Fundamentos de Inferencia Estadística: Teoremas, Muestreo y Pruebas de Hipótesis

Teorema de Bayes y Probabilidad Total

El Teorema de Bayes permite actualizar una probabilidad inicial cuando aparece nueva información. Se utiliza cuando disponemos de información imperfecta, como informes o estudios, y deseamos calcular la probabilidad de un estado de la naturaleza tras observar una evidencia.

Fórmula: P(A/B) = [P(A) · P(B/A)] / P(B)

Diagrama de Bayes

Se representa mediante un árbol de probabilidad:

  • Primero, se colocan los estados de la naturaleza con sus probabilidades previas.
  • Luego, desde cada estado, se despliegan las evidencias posibles con sus probabilidades condicionales.
  • Se multiplican las ramas para obtener probabilidades conjuntas.
  • Finalmente, se divide la conjunta del evento buscado por la probabilidad total de la evidencia.

Probabilidad Total

Calcula la probabilidad de una consecuencia considerando todas las causas posibles (causa → consecuencia). La probabilidad total permite hallar P(B), valor que Bayes utiliza para calcular P(A/B).

Diseño de Muestreo Probabilístico

Es un plan donde cada elemento de la población tiene una probabilidad conocida y mayor que cero de ser elegido. El proceso incluye: definir la población, identificar el marco muestral, determinar el tamaño de la muestra, elegir el método y seleccionar los elementos.

Métodos de Muestreo

  • Muestreo aleatorio simple: Selección completamente aleatoria a partir de un marco muestral completo. Cada elemento tiene la misma probabilidad de ser elegido.
  • Muestreo sistemático: Se elige un punto de inicio aleatorio y se selecciona cada k-ésimo elemento (k = N/n). Debe evitarse si existen patrones en el listado.
  • Muestreo estratificado: Divide la población en grupos homogéneos (estratos) excluyentes. Mejora la precisión al asegurar la representación de subgrupos.
  • Muestreo por conglomerados: Selecciona grupos completos en lugar de individuos. Es ideal para poblaciones dispersas geográficamente.

Teorema Central del Límite

Establece que, independientemente de la distribución poblacional, la distribución de las medias muestrales tiende a la normalidad a medida que aumenta el tamaño de la muestra (generalmente n ≥ 30).

Estimadores y Control Estadístico de Procesos (CEP)

Un buen estimador debe ser insesgado, eficiente y suficiente.

Control Estadístico de Procesos (CEP)

Técnica para monitorear procesos y distinguir entre:

  • Variaciones naturales: Fluctuaciones aleatorias normales e inevitables.
  • Variaciones asignables: Cambios anormales que indican que el proceso está fuera de control y requieren corrección.

Los gráficos de control (X̄, R, p, c) permiten visualizar si un proceso se mantiene estable dentro de los límites definidos.

Prueba de Hipótesis

Herramienta de inferencia para decidir si existe evidencia suficiente para rechazar una afirmación sobre una población.

  • Potencia de la prueba: Probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa (1 - β).
  • Valor p: Probabilidad de obtener un resultado igual o más extremo que el observado, asumiendo que H₀ es verdadera. Si p ≤ α, se rechaza H₀.

Pasos: Formular H₀ y H₁, elegir nivel de significación, verificar supuestos, calcular el estadístico de prueba, comparar con el valor crítico o valor p, y concluir.

Comparación de Dos Poblaciones

Se utiliza para comparar medias, proporciones o varianzas entre dos grupos.

Muestras Independientes vs. Relacionadas

  • Independientes: Los datos de un grupo no influyen en el otro (ej. hombres vs. mujeres).
  • Relacionadas (pareadas): Se mide a los mismos individuos en dos momentos (ej. antes y después de una dieta).

Para medias independientes, se utiliza la prueba t de Student (o Z si la varianza es conocida). Si las varianzas son desconocidas pero iguales, se usa una varianza conjunta (Sp²). Si son distintas, se aplica la aproximación de Welch.

Prueba Chi-cuadrado

Se aplica a variables cualitativas o categóricas para comparar frecuencias observadas (fo) con frecuencias esperadas (fe).

Fórmula: χ² = Σ [(fo - fe)² / fe]

  • Tablas de contingencia: Permiten analizar la independencia entre variables o comparar proporciones en múltiples poblaciones.
  • Grados de libertad: gl = (f - 1)(c - 1).
  • Criterio de decisión: Si χ² calculado > valor crítico o p ≤ α, se rechaza la hipótesis de independencia.