Discretización y Métodos Numéricos en CFD: Conceptos Clave
Discretización y Métodos Numéricos en CFD
Pasos del Proceso de Discretización
El proceso de discretización se divide en dos etapas principales:
- Discretización de los dominios espacial y temporal: Se utiliza el método de mallado del dominio espacial.
- Discretización de las ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno: Se emplea el método de volúmenes finitos.
Mallado
El mallado es una aproximación discreta del dominio espacial. Se logra dividiendo el sistema en un número finito de elementos que cubren el dominio sin superponerse. En 2D, se utilizan cuadrángulos, triángulos y polígonos convexos. En 3D, se emplean hexaedros, tetraedros, poliedros convexos y pirámides.
Pasos del Método de Volúmenes Finitos (MVF)
El MVF implica los siguientes pasos, donde se realizan aproximaciones:
- Integración de la ecuación diferencial en la celda.
- Aplicación del Teorema de Gauss: Se transforma la integral de volumen a una integral de superficie.
- Cuadratura de las integrales: Se utilizan métodos de cuadratura (como la cuadratura de Gauss).
- Aproximación del vector de flujo en las caras de la celda.
Orden de Aproximación
El orden de aproximación se refiere al error de truncamiento cometido en la aproximación. La cuadratura empleando el valor del centroide es de orden 2 en el error.
Criterio de Scarborough
Este criterio se utiliza para asegurar la convergencia de una solución al resolver ecuaciones lineales mediante un método iterativo. Si se cumple, se puede resolver de forma iterativa y existe convergencia (condición suficiente).
Tipos de Métodos para la Resolución del Modelo Matemático Discreto (MMD)
El MMD se puede representar como [A 0; C I]*{T Tb}={b d}. Los métodos de resolución se dividen en:
1) Métodos Directos
No son adecuados en métodos numéricos debido a la naturaleza «sparse» de A ni para tratar con no linealidades. Ejemplos: Pivotamiento de Gauss, Descomposición LU de A.
2) Métodos Iterativos
Son adecuados para matrices «sparse» y para tratar no linealidades. Ejemplos: Jacobi, Gauss-Seidel e ILU.
Motivos para Preferir Métodos Iterativos en CFD
En CFD, muchas ecuaciones son imposibles de resolver analíticamente. Los métodos iterativos permiten obtener una solución aproximada sin tanto trabajo. Además, los problemas en CFD son no lineales y las matrices son «sparse», lo que dificulta el cálculo manual y la obtención de soluciones exactas.
Diagrama del Proceso de Resolución del MMD (Caso No Lineal)
T(0) > {T(i) > Evaluación A(i) y b(i) > ¿Convergencia? > FIN / [Gauss-Seidel] > T(i+1)}
- Inner Loop: Bucle que repite Gauss-Seidel, calcula la solución para la iteración i mientras se cumpla otro criterio de convergencia.
- Outer Loop: Bucle que pasa a la iteración i+1 y evalúa las matrices A y b del problema.
Subrelajación
La subrelajación es una técnica usada en métodos numéricos para mejorar la convergencia de Gauss-Seidel (cuando es muy no lineal). Se introduce un factor alfaT para converger con el mínimo de iteraciones posible.
Tipos de Subrelajación
- Explícita: La solución en la iteración i+1 depende de la Tª anterior y la Tª obtenida de Gauss-Seidel. T(i+1) = alfaT * T(*) + (1 – alfaT) * T(i).
- Implícita: Transforma el sistema de ecuaciones en un sistema subrelajado. Los coeficientes y términos independientes se cambian por términos de subrelajación y la solución en la iteración anterior.
Discretización del Flujo Difusivo en Malla No Ortogonal
I + II + III = (mismos que para una ortogonal) = sum_f(Jtd) * n * S = [(q’_0)_c + (q’_P)_c * Tc] * Vc.
IV) n_f * e_f = cos(teta). Al no ser ortogonal, cos(teta) deja de ser igual a 1.
Aplicaciones del Gradiente Numérico
El gradiente numérico de una magnitud en las celdas y el mallado se utiliza para:
- Aplicar mínimos cuadrados.
- Calcular el gradiente en las caras con mallado no ortogonal.
- Reconstrucción del gradiente en Green-Gauss, para que la Tª en la cara esté acotada.
Inconvenientes de la Interpolación Lineal (Diferencias Centradas) en el Flujo Convectivo
- La ecuación discreta no cumple la condición de igualdad de signos de los coeficientes, algunos pueden volverse negativos (especialmente a altos números de Peclet). Tc no se asegura acotada por la Tª de celdas vecinas. No se cumple Scarborough, la convergencia no está garantizada.
- Las diferencias finitas producen una solución que se desvía de la analítica, creciendo sin límite a medida que aumenta el número de Peclet.
- El esquema numérico de diferencias centradas carece de sentido físico al no tener en cuenta el carácter direccional del transporte por convección (sentido del flujo másico).
Número de Peclet
El número de Peclet es la relación entre la velocidad de advección de una cantidad física por el flujo y la velocidad de difusión de la misma cantidad impulsada por un gradiente apropiado. Es posible cambiar el número de Peclet sin cambiar la física, refinando el mallado. Pe_f = (m’_f) / (k’ * E / d_CF) > 1/gf.
Métodos Upwind
Los métodos upwind se utilizan cuando no es correcto usar diferencias centradas.
Upwind de Primer Orden
En problemas unidimensionales, da una solución acotada aunque el número de Peclet aumente. Se consigue aproximando la Tª a un polinomio de Taylor de orden 1. Tf = Tup(f) + O(dup(f)f).
Upwind de Segundo Orden
Similar al de primer orden, pero usando un polinomio de Taylor de orden 2. Tf = Tupf + (gradT)up(f) * dup(f)f + O(d^2up(f)f).
Falsa Difusión
Este efecto aparece cuando la velocidad del fluido no tiene la misma dirección que la malla. Parece difusión, pero no lo es. Se produce al usar esquemas upwind con pocas celdas. Se corrige aumentando la densidad de la malla o utilizando upwind de segundo orden.
Final de la Iteración del Método SIMPLE
Se satisface que ∑m’*f ≠ 0 y al final del proceso = 0. (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations).
Pasos para Aplicar SIMPLE
- Velocidades u, v, P iniciales para cada iteración.
- Comprobación de convergencia.
- Ecuación de cantidad de movimiento -> Evalúa u*, v*.
- Con u*, v* -> interpolación de Rie-xow ∑m’*f ≠ 0.
- Iteraciones hasta ∑m’*f = 0.
Pasos de una Simulación CFD
- Modelizar el entorno: Definir el dominio de flujo en Design Modeler.
- Mallado: Generar la malla.
- Introducir Ecuaciones/Incógnitas: Definir las ecuaciones e incógnitas del sistema.
- Condiciones de Contorno: Establecer las condiciones de frontera (entradas, salidas, etc.).
- Discretización del Problema: Discretizar las condiciones de contorno y las ecuaciones.
- Modelo Matemático Discretizado: Obtener el modelo matemático discretizado.
- Ejecutar el Cálculo: Realizar la simulación.