Fundamentos de las Operaciones Financieras: Capitalización, Descuento y Rentas

Conceptos Básicos de Capital Financiero

Definimos capital financiero como la medida o valoración de cualquier bien económico, activo real o activo financiero, referida al momento de su disponibilidad o vencimiento.

Los capitales financieros tienen dos componentes: la cuantía del capital (en unidades monetarias, C) y el vencimiento (momento de disponibilidad, t).

Siempre debe especificarse tanto el capital como su vencimiento.

Dos capitales financieros son equivalentes cuando, valorados en un mismo momento del tiempo, tienen la misma cuantía o valor.

La suma financiera requiere, como paso previo, homogeneizar los vencimientos de los capitales.

Una operación financiera es un intercambio o sustitución de uno o varios capitales financieros por otros equivalentes con distintos vencimientos.

Clasificaciones de Operaciones Financieras

1. Por su duración: Cortas o largas.
2. Por el momento de equivalencia financiera: Capitalización, actualización o mixtas.
3. Por el sentido del crédito: Unilateral o bilateral.
4. Por el número de capitales que intervienen: Operación simple o compuesta.
5. Por la naturaleza de los capitales: Ciertas o aleatorias.
6. Por su definición: Predeterminadas o posdeterminadas.

Comparación entre Convenio Lineal y Exponencial

La generalización de la fórmula del montante para cualquier valor del tiempo se realiza por dos métodos:

Llamamos capitalización compuesta en tiempo fraccionado a aquella operación financiera en la que el tiempo de capitalización no es un número exacto de años. Denotamos Ct al montante para cualquier valor de t.

Convenio Exponencial

Consiste en capitalizar a interés compuesto tanto el número exacto de años como la fracción restante.

Fórmula: Ct = Co (1+i)^n+h/k

Convenio Lineal

Consiste en capitalizar a interés compuesto el número exacto de años y a interés simple la fracción de tiempo restante.

Fórmula: Ct´= Co (1+i)ⁿ (1+h/k*i)

Para un capital Co a un tipo de interés i, el montante alcanzado con el convenio lineal es siempre mayor que el obtenido con el convenio exponencial.

Cálculo de los Elementos del Montante

Convenio Exponencial

Son los mismos que en el sistema financiero compuesto, salvo que denotamos el tiempo t en vez de n, siendo t = n + h/k.

• Montante: Ct = Co(1+i)^t
• Capital Inicial: Co = Ct / (1+i)^t
• Tiempo: t = log(Ct/Co) / log(1+i)
• Interés: i = (Ct/Co)^(1/t) – 1

Convenio Lineal

• Capital Inicial: Co = Ct´ / ((1+i)ⁿ(1+h/k*i))
• Tiempo: Primero calculamos el tiempo con el convenio exponencial y nos quedamos con el número entero (n), para obtener la fracción de tiempo restante (h): h = ((Ct´ / Co(1+i)ⁿ) – 1) * k / i
• Tipo de Interés: Se calcula previamente por el convenio exponencial. El valor obtenido será superior, pero muy próximo al que buscamos, el cual obtenemos a partir del montante del convenio lineal mediante el proceso de tanteo.

El Fenómeno de la Escindibilidad de Cantelli

Según este fenómeno, en las operaciones financieras de capitalización, el capital final o montante que se obtiene debería ser independiente del procedimiento utilizado para su cálculo. Es decir, el capital final debería ser el mismo tanto si la operación se realiza de una sola vez como si se divide en operaciones más cortas. Esta característica se cumple en la capitalización compuesta, pero no en la simple.

Capitalización Compuesta:

• Sin escisión: Ct = Co(1+i)^t
• Con escisión: MISMA FÓRMULA

Capitalización Simple:

• Sin escisión: Ct = Co(1+ni)
• Con escisión: Ct´= Co (1+t1*i)(1+(t-t1)*i)

En el sistema financiero simple, el montante con escindibilidad siempre será mayor que sin ella.

Capital Único y Vencimiento Común

Capital Único: Un empresario debe cierta cantidad de dinero. Puede aceptar una propuesta que implica pagar varias letras (C1, C2…) con vencimientos (t1, t2…) o aceptar una opción equivalente que implica pagar solo una letra (C) en un tiempo (t), negociadas las letras al mismo tanto, en la misma fecha, y con el mismo valor efectivo.

Vencimiento Común: Se pretende sustituir el pago de varias letras por el pago nominal de una única letra, pero no sabemos en qué momento será posible. Por tanto, t será nuestra incógnita, el vencimiento común. Para hallarlo, estableceremos una hipótesis situando t al final, porque es más fácil hacer operaciones de capitalización que de actualización.

Vencimiento Medio: Es un caso particular del vencimiento común. La única diferencia es que ahora el capital único será la suma algebraica de los capitales, es decir, la suma de la deuda.

Comparación entre Descuento Comercial y Descuento Racional

Establecemos tres comparaciones suponiendo homogeneidad entre el tiempo y el tipo de interés o tasa de descuento.

1. Descuento Racional: Dr = Cn * ni / (1 + ni)
2. Descuento Comercial: Dc = Cn * nd
3. Dr < Dc

Concepto Financiero de Renta

Una renta es una sucesión de cobros o pagos equidistantes en el tiempo. Los capitales que componen la renta se denominan términos de la renta. Los términos deben ser todos positivos. La distancia entre dos términos consecutivos se denomina período de maduración de una renta, y este período determina el tipo de interés con el que se ha de valorar la renta. El intervalo entre el principio y el final de la operación se llama duración.

El valor financiero es la suma financiera de los términos de la renta en el momento de valoración. En la vida de las rentas hay dos momentos clave: su origen y su final.

Clasificaciones de Rentas

1. Según la forma en que se conocen los términos: Ciertas o aleatorias.
2. Según la amplitud de los períodos de maduración: Discretas o continuas.
3. Según la periodicidad de los vencimientos: Anuales, fraccionados o superior al año.
4. Según el sistema financiero utilizado para valorar la renta: Sistema Financiero Simple (SFS), Sistema Financiero Compuesto (SFC) o Sistema Financiero Continuo.
5. Según su duración: Temporales o perpetuas.
6. Según el momento de valoración de la renta: Inmediatas, diferidas o anticipadas.
7. Según el momento de vencimiento de los términos: Pospagables o prepagables.
8. Según la cuantía de los términos: Constantes, variables o mixtas.

Capital Vivo

El capital vivo es el capital pendiente de amortizar, es decir, lo que debemos del préstamo en cada momento. Hay que distinguir entre capital vivo por la izquierda y por la derecha.

Métodos para calcular el Capital Vivo

1. Método retrospectivo: En función de los términos amortizativos ya pagados y devengados: Cs = Co(1+i)^s – a * s_s?i
2. Método prospectivo: En función de los términos amortizativos no pagados ni devengados: Cs = a * a_n-s?i
3. Ley de recurrencia: Calculamos el capital vivo en función del capital vivo del período anterior: Cs = Cs-1(1+i) – a

Método Francés de Amortización

Es un caso particular de amortización. Se caracteriza porque tanto los términos amortizativos como el tipo de interés son constantes.

Cuota de Amortización

Es la cantidad que va destinada a disminuir el capital vivo, es lo que realmente amortiza el préstamo. Crece de un período a otro como una progresión geométrica de razón (1+i) en el método francés. A2 = A1(1+i), A3 = A1(1+i)²

Este método destina al principio mucho a intereses y poco a amortizar. Por esta razón se le llama sistema progresivo de amortización, porque las cuotas de amortización crecen conforme una progresión de razón (1+i). Conforme transcurre el préstamo, mayor es la parte del término amortizativo que se destina a amortizar el capital vivo y menor la que se destina a intereses.

Cálculo de A1

1. A1 = A – Coi
2. A1 = Co / S_n?i
3. A1 = a / (1+i)ⁿ

Irregularidades del Método Francés

En una operación de amortización hay ausencia de regularidad amortizativa cuando el capital vivo o deuda pendiente crece un período a otro o se mantiene constante. Esto ocurre en dos casos particulares:

1. Cuando durante el período de carencia no se paga cantidad alguna. Inicialmente la deuda pendiente era Co, pero habiendo un período de carencia de 2 años, la cantidad a devolver es C2, que es superior a Co.
2. Cuando durante el período de carencia solo se pagan los intereses.