños desarrollan la noción de cambio de unidades (10 unidades = 1 decena) y practican el conteo sistemático.

Utilidad del Ábaco

• Contar sistemáticamente.
• Representar cantidades y números.
• Construir conocimientos sobre los sistemas de numeración y sus características.
• Familiarizarse con las distintas unidades, los cambios de unidades y las equivalencias entre ellas.
• Tomar conciencia del valor de posición de las cifras.
• Practicar procedimientos de cálculo alternativos.
• Comprender las operaciones aritméticas elementales.
• Relacionar la cantidad no estructurada con la cantidad estructurada y su representación manejable.

Actividad con Regletas Cuisenaire

Cada alumno recibe una tarjeta con un número natural comprendido entre el 2 y el 10. La consigna consiste en construir ese número mediante distintas combinaciones posibles de regletas, aplicando la composición y descomposición aditiva. Tienen que manipular las regletas para:

• Representar la cantidad asignada con una regleta única (ej. el número 6 con la regleta verde oscuro).
• Explorar diferentes combinaciones aditivas que resulten en el mismo total (por ejemplo: 2+2+2, 4+2, 3+3, 5+1 para el número 6).

Colocan las regletas alineadas sobre una superficie de apoyo para verificar visualmente que las combinaciones tienen igual longitud (valor numérico equivalente). Esta actividad ayuda a asociar color y longitud con cantidad, y a comprender la descomposición aditiva de los números. Al comparar combinaciones, trabajan de forma concreta la conmutatividad de la suma y ordenan y clasifican según longitud.

Utilidad de las Regletas Cuisenaire

• Introducir la enseñanza del número.
• Asociar color-tamaño.
• Realizar composición y descomposición de números naturales.
• Realizar series y clasificaciones.
• Ordenar y comparar números naturales.
• Manipular operaciones aritméticas básicas y sus propiedades.
• Trabajar potencias y fracciones.

Bloques Multibase de Dienes

Constituyen modelos manipulativos para los sistemas de numeración y para los algoritmos de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Los hay para distintas bases de numeración, y están formados por:

• Cubos: De 1cm³ que representan las unidades (primer orden).
• Barras: De 1cm² de base y una longitud de 10cm que representan las decenas y equivalen a 10 cubos/unidades (segundo orden).
• Placas: De 10cm² de base y 1cm de altura que representan las centenas. Equivalen a 10 barras/decenas o a 100 cubos/unidades (tercer orden).
• Bloques: De 10cm³ que representan las unidades de millar y equivalen a 10 placas/centenas, 100 barras/decenas o a 1000 cubos/unidades (cuarto orden).

Utilidad de los Bloques Multibase

• Agrupamientos cuantitativos y numéricos.
• Concepto de unidad, tipos de unidades y orden de unidades.
• Valor posicional de las cifras.
• Algoritmos de las operaciones aritméticas.
• Doble y mitad.
• Comprensión de las operaciones aritméticas.
• Iniciación a la medida de longitud, superficie y volumen.
• Números decimales.
• Fracción, operaciones con fracciones y fracciones equivalentes.

Actividad con Bloques Multibase

Cada niño o grupo recibe una tarjeta con un número natural de hasta tres cifras (por ejemplo, 142). La actividad consiste en:

• Construir físicamente ese número con los bloques multibase: 1 placa (100), 4 barras (40), 2 cubos (2).
• Registrar gráficamente su representación en la hoja de trabajo, utilizando pictogramas o dibujos de los bloques.
• Descomponer el número en forma aditiva y expandida: 142 = 100 + 40 + 2; 142 = 1 centena + 4 decenas + 2 unidades.

Se repite con varios números para afianzar el valor de posición. Esta actividad permite visualizar y manipular el valor posicional de las cifras, relacionar unidades de distintos órdenes, y entender el sistema decimal a través del agrupamiento físico de cantidades.

Niveles de la Sucesión Numérica en el Conteo

Nivel Cuerda

Capaz de recitar un trozo de la sucesión numérica por evocación. El sonido de lo que está diciendo trae encadenados los sonidos siguientes, pero el niño no separa una palabra de otra (no realiza tareas de recuento).

Nivel Cadena Irrompible

Solo es capaz de recitar la sucesión numérica si empieza por el uno, pero ahora ya diferencia las distintas palabras numéricas (sí realiza tareas de recuento).

Nivel Cadena Rompible

Aquí el alumno es capaz de «romper» la cadena comenzando a recitar a partir de un número distinto del uno.

Nivel Cadena Numerable

Capaz, comenzando desde cualquier número, de contar un número determinado de palabras, deteniéndose en la que corresponda. Por ejemplo, contar cinco números a partir del ocho y decir el número final, el trece (operaciones básicas del cálculo).

Nivel Cadena Bidireccional

Supone las destrezas del nivel anterior aplicadas al recitado de la sucesión numérica hacia delante o hacia atrás. Contar bien desde el número A, B números hacia atrás, tardando el mismo tiempo que hacia delante (dominio de la sucesión numérica).

Instrumentos de Medida Fundamentales

El Metro

• Unidad principal de las medidas de longitud en el SI.
• Instrumento que se emplea para medir longitudes y que tiene de longitud un metro, generalmente dividido en unidades inferiores (dm, cm y mm).

La Balanza

Instrumento de medida que sirve para determinar la masa de los cuerpos con respecto a otros ya conocidos o unidades patrón.

• Platillos: Lugar donde se coloca la masa que se desea medir.
• Fiel: Aguja que se mueve sobre una escala graduada y marca la masa del cuerpo.
• Cruz o astil: Barra fija de la que cuelgan los platillos.
• Pesas: Unidades de masa estandarizadas, y que suelen corresponder al gramo, decigramo, centigramo, etc., en el Sistema Métrico Decimal.

Propiedades clave:

• Exactitud: Si se colocan masas iguales en ambos platillos, la aguja del fiel debe marcar el cero sobre la escala.
• Fidelidad: Al cambiar de platillo dos masas que equilibran la balanza, el cero se mantiene y el equilibrio no se rompe.
• Sensibilidad: Es capaz de detectar variaciones de masa muy pequeñas, alterando la posición del fiel.

Vasos Graduados

Recipiente o conjunto de recipientes que se utilizan para medir la capacidad de los objetos y que generalmente poseen una escala numérica en uno de sus lados.

Resolución de Problemas de Medida

1. Problemas Prácticos sobre Experiencias Sensoriales

En relación con la identificación de la magnitud y con la comparación de cantidades. Ej: «Vamos a hacer una foto de clase. Los niños más bajitos se colocarán delante y los más altos detrás.»

2. Problemas Prácticos Relacionados con la Unidad de Medida

Con la medición directa e indirecta y con el empleo de instrumentos de medida. Ej: «Van a pintar la clase y necesitamos poner una cinta alrededor de la ventana y del armario para que no se manchen de pintura. ¿Cuánta cinta necesitamos?»

3. Problemas de Enunciado Verbal

En relación con las situaciones de medida, con las expresiones numéricas de las medidas y con el sistema métrico decimal (equivalencia de unidades, etc.), en íntima relación con los problemas sobre números y operaciones. Ej: «Juan tiene 80 céntimos y Pedro tiene 1 euro y 30 céntimos. ¿Podrán comprar un cómic que cuesta 2 euros?»

4. Problemas Manipulativos y Lúdicos

Sobre situaciones familiares o personales, de exploración e investigación, etc. Ej: «Haz un dibujo a escala de tu habitación, receta.»

Principios Fundamentales de la Medida

Conservación de la Magnitud

La medida de una magnitud de un objeto no cambia aunque el objeto medido sufra determinadas transformaciones o se hagan determinados cambios en el proceso de medición.

• Ej: La medida de la longitud de una varilla metálica no cambia aunque la doblemos; tampoco cambia si la empezamos a medir por un extremo en lugar de por el otro. Sin embargo, sí cambia si la calentamos, debido a que se dilata por el calor.
• La medida del área de una hoja de cartón no cambia aunque cortemos la hoja en varios trozos y los juntemos de otra manera sin superponerse.
• El volumen ocupado por una cantidad de líquido no cambia aunque cambiemos la forma del recipiente o el líquido de un recipiente a otro.

Transitividad de la Medida

Si un objeto A mide lo mismo que otro objeto B y el objeto B mide lo mismo que otro objeto C, entonces el objeto A mide lo mismo que el objeto C.

• Ej: Presentar al niño dos mesas de diferentes alturas separadas por una mampara. En una de las mesas hay una torre hecha con bloques de un juego de construcción de diferentes formas y tamaños. Se pide al niño que construya «una torre igual de alta» que la otra. Para ello el niño dispone de bloques de diversas formas y tamaños.

Etapas en el Desarrollo del Concepto de Medida

1. Etapa Inicial (Comparación Perceptiva Directa)

• No da muestras de captar la idea de conservación ni de transitividad.
• Si se le pide al niño que construya con bloques una torre de la misma altura que otra dada, solo se fijará en la parte alta sin preocuparse de si las bases están a la misma altura.
• Los niños no miden, sino que realizan estimaciones de las medidas basándose en su percepción visual de los objetos. No hacen ningún intento de usar instrumentos de medida.

2. Etapa Intermedia (Comparación Directa)

• Empiezan a usar instrumentos de medida para comparar objetos, pero lo suelen hacer de manera incorrecta. Por ejemplo, usan una varilla para medir la altura de una torre, pero solo prestan atención a uno de sus extremos.
• Las unidades de medida que usan deben ser mayores que los objetos; por ejemplo, para comparar las torres, usan una varilla cuya longitud es algo mayor que la altura de las torres, haciendo algún tipo de señal en la varilla para conservar la altura de la primera torre. Sin embargo, los niños no saben usar unidades de medida más pequeñas que los objetos.
• Comparan directamente los objetos aproximando uno al otro, por ejemplo, superponiendo dos piezas de cartulina para comparar sus áreas.
• Al final de esta etapa los niños logran usar unidades de medida pequeñas (generalmente dedos, pies, palmos, etc.) para realizar comparaciones (surge la transitividad). Poco a poco abandonan estas unidades para utilizar otras más independientes, como lápices, cartulinas rectangulares, etc.

3. Etapa Final (Transitividad Operativa)

• Utilizan razonamientos transitivos, caracterizados por el empleo de un término medio que hace de unión entre las dos mediciones que debe comparar.
• Además, los niños aprenden a usar unidades de medida menores que los objetos, para medir por cubrimiento, y, si la unidad es demasiado grande, aprenden a subdividirla.
• Esta etapa se completa cuando los niños aprenden a realizar cálculos de medida de magnitudes basándose en las dimensiones lineales.

Fases Clave en el Aprendizaje de la Medida

• Consideración y percepción de una magnitud como una propiedad que posee una colección de objetos.
• Conservación de la magnitud. Aunque el objeto cambie de posición, forma, tamaño, color, etc., permanece constante la magnitud que pretendemos que el niño asimile.
• Ordenación respecto a una magnitud dada, sin tener en cuenta otras magnitudes distintas de la considerada.
• Relación entre magnitud y número, este es el momento en que el niño es capaz de medir.

Principios de la Técnica de Conteo

1. Principio de Abstracción

Cualquier colección de objetos es un conjunto contable.

2. Principio del Orden Estable

Las palabras utilizadas al contar deben producirse con un orden establecido entre término y término.

3. Principio de Irrelevancia del Orden

El orden en el que se cuenten los objetos no afecta al resultado final.

4. Principio de Biunivocidad (Correspondencia Uno a Uno)

Consiste en la asignación de una palabra-número a cada uno de los objetos de un determinado conjunto. Todos han de ser contados y además una sola vez. Es frecuente ver cómo los niños al contar se saltan algunos elementos o mencionan más de una palabra-número en un mismo elemento.

Principio de Unicidad

Los niños deben emplear una secuencia de etiquetas distintas o únicas.

5. Principio de Cardinalidad

El último término obtenido al contar todos los objetos indica la cantidad de objetos de la colección.

Errores Comunes en el Conteo

Errores de Recitado

Ligados a un recitado incorrecto de la sucesión numérica (saltarse palabras numéricas, decirlas en otro orden, repetirlas, introducir palabras no numéricas, etc.). Pueden deberse a que el niño no tiene asumido el principio del orden estable o a una memorización incorrecta del tramo numérico que recita.

Errores de Coordinación

Ligados a la falta de coordinación entre la emisión de la palabra y el señalamiento del objeto. Por ejemplo, el niño dice «cua-tro» señalando dos objetos o dice «dostrés» señalando un único objeto. Pueden deberse al desconocimiento del principio de la correspondencia uno a uno, al hecho de no saber dónde empiezan y acaban las distintas palabras numéricas (nivel cuerda del recitado) o a una falta de coordinación entre la emisión vocal y el movimiento de la mano.

Errores de Partición

Asociados al hecho de «no llevar la cuenta», es decir, de no distinguir correctamente lo ya contado de lo que falta por contar. Consisten en volver a contar un objeto ya contado o dejar objetos sin contar. Se producen por desconocimiento del principio de la correspondencia uno a uno o por una defectuosa puesta en práctica del mismo, debida al desconocimiento de las técnicas auxiliares del recuento.

Clasificación de Problemas Matemáticos por Campo de Conocimiento

Geométrico

Queremos situar un hospital que se encuentre a la misma distancia de las poblaciones A, B y C. ¿Dónde debemos situarlo?

Aritmético

En una fiesta de cumpleaños se repartieron 72 caramelos. A cada niño le tocaron 8 caramelos. ¿Cuántos niños había en la fiesta?

Medida

¿Cómo podemos obtener 7 litros de agua si solo disponemos de una jarra de 3 litros y otra jarra de 5 decímetros cúbicos?

Azar y Estadística

En una urna tenemos 2 bolas rojas, una bola azul y 3 bolas amarillas, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?

Clasificación de Problemas Matemáticos por Procedimiento de Resolución

Aplicación Directa

Resolución mediante operaciones matemáticas simples. Ej: ¿Cuánta cuerda necesitamos si queremos construir con ella un cuadrado de lado 3cm?

Algorítmicos

Seguimiento de una secuencia de operaciones cerrada («algoritmo») que garantiza la consecución de su solución. Ej: En un barco hay provisiones para que coman 4 marineros durante 32 días. Si recogen a dos náufragos, ¿cuántos días durarán las provisiones?

Heurísticos

Estrategia de resolución con una planificación consciente previa (fases de resolución de Polya). Ej: En una granja hay 32 animales entre gallinas y conejos. Sabiendo que el número total de patas en la granja es de 84, ¿Cuántas gallinas hay? ¿Y conejos?

Creativos

No sigue patrones predeterminados (se acepta incluso la resolución por intuición), aunque no se garantiza que todos los sujetos puedan llegar a una solución ni que esta sea óptima. Ej: Tenemos colección de libros de 25 euros, de 5 euros y de 1 euro ¿de cuántas formas se pueden comprar 100 libros con 500 euros si siempre tiene que haber al menos 1 libro de 5 euros, otro de 25 euros y otro de 1 euro?

Clasificación de Problemas Matemáticos por Tarea Requerida

Cualitativos

Cuya resolución no exige un resultado numérico sino destreza lógico-mental por parte del resolutor, «cuestiones». Ej: Tres misioneros y tres caníbales deben atravesar un río en un bote en el que solo caben dos personas. Pueden hacer los viajes que quieran, pero jamás el número de caníbales debe ser mayor que el de los misioneros, porque si no se los comen. Indica qué viajes deben hacer con el bote para cruzar todos el río.

Cuantitativos

Para alcanzar la solución debe emplear procedimientos gráficos o de cálculo matemático, tales como la resolución aritmético-algebraica, «problemas». Ej: Si para llegar de casa al colegio tardo 25 minutos y del colegio al gimnasio tardo un cuarto de hora, ¿cuánto tiempo habré tardado en llegar de casa al gimnasio?

Experimentales

Cuya resolución ha recurrido a actividades manipulativas en las que habitualmente se emplea material didáctico o instrumental propio del campo implicado. Ej: Queremos construir una carretera circular que pase por los pueblos A, B y C. Señala cómo debemos construirla y justifica tu respuesta.

Clasificación de Problemas Matemáticos por Número de Soluciones

Cerrados

La solución es unívoca, es única y no admite dudas sobre su validez. Ej: Si Juan se ha comido la tercera parte del pastel y Marcos la mitad de lo que ha dejado Juan, ¿Cuánto pastel ha sobrado?

Abiertos

Varias soluciones que no pueden ser aceptadas o rechazadas a priori, por lo que deben ser evaluadas en términos de probabilidad o de utilidad. Ej: Demuestra que en un triángulo rectángulo los ángulos que no son rectos deben ser agudos.

Fases de Resolución de Problemas según Polya

1. Comprensión del Problema

Correcta interpretación del enunciado: ¿de qué trata el problema? ¿qué se pide? ¿qué datos nos dan? Identificar la información relevante y asegurarse que no es contradictoria.

Dificultades

• Desconocimiento del vocabulario.
• Dificultad de atención, enunciados demasiado largos o complejos.
• Mala interpretación, la situación que plantea el problema no le es familiar.

¿Cómo Ayudar al Alumno?

Se pueden plantear las siguientes preguntas:

• ¿Entiendes todo lo que dice?
• ¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras?
• ¿Distingues cuáles son los datos?
• ¿Sabes a qué quieres llegar?
• ¿Hay suficiente información?
• ¿Hay información extraña?
• ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

2. Elaboración de un Plan

Estrategias heurísticas: «operaciones mentales útiles en el proceso de resolución de problemas», como por ejemplo:

• Resolver antes un problema similar más sencillo (empezar por lo más fácil).
• Particularizar (resolver un ejemplo concreto con números sencillos).
• Generalizar.
• Dividir el problema en partes.
• Empezar por el final (suponer el problema resuelto).
• Reducción al absurdo.
• Ensayo y error.
• Sistematizar el trabajo.
• Hacer un dibujo, un diagrama, una tabla.

Las estrategias no son algoritmos, ofrecen muchas posibilidades pero ninguna garantía.

Dificultades

• Falta de confianza en las propias posibilidades.
• Falta de práctica: falta de herramientas heurísticas.
• Fallo en los conocimientos previos: conceptos mal aprendidos o desconocidos.

3. Ejecución del Plan

La solución no es lo más interesante, el proceso de resolución puede resultar apasionante en sí mismo. Antes de continuar, hay que verificar cada paso que se da. En cada encrucijada habrá que decidir qué camino seguir, teniendo siempre presente para qué hacemos lo que hacemos y que si un camino no tiene salida habrá que dejarlo e iniciar otro. Hay que tener cuidado de no desviarse del objetivo. Es importante poder distinguir entre que la estrategia elegida dé algún problema, en cuyo caso hay que insistir, o que falle claramente, entonces hay que elegir otra y empezar de nuevo.

Dificultades

• Falta de dominio en los procedimientos y técnicas de cálculo.

4. Examen de la Solución Obtenida

Hay que comprobar si es correcta y explicar el resultado, para ello hay que volver a leer el enunciado, analizar lo que se pedía, y decidir si la respuesta que damos es lógica. Repasar el proceso paso a paso para poner de manifiesto cuestiones como si se puede obtener el resultado de otro modo, si se puede utilizar el método para resolver otros problemas, si se ha quedado abierta alguna línea secundaria que se puede investigar, si ha sido necesario desviarse del plan inicial, cómo se han superado los bloqueos.

Secuencia de Actividades para el Aprendizaje del Concepto de Número

1. Actividades de Recitado de la Sucesión Numérica

Las variables que se pueden modificar para crear actividades de este tipo son:

• Tipo de sucesión oral: Cardinal u ordinal.
• Números de comienzo y final del recitado: Cualquier número natural.
• Sentido del recitado: Hacia delante o hacia atrás.
• Número de términos del recitado: Con o sin control del número de términos que se recitan.
• Salto: De uno en uno, de dos en dos (por pares e impares), de cinco en cinco (por los múltiplos de cinco), de diez en diez, de veinticinco en veinticinco (por los múltiplos de veinticinco), de cincuenta en cincuenta (por los múltiplos de cincuenta), de cien en cien, de doscientos cincuenta en doscientos cincuenta (por los múltiplos de doscientos cincuenta), de quinientos en quinientos (por los múltiplos de quinientos), de mil en mil, de diez mil en diez mil, de cien mil en cien mil, de un millón en un millón, etc.

2. Actividades de Cardinalidad sin Recuento

Reconocimiento de la cantidad por la configuración espacial.

• Numerosidad de la situación: De uno a veinte.
• Sentido de la situación: De reconocimiento (del cardinal del conjunto) o de construcción (de un conjunto de cardinal dado).
• Material utilizado: Dedos de las manos, dados, cartas de la baraja, fichas de dominó, regletas Cuisenaire, ábaco.

3. Actividades de Recuento

Obtención de cardinales y ordinales. Las variables didácticas que intervienen en las actividades de recuento son las siguientes:

• Significado del número resultado del recuento: Cardinal u ordinal.
• Numerosidad de la colección: De uno en adelante.
• Sentido de la situación: De cálculo (del cardinal de un conjunto o del ordinal de un elemento) o de construcción (de un conjunto de cardinal dado o de un elemento de ordinal dado).
• Tipo de objetos:
  • Sucesos.
  • Objetos movibles al alcance de la mano.
  • Objetos al alcance de la mano, pero no movibles u objetos dibujados:
    • Con configuración geométrica típica.
    • Con configuración que indica un camino.
    • Con configuración indiferenciada.
  • Objetos a la vista, pero no al alcance de la mano.
  • Objetos evocados.
• Salto: De uno en uno, de dos en dos, de cinco en cinco, de diez en diez, de veinticinco en veinticinco, de cincuenta en cincuenta, de cien en cien, de mil en mil, etc.
• Estimación del resultado: Con o sin exigencia previa de estimación del resultado.

4. Actividades de Orden Numérico

Las variables didácticas que intervienen en las situaciones de orden numérico son las siguientes:

• Significado del número: Cardinal u ordinal.
• Tamaño del número mayor: De uno en adelante.
• Tamaño de la diferencia: Grande (diferencia que permite ver de forma ostensible cuál es el conjunto de cardinal mayor), o pequeña (diferencia que obliga a emparejar o contar para decidir qué número es mayor).
• Número de términos de la comparación: Dos, tres o más.
• Grado de formalización de la situación: Contextualizada o formal.
• Uso de materiales: Con o sin manipulación de materiales.
• Tipo de material:
  • Objetos movibles al alcance de la mano y físicamente cercanos.
  • Objetos movibles al alcance de la mano, pero físicamente separados.
  • Objetos al alcance de la mano, pero no movibles u objetos dibujados.
  • Objetos a la vista, pero no al alcance de la mano.
• Tamaño del material: Los dos conjuntos que se comparan están formados por objetos de un tamaño parecido o muy distintos en tamaño.
• Estimación del resultado: Con o sin exigencia previa de estimación del resultado.
• Institucionalización de las reglas formales que definen el orden: Con o sin explicitación de dichas reglas.

5. Actividades de Lectura y Escritura de Números de una Cifra

Situaciones de Trazado de las Cifras

Las variables didácticas a considerar serían las siguientes:

• Tamaño de la cifra: Del 0 al 9.
• Método de trazado: Sobre cifra ya hecha o trazado libre imitando el modelo.
• Instrumento utilizado: Dedos o lápices.
• Material utilizado: Cifras recortadas en papel de lija, arena, talco, pintura de dedos, pinturas varias, papel, etc.

Situaciones de Comunicación Escrita de Números de una Cifra

Las variables didácticas a tener en cuenta serían las siguientes:

• Significado del número: Cardinal u ordinal.
• Tamaño del número: Del 0 al 9.
• Tipo de situación: De petición o de recuerdo.
• Tipo de codificación: Lectura (pasar del escrito al oral), escritura (pasar del oral al escrito) o las dos.
• Material utilizado: Todo tipo de objetos que se puedan contar, materiales estructurados, papel y lápiz, banda en la que aparezcan escritas las cifras en orden (banda numérica), cajas o sobres para guardar objetos, etc.

6. Actividades de Lectura y Escritura de Números de Varias Cifras

Agrupación de Cardinales

Comunicación Escrita de Números de más de una Cifra

Estrategias para la Suma

Recuento de Todos (Énfasis en el Primer Sumando)

Recita los números hasta llegar al primer sumando (sin construir una colección de objetos que represente ese sumando) y continúa contando la colección de objetos que representa al segundo sumando.

Recuento de Todos (Énfasis en el Sumando Mayor)

Lo mismo que en el caso anterior, pero eligiendo como primer sumando el sumando mayor.

Recuento a Partir del Sumando Mayor

Construye una colección de objetos que representa el sumando menor y la cuenta partiendo del sumando mayor.

Estrategias para la Resta

Recuento de lo que Queda

Al conjunto inicial se le quitan elementos. Consiste en representar mediante objetos el conjunto inicial, quitar los elementos que indica la transformación y volver a contar lo que queda.

Recuento Hacia Atrás

Se utiliza en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar hacia atrás desde el minuendo tantas veces como indica el sustraendo (representado mediante una colección de objetos, frecuentemente dedos). Se utiliza poco por la dificultad que supone para los niños contar hacia atrás.

Recuento de la Diferencia

Se construyen los dos conjuntos, se emparejan y se cuentan los objetos que quedan sin pareja.

Recuento Desde el Sustraendo Hasta el Minuendo

Consiste en contar desde el sustraendo hasta el minuendo llevando la cuenta con una colección de objetos (generalmente dedos) de las palabras que se dicen. Posteriormente, se cuenta la colección de objetos.

Modelos para las Operaciones Aritméticas

Modelo Lineal

La suma a + b se modeliza contando en la recta numérica b unidades a partir de a. La resta a – b se modeliza contando b unidades hacia la izquierda partiendo de a. En ambos casos la posición final nos daría el resultado.

Suma

Si queremos calcular 3 + 4, imaginamos una recta numérica y partimos desde el número 3. Contamos 4 unidades hacia la derecha (4 pasos) y llegamos al número 7.

• Ejemplo: Partiendo del 3 en la recta, avanzamos 4 lugares: 4, 5, 6, 7 → resultado 7.

Resta

Para 7 – 2, partimos desde el 7 en la recta numérica y contamos 2 unidades hacia la izquierda. Llegamos al 5.

• Ejemplo: Desde 7 retrocedemos 2 pasos: 6, 5 → resultado 5.

Multiplicación

Para calcular 3 × 4, imagina un intervalo de longitud 4 unidades en la recta numérica y lo contamos 3 veces. Esto es como dar 3 saltos de 4 en 4 sobre la recta, llegando a 12.

• Ejemplo: Partimos desde 0 y damos saltos de 4: 4, 8, 12 → resultado 12.

División

Para 12 ÷ 3, partimos del 12 en la recta y contamos hacia atrás de 3 en 3, hasta llegar a 0. Contamos cuántos saltos dimos.

• Ejemplo: De 12 a 9, a 6, a 3, a 0 → 4 saltos → cociente 4.

Modelo Cardinal

Suma

Realizamos la unión de conjuntos cuyos cardinales coinciden con cada uno de los sumandos que intervienen en la operación.

• Ejemplo: Tenemos dos conjuntos de objetos: uno con 3 manzanas y otro con 4 manzanas. Al unirlos, contamos todos los objetos juntos y tenemos 7 manzanas.

Resta

Formamos un conjunto de cardinal dado por el minuendo y quitamos un subconjunto de cardinal dado por el sustraendo. La cantidad de elementos sobrantes nos da el resultado.

• Ejemplo: Si tenemos un conjunto con 7 lápices y retiramos un subconjunto de 2 lápices, contamos cuántos quedan. Quedan 5 lápices.

Multiplicación

• Unión repetida: Tenemos 3 grupos con 4 manzanas cada uno. Al juntar todos los grupos, contamos 12 manzanas.
• Matriz: Se dispone una cuadrícula con 3 filas y 4 columnas; el total de objetos es 12.
• Producto cartesiano: Si el conjunto A tiene 3 elementos y B tiene 4, el conjunto de pares ordenados tiene 12 elementos.
• Diagrama de árbol: Si en cada nivel hay 3 opciones y en otro nivel 4, el total de ramas es 12.

División

• Repartir 12 manzanas en 3 grupos iguales, cada grupo tendrá 4 manzanas.
• Organizar 12 objetos en un esquema rectangular con 3 filas, resulta en 4 columnas.

Modelo de Medida

Emplearemos instrumentos de medida como regletas Cuisenaire, balanza de cruz, metro…

Suma

Usando regletas Cuisenaire, sumamos la longitud de una barra de 3 cm con otra de 4 cm colocándolas una tras otra y medimos la longitud total que es 7 cm.

• Ejemplo: Barra 3 + barra 4 → longitud total 7.

Resta

Con una regla, medimos una cuerda de 7 cm y luego cortamos o marcamos una sección de 2 cm. La parte restante mide 5 cm.

• Ejemplo: Cuerda 7 cm – segmento 2 cm → resto 5 cm.

Multiplicación

• Se utiliza una regleta de 4 cm y la colocamos 3 veces seguidas, midiendo la longitud total, que será 12 cm.

División

• Con una cuerda de 12 cm, la dividimos en segmentos iguales de 3 cm. Contamos cuántos segmentos hay (4 segmentos).

Modelos Numéricos

Suma

Conteo a partir del primer sumando tantos números como indique el segundo sumando.

• Ejemplo: Para 2 + 5, comenzamos a contar desde el 2 y avanzamos 5 números: 3, 4, 5, 6, 7. El número en que terminamos es 7.

Resta

Conteo regresivo a partir del minuendo tantos pasos como indique el sustraendo.

• Ejemplo: Para 8 – 3, comenzamos en el 8 y contamos hacia atrás 3 números: 7, 6, 5. El número final es 5.

Multiplicación

• Multiplicar 3 × 4 se modeliza como sumar 4 tres veces: 4 + 4 + 4 = 12.

División

• Dividir 12 ÷ 3 se modeliza como restar 3 repetidamente desde 12 hasta llegar a 0: 12 – 3 = 9, 9 – 3 = 6, 6 – 3 = 3, 3 – 3 = 0. El número de restas es 4.

Estrategias para el Aprendizaje de las Tablas de Multiplicar

Propiedad Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto. Reduce el aprendizaje memorístico de las tablas a la mitad.

Multiplicación por 10

Un número multiplicado por 10 es igual a ese mismo número añadiéndole un cero a la derecha.

Cálculo del Doble

Doblando las multiplicaciones por 2 deducimos las multiplicaciones por 4. Las de 8 se deducen de los resultados de multiplicar por 4. La misma relación se da entre las multiplicaciones por 3 y por 6.

Cálculo de la Mitad

Como las multiplicaciones por 10 son más fáciles para los niños, se usan la mitad de dichos resultados para llegar a la construcción de las multiplicaciones por 5.

Adición del Multiplicando

Apoyándose en una multiplicación por un determinado número es posible obtener el resultado de multiplicar por el siguiente número añadiendo una vez el multiplicando (ej. 6 × 8 = 5 × 8 + 8 = 40 + 8 = 48).

Sustracción del Multiplicando

Es la estrategia simétrica a la explicada en el apartado anterior. Es especialmente útil en las multiplicaciones de 9 por cualquier otro número (ej. 9 × 7 = 10 × 7 – 7 = 70 – 7 = 63).

Producto de Dobles

No llega a tener categoría de «estrategia», pero es un hecho que los productos de un número por sí mismo se aprenden más fácilmente y pueden servir de apoyo para el uso de cualquiera de las restantes estrategias.

Errores Comunes en la Suma

• Bajo dominio de los hechos numéricos (tablas de sumar): Construcción activa de las tablas mediante la manipulación de materiales concretos (ábaco, regletas, etc.).
• Mala conceptualización de los sistemas de numeración: Representación de los sumandos mediante material manipulativo para agrupar las unidades del mismo orden (p.ej. bloques multibásicos).
• No tener en cuenta las que se lleva: Representación de los distintos órdenes de unidades con material concreto para la posterior agrupación de los del mismo orden.
• Escribir el resultado completo: Representación de los distintos órdenes de unidades con material concreto para la posterior agrupación de los del mismo tipo.
• Confundir el papel del cero (ej. 50 + 24 = 70): Representación de los sumandos mediante material manipulativo para agrupar las unidades del mismo orden (p.ej. bloques multibásicos).
• Situar de forma incorrecta los números en columnas.
• Sumar unidades de distintos órdenes.

Errores Comunes en la Resta

• Bajo dominio de los hechos numéricos (tablas de sumar): Construcción activa de las tablas mediante la manipulación de materiales concretos (ábaco, regletas, etc.).
• Procedimiento incompleto: Representación de los términos mediante material manipulativo para retirar las unidades del mismo orden y contar las que quedan (p.ej. bloques multibásicos).
• Confundir el papel del cero: Representación de los términos mediante material manipulativo para retirar las unidades del mismo orden y contar las que quedan (p.ej. bloques multibásicos, ábaco).
• Interpretar «me llevo una» cuando aparece un cero en el sustraendo: Representación de los términos mediante material didáctico para hacer cambios de unidades (pedir prestado) manipulativamente, retirar las unidades del mismo orden y contar las que quedan (p.ej. bloques multibásicos).
• Restar unidades de distinto orden: Representación de los términos mediante material manipulativo para retirar las unidades del mismo orden y contar las que quedan (p.ej. bloques multibásicos, ábaco).
• Restar cifra menor del mayor: Representación de los términos mediante material didáctico para hacer cambios de unidades (pedir prestado) manipulativamente, retirar las unidades del mismo orden y contar las que quedan (p.ej. bloques multibásicos).
• Colocación incorrecta: Representación de los términos mediante material manipulativo para retirar las unidades del mismo orden y contar las que quedan (p.ej. bloques multibásicos, ábaco).

Errores Comunes en la Multiplicación

• Bajo dominio de los hechos numéricos (tablas de multiplicar): Construcción activa de las tablas mediante la manipulación de materiales concretos (ábaco, regletas, etc.).
• Multiplicar entre sí los mismos órdenes de unidades: Representación de los distintos órdenes de unidades con material concreto para la posterior agrupación de los del mismo tipo. Empleo de algoritmos alternativos.
• Ajustar las columnas de los productos parciales a la derecha.
• Sumar las que se lleva sin multiplicar.
• Poner las que se lleva.
• Sumar primero las que se lleva y luego multiplicar: Representación de los distintos órdenes de unidades con material concreto para la posterior agrupación de los del mismo tipo. Empleo de algoritmos alternativos.
• Dificultades con el cero: Olvidar ponerlo si está a la derecha. Representación de los distintos órdenes de unidades con material concreto para la posterior agrupación de los del mismo tipo. Empleo de algoritmos alternativos.
• Intercalados: No hacer el desplazamiento de los productos parciales. Empleo de algoritmos alternativos.
• Confundir el papel del 0.

Errores Comunes en la División

• Dejar restos intermedios iguales o mayores que el divisor.
• Errores en resta y producto.
• Omitir ceros en el cociente.
• Restas de números grandes, normalmente, que debe realizar de forma mental.
• Lentitud en el automatismo.

Errores Comunes con Números Racionales (Fracciones)

• Relación parte-todo y medida.
• Las fracciones como cociente.
• La fracción como razón.
• La fracción como operador.

Errores Comunes con Números Decimales

• Relacionados con la lectura y escritura de los números: valor de posición.
• Relacionados con el cero.
• Interpretación de decimales como fracciones.
• Relacionados con el orden entre decimales.
• Relacionados con las operaciones.

Clasificación de Problemas Aritméticos

Niveles de Razonamiento Geométrico (Van Hiele)

Nivel 0: Visualización o Reconocimiento

• Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus atributos y componentes.
• Se describen por su apariencia física mediante descripciones meramente visuales y asemejándolos a elementos familiares del entorno (parece una rueda, es como una ventana, etc.). No hay lenguaje geométrico básico para llamar a las figuras por su nombre correcto.
• No reconocen de forma explícita componentes y propiedades de los objetos motivo de trabajo.

Nivel 1: Análisis

• Se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias) de los objetos y figuras. Esto lo obtienen tanto desde la observación como de la experimentación.
• De una manera informal pueden describir las figuras por sus propiedades pero no relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras. Como muchas definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades, no pueden elaborar definiciones.
• Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades.
• Sin embargo, no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.

Nivel 2: Ordenación o Clasificación

Antes de señalar las características del nivel conviene señalar que, en el anterior nivel, los estudiantes empiezan a generalizar, con lo que inician el razonamiento matemático, señalando qué figuras cumplen una determinada propiedad matemática pero siempre considerará las propiedades como independientes no estableciendo, por tanto, relaciones entre propiedades equivalentes. Alcanzar este nivel significa que…

• Se describen las figuras de manera formal, es decir, se señalan las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante pues conlleva entender el significado de las definiciones, su papel dentro de la Geometría y los requisitos que siempre requieren.
• Realizan clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de su razonamiento matemático ya está iniciado. Esto significa que reconocen cómo unas propiedades derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones.
• Siguen las demostraciones pero, en la mayoría de los casos, no las entienden en cuanto a su estructura. Esto se debe a que su nivel de razonamiento lógico son capaces de seguir pasos individuales de un razonamiento pero no de asimilarlo en su globalidad. Esta carencia les impide captar la naturaleza axiomática de la Geometría.

Nivel 3: Deducción Formal

• En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas.
• Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las Matemáticas.
• Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas lo que permite entender que se puedan realizar distintas formas de demostraciones para obtener un mismo resultado. Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto nivel de razonamiento lógico, se tiene una visión globalizadora de las Matemáticas.

Nivel 4: Rigor

• Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden analizar y comparar permitiendo comparar diferentes geometrías.
• Se puede trabajar la Geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos, alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático.

Fases de Enseñanza de la Geometría (Basadas en Van Hiele)

1. Preguntas/Información

Esta fase es oral y mediante las preguntas adecuadas se trata de determinar el punto de partida de los alumnos/as y el camino a seguir de las actividades siguientes. Se puede realizar mediante un test o preguntas individualizadas utilizando actividades del nivel de partida. Cabe señalar que muchas veces el nivel no lo marca tanto la pregunta como la respuesta, es decir, diseñamos una pregunta pensando en un nivel concreto y, la respuesta recibida, nos puede señalar un nivel distinto del pensado inicialmente.

2. Orientación Dirigida

Aquí es donde la importancia de la capacidad didáctica del profesor/a más se va a necesitar. De su experiencia señalan que el rendimiento de los alumnos/as (resultados óptimos frente a tiempo empleado) no es bueno si no existen una serie de actividades concretas, bien secuenciadas, para que los alumnos/as descubran, comprendan, asimilen, apliquen, etc. las ideas, conceptos, propiedades, relaciones, etc. que serán motivo de su aprendizaje en ese nivel.

3. Explicación

Es una fase de interacción (intercambio de ideas y experiencias) entre alumnos/as y en la que el papel del profesor/a se reduce en cuanto a contenidos nuevos y, sin embargo, su actuación va dirigida a corregir el lenguaje de los alumnos/as conforme a lo requerido en ese nivel. La interacción entre alumnos/as es importante ya que les obliga a ordenar sus ideas, analizarlas y expresarlas de modo comprensible para los demás.

4. Orientación Libre

Aparecen actividades más complejas fundamentalmente referidas a aplicar lo anteriormente adquirido, tanto respecto a contenidos como al lenguaje necesario. Estas actividades deberán ser lo suficientemente abiertas, lo ideal son problemas abiertos, para que puedan ser abordables de diferentes maneras o puedan ser de varias respuestas válidas conforme a la interpretación del enunciado. Esta idea les obliga a una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un razonamiento y lenguaje cada vez más potente.

5. Integración

No se trabajan contenidos nuevos sino que solo se sintetizan los ya trabajados. Se trata de crear una red interna de conocimientos aprendidos o mejorados que sustituya a la que ya poseía. Como idea final podemos señalar cómo en esta estructura de actividades se pueden integrar perfectamente actividades de recuperación para los alumnos/as que presenten algún retraso en la adquisición de los conocimientos geométricos y, por otra parte, rehaciendo adecuadamente los grupos profundizar algo más con aquellos alumnos/as de mejor rendimiento. Se incluyen actividades de evaluación.

Dificultades Comunes en la Enseñanza de la Geometría

1. Relacionadas con la Orientación de Objetos y Figuras Geométricas

Las formas geométricas no varían bajo transformaciones en su ubicación, orientación y tamaño. Sin embargo, muchas de las dificultades en el aprendizaje de la Geometría tienen relación con la asociación de los conceptos con determinadas orientaciones o tamaño. Por ejemplo:

• Se asocia la noción de paralelismo con la igualdad de segmentos y la perpendicularidad con la horizontalidad de uno de los segmentos perpendiculares.
• Dificultad en la identificación de las tres alturas de un triángulo y el trazo de las mismas.
• También relacionadas con la orientación, se dan dificultades en la realización de transformaciones geométricas, como son los movimientos de giro o simetría. Las simetrías cuyo eje no es horizontal o vertical presentan una dificultad mayor, confundiendo el alumno en ocasiones.

2. Dificultades en la Geometría Espacial

Cualquier representación sobre un plano de un objeto o un cuerpo tridimensional necesariamente sufre cierta alteración de las propiedades del objeto o el cuerpo. Aunque la representación gráfica supone una inestimable ayuda para visualizar un razonamiento, o propiedades de las figuras, hay que tener cautela con la posibilidad de que se generen ciertos obstáculos provocados por la propia representación. En lo que se refiere a la representación de figuras espaciales, es necesario que los alumnos más jóvenes manipulen los sólidos antes de trabajar con sus representaciones para poder comprenderlas (tengamos en cuenta que cuando se representa un cubo, por ejemplo, no todas sus caras se representan cuadradas, aunque con la práctica las imaginemos como tales).

3. Confusión de Cuerpos Geométricos y Figuras Planas

Dificultades en el Aprendizaje de la Medida

Dificultades Asociadas a los Conceptos de Magnitud y Medida

• Confundir las magnitudes: volumen y capacidad, volumen y peso, volumen y superficie, área y perímetro, masa y peso, etc.
• No reconocer que la medida de una magnitud no cambia bajo ciertas transformaciones.
• Problemas con las representaciones en las que interviene una escala.
• Evaluar la magnitud de una medida solo por el número que la expresa, olvidando la unidad que se ha utilizado.
• Mal uso de las fórmulas.
• Errores en los cambios de unidades.

Dificultades Asociadas a los Procesos de Medición

• Elegir una unidad de medida inadecuada.
• Usar de manera incorrecta los instrumentos de medida.
• Escritura errónea o sin sentido de los resultados de la medición.
• No comprender que si la unidad es menor, el resultado de la medición será mayor.

Errores en la Enseñanza de la Medida

• Abordar las mediciones separadas de los fenómenos y situaciones en los que se presentan.
• Abusar de la medida entera.
• Plantear problemas con datos no reales.
• Seguir una metodología de enseñanza en la que los alumnos no participan activamente en la realización de medidas.
• Reducir el estudio de las magnitudes fundamentales al Sistema Métrico Decimal, a la denominación y simbolización de sus unidades principales, a sus múltiplos y divisores, a la conversión de unas en otras y operaciones de cálculo.