Principios Clave del Análisis Dimensional y Semejanza Física en Mecánica de Fluidos
Introducción al Análisis Dimensional y la Semejanza Física
El Análisis Dimensional y la Semejanza Física es el tercer método para abordar el estudio de la Mecánica de Fluidos, después de las ecuaciones generales diferenciales e integrales que hemos visto. Permiten reducir el número y la complejidad de las variables que intervienen en el proceso físico y, por tanto, el número de ensayos que se deben realizar en experimentación, obteniendo expresiones más generales.
Conceptos Fundamentales
Magnitud Física
Es toda propiedad observable (ej., longitud) de un sistema susceptible de comparación cuantitativa con un patrón, es decir, con una unidad determinada de esa magnitud (ej., metro). La relación entre cantidad y unidad se denomina medida.
La medida, como cociente entre la magnitud y la unidad, es diferente según la unidad que se emplee. No es lo mismo medir la altura de alguien en metros (1,80 m) que en pies (6 ft). La altura es la misma, pero la medida es diferente en unidades distintas.
Para que las relaciones entre magnitudes de un sistema físico sean válidas, es necesario emplear un sistema coherente de unidades, que se obtiene a partir de un sistema mínimo de unidades elementales.
Dimensiones o Ecuación de Dimensiones
Es la expresión de la dimensión de una magnitud, o de sus unidades, en función de las dimensiones de las unidades elementales elevadas a los exponentes correspondientes. Por ejemplo: [energía] = [Julio] = ML2T-2
Si una magnitud está expresada en un sistema coherente de unidades (u1, u2… uj… up) y se modifica el sistema a otro tal que u’j = Cjuj, el valor (medida) Qi que expresa la magnitud se modifica a Q’i según la relación:
La ecuación de dimensiones de una magnitud se obtiene del factor por el que hay que multiplicar la medida de esa magnitud cuando se cambian las unidades del sistema.
Relaciones Invariantes y Dimensionalmente Homogéneas
En una ecuación cualquiera, hay que distinguir entre:
- Variables dimensionales: ej., velocidad, tiempo.
- Constantes dimensionales: cambian al cambiar el sistema de dimensiones. Ej.: constante de gravitación universal G, constante universal de los gases R, etc.
- Constantes puras: no cambian aunque cambie el sistema coherente en que se expresan.
Si una ecuación expresa una relación correcta entre variables en un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea. Es decir, todos los sumandos y ambos lados de la igualdad deben tener las mismas dimensiones.
La relación f(Q1, Q2, …, Qn) = 0 es invariante respecto a los cambios de las unidades fundamentales si su transformada φ(Q’1, Q’2, …, Q’n) = 0 resulta idéntica.
Ambos conceptos están relacionados, pues toda relación dimensionalmente homogénea es invariante ante el cambio de tamaño de las unidades fundamentales.
No todas las relaciones ciertas son dimensionalmente homogéneas. Por ejemplo:
La suma de ambas ecuaciones no es falsa, pero no es dimensionalmente homogénea y dejaría de ser válida (no es invariante) si cambiamos de sistema de unidades fundamentales.
Teorema Pi (Π) o de Vaschy-Buckingham
La existencia de un número limitado de dimensiones elementales y la homogeneidad dimensional de las relaciones físicas correctamente planteadas permiten establecer un teorema que reduce el número de variables y parámetros realmente presentes en la ecuación o relación buscada, aunque esta sea aún desconocida.
Un proceso físico, descrito por ecuaciones que satisfacen el principio de homogeneidad dimensional, relaciona un número n de variables y parámetros. Si planteamos la ecuación de dimensiones de cada uno de estos parámetros en función de las p unidades fundamentales, con los exponentes podemos formar una matriz de n filas y p columnas. Se pueden formar así unas nuevas variables o parámetros adimensionales:
Esto significa que la relación f(Q1, Q2, …, Qn) = 0 se puede transformar en:
Como las primeras k variables y parámetros son dimensionalmente independientes, se podrá encontrar un cambio de unidades que modifique una de ellas, pero no las otras. Tampoco variarán las variables y parámetros adimensionales Π.
En definitiva, la relación original dada, con n variables y parámetros en juego, se ha transformado en esta última en que solo hay n-k, y, además, adimensionales, lo que ofrece ventajas, como veremos más adelante, por su validez más universal e independencia de sistemas de unidades.