Modelado Científico: Determinismo, Aleatoriedad y Caos
Introducción
Uno de los objetivos principales del científico consiste en construir modelos de los sistemas de la naturaleza. Cuando se ha conseguido modelar con éxito un sistema físico, es posible predecir su comportamiento en el futuro y explicar su pasado. Además, suele indicar que se dispone de un conocimiento profundo de los mecanismos implicados en el fenómeno a estudiar.
Se pueden distinguir dos tipos de modelos básicos de un fenómeno natural:
- Modelos deterministas: Este tipo de modelos suele ser el preferido por los científicos, ya que se basan en ecuaciones que permiten predecir el comportamiento futuro de un sistema de manera determinista, sin lugar a dudas. Por ejemplo, según las leyes de Newton, si se deja caer un cuerpo desde una altura “h”, el tiempo que tarda en tocar el suelo viene dado por:
[ECUACIÓN: t = √(2h/g)]
Donde g es la aceleración de la gravedad (9.8 m/s²).
Este tipo de modelos nos dicen sin lugar a dudas que si se suelta algo desde una altura de 10 m, tardará exactamente 1.40 segundos en tocar el suelo… Y lo hará hoy, mañana y dentro de 1000 años, al menos mientras no cambie la gravedad. Por eso se denominan deterministas a estos modelos: nos ofrecen un futuro completamente determinado por las ecuaciones. - Modelos Aleatorios: Existen fenómenos que (al menos actualmente) no podemos modelar de forma determinista. Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado al aire, no tenemos ninguna ecuación determinista que nos diga el resultado que vamos a obtener. Lo más que podemos ofrecer es la estimación de la probabilidad de un resultado. En el ejemplo del dado, la probabilidad de que salga un resultado es de:
[ECUACIÓN: P(resultado) = 1/n]
donde ‘n’ es el número de ‘caras’ que tiene el dado. En uno normal, n = 6 y la probabilidad de obtener una cualquiera de las caras, digamos ‘el 3’, es de 1/6 = 0.167 (un 16.7% de las veces, debería salir el 3).
Importancia de los Parámetros y de las Condiciones Iniciales
Dos conceptos muy importantes a la hora de manejar un modelo (del clima o de cualquier sistema) son los “parámetros” y las “condiciones iniciales”.
Parámetros: son ‘números’ que determinan las ecuaciones que rigen el modelo y, por lo tanto, nuestro pronóstico depende de ese número. Normalmente son constantes físicas. En el ejemplo que hemos dado antes en el modelo determinista, el parámetro sería la aceleración de la gravedad g (g = 9.8 m/s² en la Tierra). En el caso de la aceleración de la gravedad, el valor se conoce bien y, además, una pequeña variación (digamos que en vez de 9.8, ponemos 9.7 m/s²) no altera mucho el resultado final, pero existen sistemas en los que no es posible conocer con precisión el valor de un parámetro y este desconocimiento puede tener consecuencias muy profundas en los pronósticos que realicemos.
Condiciones iniciales: Cuando queremos hacer un pronóstico con una ecuación, necesitamos conocer el estado del sistema en un instante inicial (se suele decir ‘en el tiempo t₀‘). Nuestras ecuaciones, si hay suerte, deberían ser capaces de calcular el estado del sistema en un tiempo t posterior (es decir, en el futuro). Si desempolvas tus conocimientos de física general de primero, recordarás que en un movimiento uniformemente acelerado, podemos calcular la velocidad de un móvil en cualquier instante t si conocemos la velocidad inicial v₀ en el instante inicial t₀ mediante la ecuación:
[ECUACIÓN: v = v₀ + at]
Si por ejemplo fijamos el instante inicial en t₀ = 0 y sabemos que para ese momento la velocidad inicial es v₀ = 2 m/s y el movimiento tiene una aceleración de 3 m/s², podemos calcular la velocidad en cualquier instante posterior, digamos t = 10 segundos, que resulta en v = 32 m/s. Evidentemente, el resultado de nuestra predicción dependerá de las condiciones iniciales. En un modelo climático, las condiciones iniciales suelen ser el estado del clima en un instante determinado (temperatura, contenido de humedad, cantidad de CO₂, etc.).
Todo esto está muy bien, pero ¿por qué estos conceptos son tan importantes en relación con el estudio del cambio climático? La razón es que las ecuaciones que rigen el clima son no lineales y contienen el germen de un tipo de modelos que están situados a medio camino entre un modelo determinista y uno puramente aleatorio. Este tipo de modelos se denominan ‘modelos caóticos’. En estos modelos, la predicción del futuro depende muy fuertemente de las condiciones iniciales y de los parámetros del modelo. Tanto, que pueden llegar a comprometer la interpretabilidad del resultado. Vamos a ver algunos ejemplos de sistemas caóticos:
Ejemplo 1: La importancia de los parámetros
Imagina que queremos modelar la cantidad de superficie del planeta Tierra cubierta por hielo. Podemos expresar esta cantidad como la ‘proporción de superficie nevada’ o, para abreviar, ‘PSN’. Si PSN = 0 significa que no hay ninguna superficie nevada y si PSN = 1 que toda la Tierra está cubierta por nieve. Parece razonable suponer que la proporción de superficie nevada el año que viene (en el tiempo t+1 año) dependa de alguna manera de la proporción de superficie nevada el año anterior (tiempo t). Podríamos proponer (¡podemos hacerlo, para eso somos los diseñadores del modelo!) la siguiente ecuación:
[ECUACIÓN: PSNt+1 = A ∙ PSNt]
Siendo A el parámetro del modelo. Si A es muy grande, la proporción de superficie nevada aumentará muy rápidamente y si es pequeño, más despacio.
A poco que pensemos, veremos que este modelo no es satisfactorio, ya que predice que la superficie nevada tiende a cero siempre que A < 1 y a infinito si A > 1. Además, no tiene en cuenta que no puede nevar indefinidamente, ya que si el agua está en forma de hielo, no formará nubes y en algún momento dejará de nevar… En seguida nos daríamos cuenta de que hay que poner un segundo factor que ‘limite’ la cantidad de agua disponible. Armados con nuestra confianza de modeladores profesionales, aventuramos que una solución podría ser multiplicar por el ‘complementario’ de la proporción de superficie nevada (1 – PSNt), así, si la proporción de superficie nevada sube mucho y se acerca a 1, (1 – PSNt) se acercará a cero y ‘limitará’ el crecimiento, simulando la falta de agua disponible para la precipitación. Por tanto, proponemos como modelo definitivo de la proporción de superficie nevada de la Tierra de un año t+1 en función de los valores del año anterior como:
[ECUACIÓN: PSNt+1 = A ∙ PSNt ∙ (1 – PSNt)]
En realidad, no es importante cómo hayamos llegado a esa ecuación; solo la estamos estudiando para demostrar cómo una ecuación tan sencilla como esa puede contener comportamientos extraños. La razón: la ecuación es no lineal. Supongamos que experimentamos con el modelo y probamos los siguientes casos:
CASO 1: Parámetro A = 0.9 y condición inicial PSN₀ = 0.9
Si vamos calculando valores de PSN sucesivos, veremos que con estos valores, PSN tiende a cero… ¡Este mundo acabaría sin nieve!
CASO 2: Parámetro A = 2.8 y condición inicial PSN₀ = 0.6
Si vamos calculando valores de PSN sucesivos, veremos que a los pocos años la solución se estabiliza en PSN = 0.6429. Y ahí nos quedamos. Predecimos un mundo cubierto en un 64.29% de su superficie con nieve y en estado de equilibrio permanente a partir de ahí. ¡Un aburrimiento!
CASO 3: Parámetro A = 3.2 y condición inicial PSN₀ = 0.1
Si vamos calculando valores de PSN sucesivos, veremos que a los pocos años tenemos un mundo alternante entre dos estados de equilibrio: un año tenemos PSN = 0.7994 y otro PSN = 0.5130. Este resultado es muy destacable: resulta que modificando ligeramente el parámetro (en el caso 2 el parámetro es A = 2.8 y en el caso 3 tenemos A = 3.2, un cambio de solo el 13% en el parámetro A) ¡nos cambia la naturaleza de la solución! Pasamos de un mundo con un único estado de equilibrio a un mundo con dos estados de equilibrio. En matemáticas, a las soluciones de equilibrio de una ecuación caótica como la que nos ocupa se las denomina ‘atractores’, para indicar que las soluciones de la ecuación son ‘atraídas’ hacia puntos concretos. Prueba con el valor A = 3.5; te encontrarás con un mundo con cuatro estados de equilibrio distintos.
CASO 4: Parámetro A = 3.9 y condición inicial PSN₀ = 0.1.
Si el caso 3 resulta curioso, no lo es menos este. Si lo pruebas, encontrarás que no hay soluciones de equilibrio; la evolución del sistema es aparentemente impredecible, aunque provenga de una ecuación perfectamente determinada. Nota que si únicamente pudiéramos ver la serie de valores de PSN y no supiéramos cómo se ha calculado, pensaríamos que es un proceso aleatorio, cuando en realidad no lo es. Por eso a este tipo de sistemas se los denomina ‘caóticos’: aunque sean deterministas en el fondo, en la práctica se comportan como aleatorios.
Imagina que te planteases usar la ecuación que hemos visto en el mundo real. Para estimar el parámetro A –que en principio sería desconocido– tu única opción sería medir experimentalmente los valores de la proporción de superficie nevada dos años consecutivos (año t y año t+1) y despejar A. Así, si despejamos A de la ecuación del modelo PSNt+1 = A ∙ PSNt ∙ (1 – PSNt) resulta:
[ECUACIÓN: A = PSNt+1 / (PSNt ∙ (1 – PSNt))]
Supón que para el año t (digamos 2014) estimas que PSNt = 0.800 y que al año siguiente t+1 (sería 2015) vuelves a medir PSN y obtienes un valor de PSNt+1 = 0.624. Calculas A y te sale A = 3.9. ¡Ya tenemos el problema! Tu modelo te sale de esos que aparentemente no predicen nada. Y lo que es peor, tus medidas de PSNt y PSNt+1 son experimentales y, evidentemente, estarán afectadas de error. Si en lugar de 0.800, hubieras estimado un valor de 0.790 (un error de solo un 1%), A te hubiera resultado 3.76, que ofrece unas soluciones completamente diferentes… ¿Quiere decir esto que un modelo basado en ecuaciones no lineales no sirve para nada? ¡Nada de eso! Si hemos sido capaces de convertir en ecuaciones las leyes de la naturaleza, habremos aprendido mucho en el proceso. Además, no todos los valores de los parámetros resultan en caos. Sin embargo, nos indica que hemos de ser muy cuidadosos al trabajar con modelos basados en ecuaciones no lineales, ya que tienen el germen del caos en su interior.
Ejemplo 2: La importancia de las condiciones iniciales
Queramos o no, la mayoría de las ecuaciones de los modelos de sistemas físicos son ‘ecuaciones diferenciales’. Bajo este nombre tan intimidatorio, lo único que se esconde es el hecho de que a un físico le suele interesar saber cómo varía en el tiempo o en el espacio una cantidad (es decir, le interesa conocer la ‘diferencia’ entre los valores de una cantidad en dos momentos; de ahí viene el nombre). Matemáticamente, la variación de una cantidad se expresa anteponiendo una ‘d’ a la cantidad. Por ejemplo, si escribimos dT, siendo T la temperatura, queremos indicar el ‘cambio en la temperatura’. Por ejemplo, si entre el tiempo t = 1 segundo y el tiempo t = 1.5 segundos la temperatura T ha cambiado 2 ºC, diremos que en un intervalo de tiempo de 0.5 segundos (es decir, en el intervalo dt = 0.5 s) la variación de temperatura ha sido de dT = 2 ºC.
Normalmente interesa la velocidad de cambio de una cantidad; en nuestro ejemplo, si queremos la velocidad de cambio de la temperatura, solo tendremos que hacer la división dT/dt, que resulta en 2 ºC / 0.5 s = 4 ºC/s. Matemáticamente, el significado de una variación de una cantidad cuando hacemos tender el tiempo dt a cero se determina con las derivadas. Las variaciones de una cantidad son tan importantes para la física que los matemáticos han desarrollado toda la teoría del cálculo para que podamos estimar con precisión las velocidades de cambio de las cosas simplemente usando una tabla de derivadas.
Supongamos que queremos hacer un modelo de la evolución de la temperatura T del planeta Tierra. Sabemos que los océanos de la Tierra tienen CO₂ disuelto y que al aumentar la temperatura del océano, el CO₂ se hace menos soluble y va abandonando el agua para pasar a la atmósfera. El CO₂ en la atmósfera incrementa el efecto invernadero y, en consecuencia, la temperatura sube más y se expulsa más CO₂… y así podría seguir el ciclo. Observando esto, podemos proponer el siguiente modelo: ¿y si la velocidad de cambio de la temperatura es función de esa misma temperatura? Es decir, cuanta más temperatura haya, más se notará este efecto y más rápidamente irá aumentando la temperatura. ¿No parece descabellado?
Le preguntamos a nuestro amigo matemático y nos propone la siguiente ecuación del modelo:
[ECUACIÓN: dT/dt = T]
Que no es más que expresar que la velocidad de cambio de la temperatura es directamente proporcional a la temperatura o, en otras palabras, cuanto más temperatura haya, más rápido irá cambiando. Eso es una ‘ecuación diferencial’ y, para solucionarla, solo tenemos que averiguar qué función de la temperatura T tiene su derivada igual a ella misma. La única función de t cuya derivada es igual a ella misma es una exponencial, en concreto la función:
[ECUACIÓN: T = Cet]
Es la solución general de esa ecuación, siendo ‘C’ cualquier constante. Efectivamente, si hacemos la derivada de esa función respecto a T, obtenemos que dT/dt = Cet, que es lo mismo que T. Así que la cosa funciona.
Solo nos queda conocer el valor de C; para determinarlo, al igual que en el ejemplo anterior, debemos hacer una medida experimental. Supongamos que para un tiempo inicial t = 0, medimos la temperatura T₀; si sustituimos en la ecuación, nos sale que C = T₀ y la solución a nuestro modelo será:
[ECUACIÓN: T = T₀et]
Y diremos que T₀ es la ‘condición inicial’.
Armados con nuestro modelo, nos lanzamos a predecir la temperatura del futuro y, para nuestra desesperación, veremos que con este modelo, T aumenta de manera continua hasta el infinito… Y eso no cuadra con nuestras observaciones. Así que nuestro modelo es erróneo y tenemos que proponer otro. Tras darle muchas vueltas, se nos ocurre que a lo mejor si metemos en las ecuaciones algo que varíe cíclicamente (por ejemplo, usando una función seno) podríamos simular la influencia de las estaciones del año. Así que proponemos la siguiente ecuación:
[ECUACIÓN: dT/dt = T + sen(t)]
El “efecto mariposa”
Esta dependencia crítica de las soluciones de algunas ecuaciones de las condiciones iniciales a veces se denomina ‘efecto mariposa’, en el sentido de que, en teoría, una mariposa que bata sus alas en un extremo del mundo podría cambiar el estado de la atmósfera lo suficiente (por ejemplo, aumentando la temperatura media una diezmillonésima de grado) como para que años después se generase un gran efecto en otra parte del mundo (un huracán, una ola de calor, etc.).
¿Te puedes preguntar si este efecto es un artefacto de las matemáticas o es real? Pues lo cierto es que nadie lo sabe con certeza; lo que es seguro es que las ecuaciones con las que se puede describir matemáticamente el clima contienen el efecto y que, aplicándoles simplificaciones, suele poder ‘controlarse’, al menos para periodos de unas decenas de años. Sin embargo, es muy probable que el clima real sea caótico por naturaleza –tal y como sugieren las ecuaciones de la física que se deben usar para modelarlo– y que, con pequeños cambios, podamos estar generando efectos muy fuertes aun lejanos en el tiempo.
Modelos climáticos
Clasificaremos los modelos del clima en función del número de dimensiones que son capaces de reproducir. Solo vamos a desarrollar los de dimensión cero y uno, ya que son formalmente sencillos pero permiten comprender los conceptos esenciales que se utilizan en modelos de dimensiones superiores.
1. Modelos climáticos de dimensión cero
Consideran al sistema climático como un punto, en el sentido de que solo necesitaremos un valor para caracterizar a cada variable climática. Si repasas los apuntes de ‘Meteorología y Climatología’ de 2º, recordarás que si queremos modelar la temperatura de un planeta de radio R, que recibe una cantidad S de radiación del Sol (constante solar) y que tiene un albedo A, podemos asegurar que:
[ECUACIÓN: Energía recibida = Energía emitida]
2. Modelos climáticos de dimensión uno
En estos modelos, la radiación que recibe la Tierra del Sol depende de la latitud (por lo que ya no habrá una única S, sino una Sᵢ distinta para cada latitud ‘i’, es decir, Sᵢ). El color del suelo también varía con la latitud, por lo que habrá que considerar un albedo distinto Aᵢ para cada latitud i. Por último, ahora nos vemos obligados a simular las posibles transferencias de energía entre latitudes. Esto lo podemos hacer suponiendo que de nuestra región ‘i’ hacia las adyacentes, se transmite una energía que llamaremos Fᵢ.
En 1969, un científico soviético llamado Mikhail Budyko estimó aproximaciones sencillas para cada uno de los términos necesarios para un modelo que considerase estas cuestiones. Nosotros seguiremos su ejemplo y tomaremos como las ecuaciones de cada proceso del modelo:
Radiación que entra en la región “i”:
[ECUACIÓN: Sᵢ(1 – Aᵢ)]