Explorando Conceptos Esenciales de Matemáticas, Geometría y Mecánica

Geometría y Álgebra Vectorial

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Coordinar significa poner en orden metódicamente. En consecuencia, si se desea ordenar un espacio determinado, será necesario establecer dónde se encuentra cada uno de los puntos de ese espacio. Estos puntos, cuya posición exacta se determina, constituyen los entes geométricos elementales a partir de los cuales se genera el resto de la geometría en sus formas más complejas. Un ejemplo fundamental en este contexto es la recta numérica.

Vectores

Un vector está caracterizado por tres elementos que lo definen:

  • Dirección: dada por la recta que lo contiene.
  • Sentido: que fija el orden en que se han escogido los puntos extremos.
  • Módulo o medida: que es la longitud del segmento elegido.

Producto Escalar

El resultado del producto escalar es un número que se interpreta como el producto de la longitud de uno de los vectores por la proyección del otro sobre él.

Posiciones Relativas de Rectas y Planos

Paralelismo y Perpendicularidad entre Rectas

La condición de perpendicularidad entre rectas exige que sus vectores directores asociados tengan producto escalar cero.

Cónicas

Elipse

Una elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (denominados focos) es constante.

Parábola

Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo (denominado foco) y de una recta fija (denominada directriz).

Superficies Geométricas

Superficie Cilíndrica

Se llama superficie cilíndrica a la superficie formada por el conjunto de todas las rectas (llamadas generatrices) que cortan una curva plana dada (llamada directriz) y son paralelas a una recta fija que no está en el plano de la curva.

Probabilidad y Estadística

Experimento Aleatorio

Se define como cualquier desarrollo físico observable que pueda dar lugar a dos o más resultados, sin que sea posible enunciar con certeza cuál de estos resultados será efectivamente observado.

Suceso o Evento

Un suceso o evento puede ser:

  • Simple: si está formado exactamente por un resultado.
  • Compuesto: si consta de más de un resultado.

Axiomas de la Probabilidad

Para asegurarse de que las asignaciones de probabilidad sean consistentes con las nociones intuitivas de probabilidad, todas las asignaciones deberán satisfacer los siguientes axiomas:

Axioma 1: No negatividad

La probabilidad de que ocurra un suceso A es un número real no negativo. Es posible asignar esta probabilidad a un universo o espacio muestral E y a cada uno de los subconjuntos (sucesos) de ese universo.

P(A) ≥ 0

Axioma 2: Certidumbre

La probabilidad de un suceso cierto (el espacio muestral E) es igual a la unidad.

P(E) = 1

Axioma 3: Aditividad para sucesos mutuamente excluyentes

La probabilidad del suceso unión de dos sucesos mutuamente excluyentes (es decir, que no pueden ocurrir simultáneamente) es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Si A ∩ B = ∅ (A y B son mutuamente excluyentes), entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Mecánica de Sólidos y Resistencia de Materiales

Momento Flexor (M)

Se denomina momento flexor (M) en una sección al par de pares que actúan normalmente a uno y otro lado de esta, cuyos momentos estáticos corresponden a los momentos con respecto al centro de gravedad de la sección de las resultantes izquierda y derecha. Su signo viene dado por el momento de la resultante izquierda o el de la derecha con signo contrario.

Esfuerzo de Corte o Esfuerzo Tangencial (Q)

Se denomina esfuerzo de corte o esfuerzo tangencial (Q) en una sección al conjunto de las dos fuerzas internas Q, cuyas rectas de acción se encuentran contenidas en el plano de aquella. Sus intensidades corresponden a las proyecciones de las resultantes izquierda o derecha sobre el plano de la sección, y su signo lo determina la proyección de la resultante izquierda.

Esfuerzo Normal o Esfuerzo Axial (N)

El esfuerzo normal o esfuerzo axial (N) es el conjunto de las dos fuerzas internas aplicadas en el centro de gravedad de la sección, cuyas rectas de acción son normales (perpendiculares) al plano de esta. Sus intensidades corresponden a las proyecciones sobre dicha dirección de la resultante izquierda y derecha. El signo del esfuerzo normal depende de si la sección resulta solicitada por tracción (positivo) o compresión (negativo).

Otros Conceptos Matemáticos y Filosóficos

Número de Oro

El número de oro corresponde matemáticamente a la división de un segmento en media y extrema razón.

Simetría y Asimetría

La simetría significa reposo y ataduras; la asimetría, movimiento y soltura. La una representa orden y ley; la otra, arbitrariedad y accidente. La primera implica rigidez formal y coacción; la segunda, vida, juego y libertad.