Simetria de traslacion
Tres son las características fundamentales de este nivel:
1) Los objetosse perciben en su totalidadcomo una unidad, sin diferenciar sus atributos y componentes. 2) Se describen por su apariencia física mediante descripciones meramente visualesy asemejándoles a elementos familiares del entorno (parece una rueda, es como una ventana, etc). No hay lenguaje geométrico básicopara llamar a las figuras por su nombre correcto. 3) No reconocende forma explícita componentesy propiedades de los objetos motivo de trabajo. NIVEL 1: ANÁLISIS. 1) Se perciben las componentes y propiedades(condiciones necesarias) de los objetos y figuras. Esto lo obtienen tanto desde la observación como de la experimentación. 2) De una manera informal pueden describir las figuraspor sus propiedades pero no de relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras. Como muchas definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades no pueden elaborar definiciones. 3) Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades. 4) Sin embargo no realizan clasificacionesde objetos y figuras a partir de sus propiedades. NIVEL 2: ORDENACIÓN O CLASIFICACIÓN. 1) Se describen las figuras de manera formal, es decir, se señalan las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante pues conlleva entender el significado de las definiciones, su papel dentro de la Geometría y los requisitos que siempre requieren. 2) Realizan clasificaciones lógicas de manera formalya que el nivel de su razonamiento matemático ya está iniciado. Esto significa que reconocen cómo unas propiedades derivan de otras , estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones. 3) Siguen las demostracionespero, en la mayoría de los casos, no las entiendenen cuanto a su estructura. Esto se debe a que su nivel de razonamiento lógico son capaces de seguir pasos individuales de un razonamiento pero no de asimilarlo en su globalidad. Esta carencia les impide captar la naturaleza axiomática de la Geometría. NIVEL 3: DEDUCCIÓN FORMAL. 1) En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas.2) Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las Matemáticas. 3) Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintaslo que permite entender que se puedan realizar distintas forma de demostraciones para obtener un mismo resultado.
Transformaciones geométricas. Una isometría o congruencia es un movimiento rígido porque conserva la forma y la distancia. Se define como una transformación de los puntos del plano A, B, C, etc, en A, B, C, etc, que conserva las distancias y, por tanto, los ángulos. Es una correspondencia uno a uno. Si P y Q son los puntos transformados de P y Q, entonces d(PQ)= d(PQ) Los puntos alineados al transformarse siguen estando alineados. Traslación: traslada todos los puntos un vector v. A es el punto trasladado de A. -Isometría directaporque conserva la orientación. -Invariante: recta paralela a la dirección de traslación. Reflexión o simetría axial: sitúa todos los puntos girados 180º respecto a su posición inicial pivotando sobre el eje de simetría. P se dice punto reflejado de P. invierte la figura, luego es simetría inversa. Invariante: el eje de simetría. Rotación o giro: gira toda la figura un determinado ángulo tomando como centro O. C es el punto girado de C. -Conserva la orientación. Isometría directa. -Invariante: punto de giro. Simetría central: sitúa todos los puntos girados 180º respecto al centro de giro y a la misma distancia de él. -Es simetría directa. Composición de isometrías. A un motivo o figura se le puede aplicar una isometría y al resultado obtenido se le puede aplicar otra. A esto se le llama composición de isometrías.
-Simetría en deslizamiento: se realiza una traslación de la figura en dirección paralela al eje respecto al cual después se refleja. No mantiene ningún punto. Composición de reflexiones. De ejes paralelos: Equivale a una traslación de vector perpendicular a los dos ejes de simetría y módulo el doble de la distancia entre los ejes. De ejes secantes (que se cortan): Equivale a una rotación de centro el punto de corte de los ejes y de amplitud el doble del ángulo que forman dichos ejes. Aplicamos estos movimientos en el plano a distintos motivos y rellenamos todo el plano (no quedan huecos) -Rosetones: giros. -Frisos: traslaciones. -Mosaicos o teselados: cubrimiento de una superficie con algún motivo inicial que se transforma sin existir huecos ni solapamientos.
Tipos de mosaicos
Fedorov, cristalógrafo ruso, demostró que sólo existen 17 tipos diferentes de mosaicos. Algunos ejemplos son: Mosaicos regulares: Si queremos recubrir el plano con un solo tipo de polígono regular, solamente podremos hacerlo con triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares, pues son los únicos cuyo ángulo interior es un divisor de 360º.
Mosaicos semirregulares
Combinación de polígonos regulares de distinto número de lados, arista con arista y de forma que presenten la misma distribución alrededor de todos sus vértices. Esto sólo puede hacerse de 8 maneras que se nombran indicando el número de lados de los polígonos y su distribución en cada vértice.
Mosaicos de orden uno
Cuando todos los polígonos que lo forman son iguales se dice que es de orden uno.