Matrices y determinantes: Conceptos, ejemplos y operaciones

Matrices y Determinantes

Introducción

Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra lineal que facilitan el ordenamiento y manejo de datos. Los conceptos de matriz y sus operaciones fueron desarrollados principalmente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley, y el irlandés William Hamilton.

Las matrices se utilizan en diversos campos donde se trabaja con datos ordenados, incluyendo las ciencias sociales, económicas y biológicas.

Matrices: Definición y primeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas. Por ejemplo:

A = [[a₁₁, a₁₂, a₁₃], [a₂₁, a₂₂, a₂₃], [a_m1, a_m2, a_m3]]

Donde:

Filas de la matriz A
Columnas de la matriz A

Se puede expresar abreviadamente como A = (a_ij). Cada elemento a_ij tiene dos subíndices: i indica la fila y j la columna. Por ejemplo, a₂₃ está en la fila 2 y columna 3. Las matrices se representan con letras mayúsculas.

Ejemplos:

A = [[4, 3], [3, 2]] (Matriz 2×2)
B = [[-4, 0, 2], [1, 1, 0], [√2, 1, 0]] (Matriz 3×3)
C = [[1, 0, 1], [0, √2, 0], [1, 0, 1], [0, 0, 1]] (Matriz 4×3)

A tiene 2 filas y 2 columnas (tamaño 2×2). ¿Qué elemento es a₂₁?

B tiene 3 filas y 3 columnas (tamaño 3×3). ¿Qué elemento es b₂₁?

C tiene 4 filas y 3 columnas (tamaño 4×3). ¿Qué elemento es c₁₃?

En general, una matriz A con m filas y n columnas tiene tamaño o dimensión m x n (m por n).

Tipos especiales de matrices

Matriz nula: Todos sus elementos son cero. Ejemplo: [[0, 0, 0], [0, 0, 0]] (Matriz 2×3 nula)
Matriz fila: Tiene una sola fila (dimensión 1xn). Ejemplo: [1, 0, 9]
Matriz columna: Tiene una sola columna (dimensión mx1). Ejemplo: [[1], [0], [9]]
Matriz cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas (nxn). Ejemplo: [[1, 2], [3, 4]] (Matriz cuadrada de orden 2)

Dentro de las matrices cuadradas:

Diagonal principal: Elementos a₁₁, a₂₂, a₃₃, … , a_nn
Traza de la matriz: Suma de los elementos de la diagonal principal. Traza(A) = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + … + a_nn
Diagonal secundaria: Elementos a_1n, a_2,n-1, a_3,n-2, … , a_n1
Matrices triangulares: Superior: Elementos debajo de la diagonal principal son cero. Inferior: Elementos encima de la diagonal principal son cero.

Operaciones con matrices

Suma y diferencia

Para sumar o restar matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos en la misma posición. El resultado es otra matriz del mismo tamaño.

Ejemplo:

[[1, 3], [0, 1]] + [[-7, 0], [2, 1]] = [[-6, 3], [2, 2]]

Matrices de diferente tamaño no se pueden sumar ni restar.

Propiedades de la suma (y diferencia):

Conmutativa: A + B = B + A
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: La matriz nula
Elemento opuesto de A: -A (cambiar de signo a todos los elementos)

Producto por un número real

Para multiplicar una matriz A por un número real k, se multiplica cada elemento de A por k. El resultado es otra matriz del mismo tamaño.

Ejemplo:

2 * [[5, -2], [-4, 1]] = [[10, -4], [-8, 2]]

Propiedades:

Distributiva respecto de la suma de matrices: k(A + B) = kA + kB
Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)A = kA + dA
Asociativa: k(dA) = (kd)A
Elemento neutro: 1A = A

Trasposición de matrices

La matriz traspuesta A^T de una matriz A se obtiene intercambiando filas y columnas.

Ejemplo:

Si A = [[3, 2, 7], [1, 0, 7], [-3, 4, 2]], entonces A^T = [[3, 1, -3], [2, 0, 4], [7, 7, 2]]

Si A es mxn, entonces A^T es nxm.

Propiedades:

(A^T)^T = A
(A + B)^T = A^T + B^T
(kA)^T = kA^T