Números Reales y Números Complejos

Tema 5: Números Reales

El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de los números reales y se representa por |R. Por su propia definición o construcción se tiene que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Una de las cosas más llamativas de los sistemas de números es que a partir de un pequeño grupo de propiedades, pueden deducirse todas las demás.

  • Propiedades de la suma:

    1. Asociativa de la suma: a + (b + c) = (a + b) + c
    2. Existencia del cero: 0 + a = a
    3. Existencia de opuestos: Para cada a ∈ R existe otro a0 ∈ R tal que a0 + a = 0
    4. Conmutativa de la suma: a + b = b + a

  • Propiedades del producto:

    1. Asociativa del producto: a(bc) = (ab)c
    2. Existencia de la unidad: 1a = a
    3. Conmutativa del producto: ab = ba
    4. Distributiva: a(b + c) = ab + ac
    5. Existencia de inversos: Para cada número real, distinto de cero, a ∈ R existe otro a0 ∈ R tal que a0a = 1

  • Propiedades para el orden:

    Existe un subconjunto no vacío P ⊂ R, llamados números reales positivos y denotados P = R +, tal que:

    1. Cerrado para sumas y productos: a, b ∈ P ⇒ a + b ∈ P y ab ∈ P
    2. Ley de Tricotomía: Para cada a ∈ R se da una y sólo una de las condiciones siguientes: a ∈ P, o bien a = 0, o bien −a ∈ P
    3. Ley del supremo: Cada subconjunto no vacío A ⊆ R acotado superiormente tiene un supremo.
    4. Ley del ínfimo: Cada subconjunto no vacío, A ⊂ R, acotado inferiormente tiene un ínfimo.

  • Valor absoluto y desigualdad triangular:

    Llamamos valor absoluto de un número real a ∈ R al siguiente número positivo o 0: |a| = −a si a ≥ 0, caso contrario.

    Para todo a, b ∈ R se tiene |a + b| ≤ |a| + |b|.

  • Teorema 1: Propiedad arquimediana

    Para todo número real a ∈ R existe un natural n = 1 + … + 1 ∈ R tal que a ≠ n.

  • Teorema 2: R es un cuerpo ordenado

    Para a, b, c ∈ R se tiene:

    1. Si a < b entonces a + c < b + c.
    2. Si a < b y 0 < c entonces ac < bc.



Tema 6: Números Complejos

Consideremos en el conjunto R^2 (conjunto de parejas de números reales) las operaciones de adición y producto definidas por:

Suma: (a, b) + (a0, b0) = (a + a0, b + b0)

Producto: (a, b)(a0, b0) = (aa0 − bb0, ab0 + a0b)

A los elementos de R^2 se les llama unas veces pares ordenados de números reales, otras vectores o puntos y también números complejos.

En R^2 conviven varias estructuras cada una con su terminología propia. Por eso a los elementos de R^2 se les llama vectores si se está considerando la estructura de espacio vectorial, puntos si fijamos la atención en la estructura topológica o afín, pares ordenados cuando estamos pensando en R^2 como conjunto sin ninguna estructura particular y números complejos cuando se considera la estructura aritmética de cuerpo antes definida.

A un elemento de R^2 se le llama número complejo cuando se va a usar el producto.

(x + i)(x – i) = x^2 + 1 (teniendo en cuenta que i^2 = -1) que es lo que en realidad distingue a los números complejos de los vectores de R^2.

Forma Binómica

Representaremos los números complejos con un simbolismo más apropiado en el que va a intervenir el producto complejo. Para ello, observa que:

(a, 0) + (a’, 0) = (a + a’, 0)

(a, 0)(a’, 0) = (aa’ − 0 * 0, a * 0 + 0 * a’) = (aa’, 0)

Esto indica que los números complejos de la forma (a, 0), se comportan respecto a la suma y la multiplicación de números complejos, exactamente igual que lo hacen los números reales respecto a la suma y multiplicación propias.

Al número complejo (0, 1) lo representaremos por i y lo llamaremos unidad imaginaria.

Con ello razonamos la famosa igualdad encontrada antes i^2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.

Y podemos reescribir una pareja como una suma:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi.

De manera que toda pareja, (a, b), se puede escribir como una suma a + bi.

Se dice que a + bi es la expresión binómica del número complejo (a, b). Se dice que a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo a + bi. El producto ahora es muy fácil de recordar, pues por las propiedades distributiva, asociativa y la igualdad fundamental i^2 = −1, tenemos: (a + ib)(a’ + ib’) = aa’ + i^2bb’ + i(ab’ + ba’) = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’).

Es costumbre representar los números complejos con las letras z y w y reservar las letras x, y, a, b para representar números reales.

Se escribe Re(z) e Im(z) para representar las partes real e imaginaria de z.

Es usual interpretar el número complejo x + iy como el vector del plano (x, y) y, en ese sentido, se habla del plano complejo. El eje horizontal recibe el nombre de eje real, y el eje vertical recibe el nombre de eje imaginario.