Modelos de Ecuaciones Simultáneas: Estimación e Identificación

Modelos de Ecuaciones Simultáneas

Introducción

En contraste con los modelos uniecuacionales, los modelos de ecuaciones simultáneas contienen más de una variable dependiente o endógena, lo cual requiere un número de ecuaciones igual al número de variables endógenas.

Una característica única de los modelos de ecuaciones simultáneas es que la variable endógena (es decir, la variable regresada) en una ecuación puede aparecer como variable explicativa (es decir, como regresora) en otra ecuación del sistema.

Como consecuencia, tal variable explicativa endógena se convierte en estocástica y suele estar correlacionada con el término de perturbación de la ecuación en la cual aparece como variable explicativa.

En esta situación, no es aplicable el método clásico de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) porque los estimadores así obtenidos no son consistentes, es decir, no convergen hacia sus verdaderos valores poblacionales sin importar qué tan grande sea la muestra.

El ejemplo de Monte Carlo presentado en el texto muestra la naturaleza del sesgo contenido en la aplicación de MCO para estimar los parámetros de una ecuación de regresión, en la cual la regresora está correlacionada con el término de perturbación, que es el caso habitual en los modelos de ecuaciones simultáneas.

El Problema de la Identificación

El problema de la identificación es anterior al problema de la estimación.

Por problema de la identificación se entiende la posibilidad de obtener estimaciones numéricas únicas de los coeficientes estructurales a partir de los coeficientes en forma reducida.

Si esto puede hacerse, una ecuación que forma parte de un sistema de ecuaciones simultáneas está identificada. Si esto no puede hacerse, la ecuación estará no identificada o subidentificada.

Una ecuación identificada puede estarlo en forma exacta o estar sobreidentificada. En el primer caso, pueden obtenerse valores únicos de los coeficientes estructurales; en el segundo, puede haber más de un valor para uno o más de los parámetros estructurales.

El problema de la identificación surge porque el mismo conjunto de información puede ser compatible con diferentes conjuntos de coeficientes estructurales, es decir, diferentes modelos. Así, en la regresión del precio sobre la cantidad solamente, es difícil decir si se está estimando la función de oferta o la de demanda, porque el precio y la cantidad forman parte de ambas ecuaciones.

Para establecer si una ecuación estructural está identificada, se puede aplicar la técnica de las ecuaciones en forma reducida, que expresan una variable endógena únicamente como función de variables predeterminadas.

Sin embargo, este laborioso procedimiento se puede evitar recurriendo a la condición de orden o a la condición de rango para la identificación. Aunque la condición de orden es fácil de aplicar, esta proporciona solamente una condición necesaria para la identificación. Por otra parte, la condición de rango es una condición necesaria y suficiente para la identificación. Si la condición de rango se satisface, la de orden se satisface también, aunque lo contrario no es cierto. Pero, en la práctica, la condición de orden es generalmente adecuada para asegurar la identificabilidad.

En presencia de simultaneidad, por lo general, MCO no son aplicables. No obstante, si se desea utilizarlos, es imperativo realizar explícitamente la prueba de simultaneidad. La prueba de especificación de Hausman puede emplearse para este propósito.

Estimación en Modelos de Ecuaciones Simultáneas

COVARIANZA

En un mes, las variables explicativas son estocásticas (no son fijas en muestreo repetido), en el mes las variables están relacionadas directamente con el error. En los Modelos de Ecuaciones Simultáneas (MES), las variables endógenas de una ecuación pueden participar como variable explicativa en otra ecuación del sistema. En este sentido, los estimadores obtenidos por MCO serán:

  • Inconsistentes: el límite de probabilidad del estimador no tiende hacia el verdadero valor poblacional (parámetro) a medida que aumenta el tamaño de la muestra (n).
  • Sesgados: el valor esperado del estimador no coincide con el parámetro poblacional indistintamente del tamaño de la muestra.

Parámetros o Coeficientes

  • Estructurales: miden relaciones económicas o de comportamiento en el modelo estructural.
  • De forma reducida (de impacto o corto plazo): son los coeficientes correspondientes a las ecuaciones en forma reducida y miden el impacto inmediato de un cambio unitario del valor de la variable exógena sobre la variable endógena.

Problema de Identificación

Objetivo: determinar si las estimaciones numéricas de los parámetros de una ecuación estructural pueden obtenerse a partir de los coeficientes estimados de la forma reducida.

Posibles condiciones de la ecuación:

  • Identificada (exactamente o sobreidentificada).
  • No identificada (subidentificada).

Identificación exacta: Pueden obtenerse valores únicos de los parámetros estructurales a partir de los coeficientes estimados de la forma reducida.

Sobreidentificación: Pueden obtenerse más de un valor para alguno de los parámetros estructurales.

Subidentificación: No se pueden estimar los parámetros estructurales a partir de los coeficientes estimados de la forma reducida.

Condición de Rango (Procedimiento)

  1. Escriba el sistema en forma tabular.
  2. Elimine los coeficientes del renglón en el cual aparece la ecuación bajo consideración.
  3. Elimine las columnas que corresponden a aquellos coeficientes del punto anterior que son diferentes de cero.
  4. Con los datos que quedan en la tabla, forme todas las matrices posibles de orden M-1 y obténgase los determinantes correspondientes.

Si es posible encontrar al menos un determinante distinto de cero, la ecuación en cuestión estará identificada.

Estimación de una Ecuación Exactamente Identificada (Método de Información Completa – MCI)

Pasos:

  1. Obtener las ecuaciones en forma reducida.
  2. Aplicar MCO individualmente a las ecuaciones en forma reducida.
  3. Estimar los coeficientes estructurales a partir de los coeficientes obtenidos de las ecuaciones reducidas.

Características del Método de los Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (MC2E)

  • Puede aplicarse a una ecuación individual en el sistema.
  • Para sistemas con muchas ecuaciones, es un método económico.
  • Proporciona solamente una estimación por parámetro en ecuaciones sobreidentificadas, a diferencia del MCI.
  • También se puede aplicar cuando existe identificación exacta.
  • Si R2 en las regresiones de la forma reducida son altos, las estimaciones por MCO y MC2E serán muy cercanas. Si el R2 es bajo, las estimaciones por MC2E carecen de significado.

Métodos Uniecuacionales

Tres métodos uniecuacionales comúnmente utilizados son: MCO, MCI y MC2E.

Aunque el de MCO, en general, es inapropiado en el contexto de los modelos de ecuaciones simultáneas, puede ser aplicado a los modelos recursivos en donde hay una relación causa y efecto definida pero unidireccional entre las variables endógenas.

El método de MCI es apropiado para ecuaciones precisas o exactamente identificadas. Mediante este método, se aplica MCO a la ecuación en la forma reducida, y es a partir de los coeficientes de dicha forma que se estiman los coeficientes estructurales originales.

El método de MC2E está diseñado en especial para ecuaciones sobreidentificadas, aunque también puede aplicarse a ecuaciones exactamente identificadas. Pero entonces los resultados de MC2E y MCI son idénticos. La idea básica detrás de MC2E es reemplazar la variable explicativa endógena (estocástica) por una combinación lineal de variables predeterminadas en el modelo y utilizar esta combinación como variable explicativa en lugar de la variable endógena original. El método MC2E se parece entonces al método de estimación de variables instrumentales, en el cual la combinación lineal de las variables predeterminadas sirve como instrumento o variable representante para la regresora endógena.

Una característica importante sobre MCI y MC2E es que las estimaciones obtenidas son consistentes; es decir, a medida que el tamaño de la muestra aumenta indefinidamente, las estimaciones convergen hacia sus verdaderos valores poblacionales. Las estimaciones pueden no satisfacer las propiedades de muestra pequeña tales como el insesgamiento y la varianza mínima. Por consiguiente, los resultados obtenidos mediante la aplicación de estos métodos a muestras pequeñas, así como las inferencias obtenidas de ellos, deben ser interpretados con la debida precaución.

MCI – Paso a Paso

Paso 1: Se obtienen primero las ecuaciones en forma reducida. Como se mencionó en el capítulo 19, estas se obtienen de las ecuaciones estructurales en forma tal que la variable dependiente en cada ecuación es la única variable endógena y está en función únicamente de las variables predeterminadas (exógenas o endógenas rezagadas) y del (los) término(s) de error(es) estocástico(s).

Paso 2: Se aplica MCO individualmente a las ecuaciones en la forma reducida. Esta operación es permisible puesto que las variables explicativas en estas ecuaciones están predeterminadas y, por tanto, no están correlacionadas con las perturbaciones estocásticas. Las estimaciones así obtenidas son consistentes.

Paso 3: Se obtienen estimaciones de los coeficientes estructurales originales a partir de los coeficientes en forma reducida estimados, obtenidos en el paso 2. Como se mencionó en el capítulo 19, si una ecuación está exactamente identificada, hay una correspondencia uno a uno entre los coeficientes estructurales y los coeficientes en la forma reducida; es decir, pueden derivarse estimaciones únicas de los primeros a partir de los últimos.

Nota: Aunque, en la práctica, la decisión de si una variable es endógena o exógena es un asunto de juicio, es posible utilizar la prueba de especificación de Hausman para determinar si una variable o un grupo de variables son exógenas o endógenas. Aunque son de la misma familia, los conceptos de causalidad y de exogeneidad son diferentes y uno puede no necesariamente implicar el otro. En la práctica, es mejor mantener esos conceptos separados. A los modelos recursivos se les aplica MCO porque no muestra correlación.