Números Naturales: Conceptos, Sistemas y Operaciones Fundamentales

Números Naturales: Concepto y Fundamentos

El número es:

  • Una propiedad de los conjuntos.
  • Una abstracción, un concepto reflexivo.

Conceptos Primarios y Reflexivos

  • Conceptos primarios: Ligados a contextos, a percepciones. Son contextos concretos. Ejemplo: pipa.
  • Conceptos reflexivos: Trascienden del contexto. Requieren una tarea intelectual superior, más compleja.

Construcción Matemática del Número

Se define una relación de coordinabilidad en el conjunto de todos los conjuntos posibles.

A y B son conjuntos coordinables si existe una aplicación biyectiva (es decir, una correspondencia uno a uno entre sus elementos). Cada conjunto coordinable se agrupa en clases de equivalencia o «compartimentos». Dentro de cada compartimento, existe esta relación de coordinabilidad, pero no entre compartimentos diferentes.

Cada número natural n es la propiedad común que tienen todos los conjuntos de cada clase formada por la relación de coordinabilidad.

Empleo del Número Natural

  1. Para contar: aspecto cardinal.
  2. Para ordenar: aspecto ordinal.
  3. Para identificar: aspecto nominal.

Técnicas de Conteo

Se basan en la existencia de una sucesión ordenada de palabras (uno, dos, tres,…) que se recitan siempre en el mismo orden.

Sirven para comunicar información sobre:

  • El tamaño de los conjuntos (cardinal).
  • El lugar que ocupa un elemento dentro del conjunto (ordinal).
  • La identificación de un elemento de un conjunto.

Principios Fundamentales del Proceso de Conteo

1. Principio de Abstracción

Cualquier conjunto de objetos es un conjunto contable. Deberíamos trabajar en el aula con objetos que se puedan contar para diferenciarlos de aquellos que no se puedan contar. Se debe aprender a identificar aquellos que se pueden contar.

2. Principio del Orden Estable

Los niños deben aprender a enumerar, es decir, deben saber el orden de los números, por supuesto en su orden estable.

3. Principio de Irrelevancia en el Orden

El orden en el que cuento los objetos no influye en el cardinal final.

4. Principio de Biunivocidad

Cuando estamos contando, cada palabra debe corresponderse con un único objeto del conjunto y viceversa. Debe establecerse una asociación de uno a uno.

5. Principio de Cardinalidad

El nombre del número pronunciado en último lugar es el cardinal del conjunto que estamos contando.

La subitización (o subindicación) se refiere a la capacidad de reconocer de manera súbita el número de elementos que hay en un conjunto pequeño.

La primera toma de contacto de los niños con los números es de tipo ordinal y verbal.

Etapas del Conteo Verbal

  1. Repetición memorística de sonidos sin sentido: (Sentido ordinal del número). Habitualmente se da en el entorno familiar, sonidos sin sentido que para ellos no significan nada, pero saben los números.
  2. Contar objetos.
  3. Cantidad de objetos en un conjunto: (Sentido cardinal del número).

Sistemas de Numeración

Surgen para representar los números de forma efectiva, es decir, para escribirlos.

Consisten en un conjunto de reglas y convenios que permiten expresar verbal y gráficamente todos los números mediante palabras y símbolos.

Sistemas Primitivos

  1. Se representan las cantidades mediante marcas verticales.
  2. Se agrupan para números grandes.
  3. Se pueden perfeccionar utilizando ciertas equivalencias.

Sistemas Aditivos

  • Se crean símbolos para ciertas cantidades.
  • Se suman los valores de todos los símbolos empleados para una cantidad total.

Son poco prácticos para representar números grandes. Se busca ir perfeccionando el método, buscando la simplificación.

Sistema de Numeración Romano

Es un ejemplo de sistema aditivo, pero no es puro. Por ejemplo: 4 → IV. En algunas partes es aditivo porque suma, pero hay ciertos elementos que son de posicionalidad (según donde se coloquen, dan lugar a un resultado u otro), de manera que no es un sistema puramente aditivo.

Sistema de Numeración Chino

Se trata de un ejemplo de sistema multiplicativo, una combinación y perfeccionamiento del sistema aditivo. Se establecen una serie de equivalencias para los distintos símbolos; ese vocabulario básico actúa como un multiplicador. Se considera que cada uno de esos símbolos, equivalentes a una cantidad, puede intervenir el número de veces que sea. Un sistema multiplicativo puro mejora al aditivo.

Sistemas Posicionales

Se crean símbolos para los primeros números (hasta un número «base»). Nuestro sistema de numeración tiene base 10, utilizando como vocabulario básico el conjunto de símbolos del 0 al 9. Siempre 10 unidades de un orden equivalen a una unidad superior.

El valor de cada símbolo depende de la posición en la que está colocado en la representación del número. Son muy eficientes, incluso para números grandes.

Reglas de los Sistemas Posicionales:

  • Símbolos desde 1 hasta la base.
  • A partir de la base: se utilizan los mismos símbolos, pero en posiciones diferentes.

Importante: El número cero es necesario para el buen funcionamiento de cualquier sistema posicional, por lo que se crea un símbolo para él.

Ejemplo: Base 6

En una fábrica de cervezas, los botellines se disponen en packs de 6; cada 6 packs forman un paquete; cada 6 paquetes hacen un bloque; cada 6 bloques hacen un fardo, y cada 6 fardos hacen un palier. Para simplificar los trámites de los pedidos, se proporciona a los clientes el siguiente formulario:

Ejemplo: Si hay 3847 botellines, se va dividiendo todo entre 6 para expresarlo en base 6.

Para simbolizar bases distintas de la decimal, se coloca el número normal y a su lado, entre paréntesis, la base a utilizar. Ej.: 43502(6). Cada unidad se multiplicaría hasta sacar el número total de botellines.

Ejemplos en Otras Bases

  • Base 60: Primer sistema de numeración posicional (sistema babilónico, sin símbolo para el cero).
  • Base 2 (sistema binario).
  • Base 4.
  • Base 12: Necesita símbolos adicionales para el 10 y el 11.

Bases No Decimales

Base 5: 0, 1, 2, 3, 4. El número 5 en base 10 corresponde al 10 en base 5.

Secuencia de conteo en Base 5: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, …, 44, 100…

Base 2 (Sistema Binario): 0, 1.

Secuencia de conteo en Base 2: 1, 10, 11, 100, 101, 110…

Los microprocesadores son circuitos formados por 0 y 1, donde el 1 permite el paso de corriente y el 0 no.

Sistema Indoarábigo

  • Origen: India (desde siglo III a.C.).
  • Inicios: Sin símbolo para el cero.
  • Símbolo 0: Introducido por matemáticos hindúes (principios del siglo VI d.C.).
  • Difusión: Conquista árabe del norte de India (siglo XI) llevó a su difusión en Europa occidental.
  • Implantación definitiva en Europa: Finales del siglo XVIII.

Sistema Posicional de Base 10

Utiliza diez símbolos (dígitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Diez unidades de un orden forman una unidad de orden superior:

  • Diez unidades = una decena.
  • Diez decenas = una centena.
  • Diez centenas = una unidad de mil (millar).
  • Diez millares = una decena de mil.
  • …

El orden se indica con la posición del símbolo.

Operaciones con Números Naturales

Aprendizaje de las Matemáticas según la Teoría de Bruner

  1. Enactiva o manipulativa: Basada en la manipulación. Hay que proporcionar a los alumnos contextos con material didáctico estructurado, de manera que se cree un entorno donde el niño pueda manipular. Ejemplo: «Tienes 5 caramelos, le tienes que dar 2 a tu compañero, ¿cuántos te quedan?» (Utilizando caramelos de verdad).
  2. Icónica: Representación a través de imágenes o dibujos.
  3. Simbólica: Es la más elaborada. No se utiliza ni material real ni material representado, solo símbolos matemáticos (cifras, números, etc.). Ejemplo 1: «Tienes 5 caramelos y le das 2 a tu compañero, ¿cuántos te quedan?» (Mediante la resta, sin manipular caramelos ni dibujos). Ejemplo 2: «Tenemos caballos y gallinas. En total hay 20 patas y 7 cabezas. ¿Cuántos caballos y cuántas gallinas hay?» (Se dibujan 7 puntos a modo de cabezas y se van añadiendo patas hasta alcanzar las 20, dando como resultado: 3 caballos y 4 gallinas).

Suma o Adición

  • Sumar es añadir, unir, juntar, agregar, etc.
  • Matemáticamente, la suma de números se corresponde con la unión de conjuntos disjuntos. Ejemplo: A + B = n(A ∪ B).
  • Adición: Nombre de la operación. Suma: Resultado de la operación.
  • Sumandos: Partes de la suma.

Propiedades Básicas de la Suma

  • Asociativa: Si se tienen que sumar tres o más sumandos, es indiferente el orden en el que se agrupan. Ej.: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5).
  • Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. Ej.: 3 + 2 = 2 + 3.
  • Elemento neutro: Cualquier número sumado a 0 da el mismo número. Ej.: 4 + 0 = 4.
  • Simplificación: Si a + c = b + c, entonces a = b (propiedad menos importante para primaria, se trabaja más en secundaria).

Resta o Sustracción

  • Restar es quitar, sustraer, extraer, etc.
  • Operación ligada al orden de los números naturales. Siempre se tiene en cuenta que al número mayor se le quita el menor, por lo que necesariamente debe haber un orden.
  • Sustracción: Nombre de la operación. Resta / Diferencia: Resultado de la operación.
  • Minuendo y Sustraendo: Partes de la resta.

Definiciones de la Resta

  1. Conjuntista: Es la que se asocia a «quitar». También es manipulativa. Ej.: B – A = n(B \ A).
  2. Por comparación de cardinales: Se trata de averiguar, dados los dos términos de la resta, cuántos elementos de más tendría que tener el sustraendo para tener tantos como el minuendo, o cuántos elementos de menos tiene que tener el minuendo para tener los mismos que el sustraendo.
  3. Aritmética: Se llama diferencia de dos números al número que, sumado con el sustraendo, sea igual al minuendo. Ejemplo: b – a = x, donde x + a = b. Para 7 – 2 = x, entonces x + 2 = 7.

Propiedades Básicas de la Resta

  • No asociativa: No se puede cambiar el orden de los términos.
  • No conmutativa: El orden de los términos sí altera el resultado. Ej.: 8 – 2 ≠ 2 – 8.
  • Elemento neutro: Si se resta 0, el número no cambia. Ej.: 5 – 0 = 5.
  • Adición o sustracción de una cantidad: Si a los dos términos de la resta se les suma o se les resta una misma cantidad, el resultado de la resta no cambia. Es una propiedad importante. Ejemplo: 23 – 15 = (23 + 8) – (15 + 8) = 31 – 23 = 8. O (23 – 5) – (15 – 5) = 18 – 10 = 8.

Suma y Resta: Campo Conceptual

El campo conceptual es un conjunto de situaciones cuyo tratamiento implica conceptos, procedimientos y representaciones simbólicas comunes. Las situaciones aditivas y sustractivas se dan conjuntamente.

Cualquier suma lleva asociadas dos restas:

  • Si s1 + s2 = S, entonces s1 = S – s2 y s2 = S – s1.
  • Si M – S = D, entonces M = D + S y S = M – D.

Multiplicación o Producto

  • Suma repetida. Ej.: 4 + 4 + 4 = 3 × 4.
  • Multiplicación: Nombre de la operación. Producto: Resultado de la operación.
  • Factores: Partes de la multiplicación.

Propiedades de la Multiplicación

  1. Asociativa: El orden en que se agrupan los factores no altera el producto. Ej.: (3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5).
  2. Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Ej.: 3 × 2 = 2 × 3.
  3. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro; cualquier número multiplicado por 1 da el mismo número. Ej.: 4 × 1 = 4.
  4. Distributiva del producto respecto a la suma: Ej.: 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).
  5. Distributiva del producto respecto a la resta: Ej.: 2 × (8 – 3) = (2 × 8) – (2 × 3).
  6. No distributiva de la suma (ni de la resta) respecto al producto: La suma (o resta) no es distributiva respecto al producto. Ej.: 3 + (4 × 5) ≠ (3 + 4) × (3 + 5).
  7. Simplificación: Si a × c = b × c, entonces a = b (siendo c ≠ 0).

División

  • Dividir es repartir, distribuir, separar, etc., siempre en partes iguales. Para explicar la división, podemos utilizar el ejemplo de 20 caramelos entre 5 niños. Se dibujan 20 puntitos y se van repartiendo. Se puede repartir en grupos de 5 caramelos (resultando 4 grupos) o en 4 grupos de caramelos (resultando 5 caramelos por grupo).
  • Dos concepciones distintas (partición y cuotificación).
  • Definición conjuntista: El dividendo se representa mediante D y el divisor mediante d. Se forman tantos grupos de «d» como sea posible; los elementos que sobran constituyen el resto, que debe ser menor que el divisor. El número de grupos formados se llama cociente. Ej.: 23 ÷ 4 (se pueden dibujar 23 elementos y agruparlos de 4 en 4).
  • Relación fundamental de la división: D = d × C + R (donde R < d). También conocida como «prueba de la división».
  • División exacta o entera: Cuando el resto es 0, se llama división exacta. Cuando el resto es distinto de 0, recibe el nombre de división entera.

Propiedades de la División

  • División por cero: Es imposible y no tiene sentido, ya que no se puede dividir en grupos de 0 elementos.
  • No conmutativa: No se puede cambiar el orden del dividendo ni del divisor. Ej.: 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8.
  • No asociativa: El orden de las operaciones sí altera el resultado. Ej.: (24 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 24 ÷ (4 ÷ 2).
  • Multiplicación o división por una cantidad («tachar ceros»): Si al dividendo y al divisor se los multiplica o divide por el mismo número (distinto de cero), el cociente no cambia, pero el resto de la operación sí. Ejemplo: 8 ÷ 3 = 2 (resto 2). Si multiplicamos por 10: 80 ÷ 30 = 2 (resto 20). El cociente es el mismo, el resto no.

Multiplicación y División Exacta: Campo Conceptual

En el caso de una división exacta (resto 0):

  • D = d × C
  • D ÷ d = C → D ÷ C = d

Algoritmos de las Operaciones

  • Etimología: Del nombre de Al-Juarismi (matemático persa, siglo IX d.C.).
  • Definición: Es una serie finita de reglas a aplicar en un determinado orden a un número finito de datos para llegar con certeza, en un número finito de etapas, a un cierto resultado, todo ello independientemente de los datos.
  • Los algoritmos de las operaciones con números son el resultado de un largo proceso histórico, en continua evolución: ábaco → algoritmos → calculadora → ¿futuras herramientas?
  • La explicación detallada de cómo explicar la suma y la resta se encuentra en las hojas de ejercicios.

Algoritmo Tradicional de la Suma

Regla básica: Sumar unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc.

Colocación: Los números se colocan en vertical, alineando las unidades, decenas, etc.

Etapas de Aprendizaje:

  1. Por separado (conteo individual).
  2. En vertical (sin «llevadas»).
  3. Perfeccionamiento (con «llevadas»).
  4. Estandarización.

Algoritmo Tradicional de la Resta

Regla básica: Restar unidades de unidades, decenas de decenas, etc.

Colocación: Los números se colocan en vertical, alineando las unidades, decenas, etc.

Etapas de Aprendizaje:

  1. Por separado (conteo individual).
  2. Estándar.

Dificultad: Las «llevadas» (o «préstamos»). Se pueden abordar con dos métodos:

  • «Pedir prestado» (proceso más natural).
  • «Pedir y pagar» (más artificial).

Algoritmo Tradicional de la Multiplicación

Reglas básicas:

  • Descomposición en unidades, decenas, etc.
  • Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.
  • Con más de dos dígitos: propiedad asociativa.

Etapas de Aprendizaje:

  1. Por separado.
  2. Por separado y en vertical.
  3. En vertical.
  4. Estándar.

Otro algoritmo: El enrejado.

Algoritmo Tradicional de la División

Características muy diferentes al resto de operaciones:

  • Colocación específica de los números.
  • Se ejecuta de izquierda a derecha.
  • Se buscan dos resultados (cociente y resto) en lugar de uno.
  • Necesita de los otros algoritmos (resta y multiplicación).
  • Es un algoritmo semiautomático que implica:
    • Descomponer.
    • Estimar.
    • Comprobar.
    • Rehacer (si es necesario).

Trabajo Manipulativo en Operaciones

Materiales didácticos para trabajar las operaciones desde un enfoque manipulativo:

  • Ábaco.
  • Regletas.
  • Bloques multibase.
  • Otros recursos concretos.