Fundamentos del Aprendizaje Matemático: Nociones, Procesos y Estrategias

Nociones pre-numéricas: Son los conocimientos previos que el niño adquiere en su vida cotidiana al relacionar objetos que lo rodean (comparar, clasificar, identificar).

Procesos involucrados en el aprendizaje de las matemáticas

Lenguaje (comprender mejor), Percepción, Afectivos (motivación), Memoria (recordar información), Razonamiento (tomar decisiones, analizar).

Capacidades implicadas

Conocimiento declarativo (expuesto o explícito en todos los conocimientos), Conocimiento procedimental (pasos que se siguen), Conocimiento condicional (depende de las reglas, se condiciona el aprendizaje).

Consideraciones en la enseñanza

Naturaleza deductiva, Lenguaje formal específico, Naturaleza esencialmente teórica, Conceptualizar actividad, Comprensión y resolución de problemas, Conocimientos previos, Ofrecer oportunidades.

Aprendizaje de las matemáticas (1° etapa)

Lenguaje Lógico: Nociones topológicas (origen espacial, cerca-lejos, de carácter relativo), Cuantificadores (origen cuantitativo, mucho-poco), Lenguaje lingüístico (conjuntos), Reconocimiento de cuerpos y figuras geométricas (cuerpos: ocupan volumen y lugar en el espacio; figuras geométricas: dibujo).

Aprendizaje de las matemáticas (2° etapa)

Nociones Lógico Matemáticas: Seriación (orden a una serie de números), Correspondencia (> o <), Clasificación (agrupar elementos), Conservación (conservar la cantidad).

Tipos de conocimientos

Físico (se incorpora a través de los sentidos), Social (acuerdos sociales, consensuados), Lógico matemático (se encuentra en esencia el número), Abstracción: empírica (forma la idea) y reflexionante (más allá de un simple análisis).

Idea del número según Piaget

El número es una estructura mental; Se construye mediante la adición repetida de 1; Es un ejemplo de conocimiento lógico matemático, no es de naturaleza empírica; el niño lo construye mediante la abstracción reflexionante a partir de su propia acción mental; Es una síntesis de orden e inclusión jerárquica; Un número expresa una relación que: Indica su lugar en un orden, Representa cuántos objetos hay en un conjunto y Es duradero a pesar de reordenamientos espaciales.

Idea del número según Dienes

El número es una propiedad de los objetos y de los conjuntos de objetos; Es una síntesis de la clasificación y la seriación; Es una clase de equivalencia; Es una abstracción, es la medida de un conjunto de objetos discretos; Su aprendizaje es una construcción activa; Implica las nociones de adición y multiplicación como consecuencia de la inclusión de clase y la correspondencia uno a uno; Invirtiendo mentalmente las operaciones físicas llega a la reversibilidad.

Saber un número implica

Contar con significado.
Componer y descomponer un número.
Asociar a un conjunto dado el numeral correspondiente.
Leer y escribir los numerales.
Determinar antecesor y sucesor, completar sucesiones numéricas.
Establecer relaciones de orden entre 2 o + números.

Enseñanza de los primeros números

Aspectos grafomotrices (el niño conoce que el número tiene una direccionalidad y que se puede graficar); Aspectos socioculturales (cómo relaciona el niño los números en la vida diaria, ej. número de teléfono, de casa, la edad); Aspectos lógicos (el niño realiza lógica al decir diez y uno); 1-5: conjuntos; 6 al 10: n + 1; 10 en adelante decenas y unidades.

Principios del conteo

Correspondencia término a término (asociar la palabra con un elemento), Orden estable (los números tienen una posición), Abstracción (un número aborda infinitos conjuntos), No pertinencia del orden (no importa el orden, la cardinalidad se mantiene), Cardinalidad o cardinalización (inclusión jerárquica).

Familia de los números

Números visualizables o perceptivos (1 al 5, fácil de contar), Números familiares o habituales (podemos utilizar de manera más fácil y continua 0-10, 0-20), Números frecuentados (tablas de multiplicar), Números grandes (100 en adelante).

Niveles de progresión

Cuerda: se dicen números pero no se establece una relación, no hay correspondencia 1 a 1; Cadena irrompible: Relación 1 a 1, pero se debe comenzar del 1; Cadena rompible: puede comenzar desde cualquier punto de la recta; Cadena numerada: Series que se pueden realizar como contar de 3 en 3; Cadena bidireccional: puede contar de manera ascendente y descendente. Puede partir de cualquier número, asociar el número.

Operatoria

Manera de asociar un par ordenado de números con un tercero específico.

Etapas (Mialaret)

Acción real (trabajar con material concreto), Acción real acompañada de lenguaje (verbalizar la acción, describir), Descripción verbal sin el soporte de la acción (interioriza en las operaciones no es necesario material concreto), Acción real con objetos simples no figurados (se pasa a un nivel nuevo de abstracción), Traducción gráfica (representación gráfica a través del dibujo), Traducción simbólica (ya no usa objetos, se vale de los símbolos ej. < >).

Pre requisitos: Concepto de número, Pensamiento operatorio, Comprensión del sistema de numeración.

Algoritmo

Cualquier procedimiento por etapas que permita resolver en forma escrita una operación.

Su aprendizaje se basará en: Las propiedades del sistema de numeración, El conocimiento de las combinaciones básicas de cada operación, Las propiedades de las operaciones.

Adición

Relacionada con la unión de conjuntos distintos.

El inicio de la escritura debe ser de horizontal a fin de lograr una más fácil lectura de la expresión operatoria.

Estimar el resultado como una cantidad siempre mayor que las partes.

Progresión algoritmo

1° fase de las combinaciones básicas

Familia del 0: se aprende instantáneamente. Cuando le agregan 0 a un conjunto, siguen teniendo lo mismo; Familia del 1: identifican que sumar 1 a cualquier número expresará el que sigue; Familia del 10: al aparecer el 10 en 1° lugar el resultado va a ser el número que compone con el otro sumando; Familia del 9: Sumar 9 es como sumar 10 pero quitando 1; Familia del 2: recuerda la progresión numérica y el contar saltado; Familia de los dobles: teniendo en cuenta las familias que ya se han presentado solo se presentan sus combinaciones 3+3, 4+4, 5+5

Familia de los vecinos de los doble: el resultado es el doble del número mayor pero quitándole 1 (4+3, 5+4); Familia de los números misteriosos: Combinación en que los números de que se componen tiene una diferencia en sus valores de 2 dígitos y la solución es el doble del número que no aparece y que está en medio; Familia de los complementarios del 10: solo quedan 2 combinaciones fuera de las familias mencionadas 7+3 y 3+7; Las últimas 10 combinaciones sin calificar 8+3, 8+4, 8+5, 7+4, 6+3 y al revés

2° fase de los 3 dígitos

Tramo 1: no se llega a rebasar la decena en el resultado. El estudiante ha de efectuar la primera combinación mentalmente recordar el resultado y sumar este resultado con el número que queda (2+3+1); Tramo 2: similar al anterior, pero rebasando la decena al efectuar la 2° combinación (2+3+6); Tramo 3: se ha de rebasar la decena en la 1° combinación, retenerla mentalmente y luego sumar la siguiente combinación (8+7+2); Tramo 4: combina y reúne las destrezas que se han adquirido en los tramos 2 y 3 (4+8+9)

3° fase de las decenas y las centenas

Tramo 1: C o D exactas sin formar unidad de orden superior; Tramo 2: D o C inexactas sin formar unidades de orden superior (56+23); Tramo 3: D o C exactas formando unidad superior en la última cifra de la izq. De cada sumando (80+50); Tramo 4: D o C exacta en un sumando y C o D inexacta en el otro sumando (80+58); Tramo 5: C o D inexactas formando unidad superior en la última cifra de la izq. (83+55); Tramo 6: D o C inexactas, formando unidad superior en la 1° o 2° cifra de la derecha (o en ambas); Tramo 7: C o D inexactas, formando unidad de orden superior al menos en 2 cifras situadas en cualquier lugar de la operación (38+87)

Sustracción

Canje/minuendo/sustraendo/resta

El minuendo va a ser mayor o igual al sustraendo. Algunos resultados pueden dar igual al minuendo. Empezamos desde la unidad para pedirle al más grande.

Efectuar sustracciones usando antecesor de un número.
Ejercitar habilidad para encontrar el dígito que falta para completar 10 (contar con los dedos).
Ejercitar habilidad para descontar cualquier dígito de 10 u otras decenas (bidireccional).
Ejercitar combinaciones básicas de sustracción.
Ejercitar habilidad para expresar el mismo número de diversas formas.
Descontar decenas (usar restas, no solo sumas).
Estructurar números de otras maneras (formar números de diferentes maneras).

Progresión algoritmo

1° fase de las combinaciones básicas: los niños realizan cuentas que contienen los hechos numéricos o combinaciones básicas.

2° fase de las decenas y centenas exactas: son sustracciones del tipo 60-20=40. Suponen una generalización con respecto a la fase anterior, pero sin que requieran destrezas nuevas.

3° fase de las decenas y centenas exactas en el sustraendo: las sustracciones del tipo 68-30=38 o 534-200= 334

4° fase de las decenas o centenas no exactas con llevadas en las unidades: plantea la necesidad de descomponer la unidad de orden superior. Las operaciones del tipo 13-8=5; 27-9=18. Posteriormente debe generalizarse hasta la segunda cifra del minuendo. No se debe pasar a la siguiente fase hasta que el alumno domine completamente la fase (53-8=45; 4D=40 13U=13)

5° fase de la sustracción de cero con llevadas: considerar dos etapas: Practicar combinaciones del cero (10-1;30-2;20-3) y ampliar esta destreza a otras situaciones (330-219; 304-172)

6° fase de llevadas consecutivas: generaliza y repite las destrezas anteriores de descomposición de unidades. (823-194; 312-98)

7° fase de acarreo desde dos unidades de orden superior: descomponer no la unidad inmediatamente anterior del minuendo, sino la unidad dos veces anterior (800-108; 803-204; pedir al de al lado, siempre uno entremedio)

Multiplicación

Multiplicando/multiplicador/producto.

Partimos por la derecha para formar unidades de orden superior, los números más grandes pueden acomodarse en los que siguen.

Propiedad del 0= absorbente

Reunión de conjuntos equivalentes
Reemplazo de elementos de un conjunto por conjuntos equivalentes
Producto cartesiano de dos conjuntos.

Cómo acercarnos a la multiplicación: Contar de 2 en 2; 3 en 3; 5 en 5; 10 en 10/ Ejercitar conceptos de doble, triple, cuádruplo, quíntuplo/ Demostrar con la tabla del uno la propiedad neutra en éste en la multiplicación/ Demostrar por qué n x 0=0/ Mostrar la tabla del 9 como activador del aprendizaje.

1° Adquisición de la propiedad multiplicativa del uno y del cero (el por qué)

2° Estudio de la propiedad conmutativa a través de las combinaciones básicas (factor no altera el producto, da el mismo resultado)

3° Dominio progresivo de las combinaciones básicas.

4° Producto por un número exacto de decenas (ej: 12×120; cada vez va manejando cantidades más grandes)

5° Producto de decenas por unidades: en esta fase hay que efectuar dos multiplicaciones formando parte de un mismo producto. Se puede hacer una primera subfase que contemple el multiplicando descompuesto en decenas y unidades. El alumno efectuará los productos por separado y sumaría posteriormente los resultados parciales para obtener el producto total (14×5= 10×5=50; 4×5=20; 50+20=70)

6° Producto por centenas: multiplicaciones del tipo 172×3, se suponen 3 fases en la progresión: 1. Desglose en valores absolutos (100×3; 70×3;2×3) 2. Desglose con apoyo semántico (dividirlos en C-D-U) 3. Recomposición del número y realización directa (172×3 hacia abajo)

7° Paso a las unidades de millar y llevadas en lugares alterno.

8° Cero al final del número (de C en adelante)

9° Cero intermedio en el número (706×8)

10° Multiplicación por la unidad seguido de ceros.

11° Multiplicación por número de dos o tres cifras.

División

Cociente ¿cuántos puedo formar?/divisor ¿en cuántas partes se juntarán?/dividendo conjunto que se va a repartir/resta o residuo.

Se parte del lado izquierdo porque se va a repartir desde el más grande y lo que queda va en la posición más pequeña y así sucesivamente.

Basada en la idea de particionar un conjunto en subconjuntos equivalentes.
En la enseñanza del algoritmo deben generarse oportunidades de relacionar la división con la multiplicación como operaciones inversas.
Conocer los componentes de la división: dividendo, divisor, cociente y resta.
El divisor indica «de cuántos elementos» estará compuesto cada subconjunto.

¿Cómo? – Ejercitar la habilidad para descontar de 2 en 2; 3 en 3; Efectuar divisiones simples utilizando la idea de encontrar la mitad, la tercera parte, la mitad de la mitad, etc.; Asociar a arreglos rectangulares situaciones de división en columnas y filas; Ejercitar habilidad de dividir por 10; Ejercitar el proceso mediante restas sucesivas (9:3=9-3; 6-3=3)

Progresión algoritmo

1° Fase: el divisor y el cociente tienen una sola cifra: corresponde a las combinaciones básicas y a cantidades similares que originan restas (48:6 y 89:9). Dos dificultades se abordan, la primera, la que supone considerar que la primera cifra del dividendo sea más pequeña que la primera cifra del divisor. La segunda, el establecimiento de los restos, aunque en este caso sea solo el final.

2° Fase: el divisor tiene una cifra. El cociente tiene las mismas o una menos que el dividendo: a) División exacta (96:3) comenzar por parte, no por el número; b) División inexacta (89:4); c) División exacta con restos parciales (3.295:5) las comas para separar indican la cantidad de dígitos en el cociente, siempre el resto debe ser menor que el divisor; d) Cero intercalado con el cociente (416:4=104)

3° Fase: dos cifras en el divisor: debe generalizar a divisiones con más cifras todas las destrezas anteriores. Debe abordar también otra nueva: el cero al final del cociente (1080:36)

Problemas

Plantea interrogantes
Recuperar conocimientos previos
Es realmente un problema cuando: desarrollo de las actividades intelectuales; intereses de los alumnos; más de una estrategia; nivel lingüístico.

Datos en los problemas: datos numéricos; datos nominales palabras que facilitan la comprensión del problema; datos verbales gasté, regalé, pedí, verbos que me indican lo que debo hacer; pregunta indica lo que debo buscar

Jerarquización de problemas (A. Luria)

Nivel I Problemas simples directos: problema cuya resolución depende de una sola operación aritmética y los datos determinan de forma unívoca el algoritmo de resolución (Inés compró 12 manzanas y su mamá compró 20. ¿Cuántas manzanas compraron Inés y su mamá?)

Nivel II Problemas simples inversos/invertidos: la resolución depende de una operación aritmética pero el orden de los actos difiere de aquel en que se dan los datos (Gonzalo tiene 8 autitos. Le da algunos a un amigo y se queda con 5. ¿cuántos autitos le dio a su amigo?)

Nivel III Problemas compuestos: la solución depende por lo menos de dos etapas. Los datos del problema no determinan por sí mismos la resolución de este. Para obtener la solución correcta hay que encontrar primero un valor faltante y luego solucionar (Cristóbal tiene 12 lápices y su hermano tiene 3 más que él. ¿cuántos lápices tienen los dos hermanos en total?)

Nivel IV Problemas compuestos de múltiples formas: el algoritmo de resolución se divide en un número