Ejercicios Resueltos de Matrices de Insumo-Producto, Integrales y Optimización

Modelo de Insumo-Producto de Leontief

Enunciado: La Industria A utiliza el 20% de su propia producción y el 10% de la producción de B; la Industria B utiliza el 30% de su propia producción y el 25% de la de A. La demanda final es: A = 1000, B = 2000.

Construcción de la Matriz M

Aplicamos la regla: «La fila DA, la columna USA».

• Propio de A (20%): Se ubica en la diagonal (fila A, columna A) = 0,20.
• Propio de B (30%): Se ubica en la diagonal (fila B, columna B) = 0,30.
• «A usa 10% de B»: Fila B, columna A = 0,10.
• «B usa 25% de A»: Fila A, columna B = 0,25.

Matriz M:
[ 0,20   0,25 ]
[ 0,10   0,30 ]

Paso 1: Cálculo de I − M

Restamos cada elemento de la matriz M al elemento correspondiente de la matriz identidad (I):

I − M =
[  0,80   -0,25 ]
[ -0,10    0,70 ]

Asignamos variables a cada posición para facilitar los pasos siguientes:

a = 0,80; b = −0,25;
c = −0,10; d = 0,70

Paso 2: Cálculo del Determinante

Utilizamos la fórmula: Determinante = (a × d) − (b × c). Multiplicamos la diagonal principal, restamos el producto de la diagonal secundaria:

(0,80 × 0,70) − (−0,25 × −0,10) = 0,56 − 0,025 = 0,535

Paso 3: Obtención de la Matriz Inversa

Utilizando la matriz (a, b; c, d) del Paso 1 y el determinante del Paso 2, procedemos de la siguiente manera:

1. Intercambiamos a y d de lugar (inversión de la diagonal principal).
2. Cambiamos el signo de b y c (sin moverlos de su posición).
3. Dividimos los cuatro valores resultantes por el determinante.

Fórmula de la Inversa:
[ d/det   -b/det ]
[ -c/det   a/det ]

Cálculos numéricos:
0,70 / 0,535 = 1,3084
0,25 / 0,535 = 0,4673
0,10 / 0,535 = 0,1869
0,80 / 0,535 = 1,4953

Matriz Inversa:
[ 1,3084   0,4673 ]
[ 0,1869   1,4953 ]

Paso 4: Cálculo de la Producción Total (X = Inversa × D)

Considerando la Demanda Final (D) como:
D = [ 1000 ]
    [ 2000 ]

Aplicamos la regla de «fila por columna» (elemento a elemento y sumando):

• X_A: (1,3084 × 1000) + (0,4673 × 2000) = 1308,4 + 934,6 = 2243,0
• X_B: (0,1869 × 1000) + (1,4953 × 2000) = 186,9 + 2990,6 = 3177,5

Resultado Final (X):
[ 2243,0 ]
[ 3177,5 ]

---

Resolución de Integral Indefinida por Sustitución

Ejercicio: ∫ 4x (3x² − 5)¹⁴ dx

Paso 1: Identificar el término interno

El término dentro del paréntesis elevado a una potencia es (3x² − 5).

Paso 2: Derivar el término interno

• Derivada de 3x² = 6x
• Derivada de −5 = 0

La derivada del interior es 6x.

Paso 3: Analizar el factor externo

Fuera del paréntesis tenemos el término 4x.

Paso 4: Comparar el factor externo con la derivada interna

Existen tres escenarios posibles:

• Caso A: Son idénticos.
• Caso B: Son proporcionales (nuestro caso). 4x y 6x son del mismo grado (x¹), pero con distinto coeficiente.
• Caso C: No hay relación de proporcionalidad (requiere otro método).

Paso 5: Calcular la constante de proporción

Dividimos lo que tenemos (4x) por lo que necesitamos (6x):
4x / 6x = 4/6 = 2/3

Paso 6: Reexpresar la integral

Sacamos la constante fuera de la integral y ajustamos el interior:
∫ 4x (3x² − 5)¹⁴ dx = (2/3) ∫ 6x (3x² − 5)¹⁴ dx

Paso 7: Aplicar la regla de la potencia

Utilizamos la fórmula ∫ uⁿ du = uⁿ⁺¹ / (n+1), donde n = 14:

• Nuevo exponente: 14 + 1 = 15
• Divisor: 15

∫ 6x (3x² − 5)¹⁴ dx = (3x² − 5)¹⁵ / 15

Paso 8: Multiplicar por la constante de proporción

(2/3) × [ (3x² − 5)¹⁵ / 15 ] = 2(3x² − 5)¹⁵ / 45

Paso 9: Incluir la constante de integración

Resultado Final:
∫ 4x (3x² − 5)¹⁴ dx = [ 2(3x² − 5)¹⁵ / 45 ] + C

---

Optimización de Funciones de Varias Variables

Sistema de Ecuaciones Planteado

• −6q_A + 4q_B + 250 = 0
• 4q_A − 8q_B + 180 = 0

Resultados del Sistema

q_A = 85; q_B = 65

Cálculo de Segundas Derivadas y Derivada Cruzada

Partiendo de las derivadas de primer orden:

• I’q_A = −6q_A + 4q_B + 250
• I’q_B = 4q_A − 8q_B + 180

Derivada Segunda: I»q_Aq_A

Derivamos I’q_A respecto a q_A:

• −6q_A → −6
• 4q_B → 0
• 250 → 0

I»q_Aq_A = −6

Derivada Segunda: I»q_Bq_B

Derivamos I’q_B respecto a q_B:

• 4q_A → 0
• −8q_B → −8
• 180 → 0

I»q_Bq_B = −8

Derivada Cruzada: I»q_Aq_B

Derivamos I’q_A respecto a la variable contraria (q_B):

• −6q_A → 0
• 4q_B → 4
• 250 → 0

I»q_Aq_B = 4

Cálculo del Determinante Hessiano

H = (I''qAqA × I''qBqB) − (I''qAqB)²
H = (−6 × −8) − (4)²
H = 48 − 16 = 32

Conclusión del Criterio de Optimización

• Determinante (32) > 0: Indica la existencia de un extremo relativo (máximo o mínimo).
• I»q_Aq_A (−6) < 0: Al ser negativo, confirma que el punto es un Máximo.

Por lo tanto, los valores q_A = 85 y q_B = 65 maximizan efectivamente el ingreso.

---

Resumen de Reglas de Derivación Parcial

Tipo de término	Ejemplo	Derivando respecto a qA	Derivando respecto a qB
Variable qA con exponente	−3qA²	−6qA (baja exponente y resta 1)	0 (no contiene qB)
Variable qB con exponente	−4qB²	0 (no contiene qA)	−8qB (baja exponente y resta 1)
Producto qAqB	4qAqB	4qB (qA desaparece)	4qA (qB desaparece)
Coeficiente con qA	250qA	250	0
Coeficiente con qB	180qB	0	180
Constante sola	100	0	0