Sistema de amortización francés y sus fórmulas matemáticas
SISTEMA ACUMULATIVO, PROGRESIVO O FRANCES.
En este sistema de amortización las cuotas son constantes y vencidas, vale decir que el desembolso de dinero será igual en cada período hasta cancelar la obligación. Se trata de una renta cuotas constantes, temporario, cierto, a interés compuesto, amortización creciente, interés sobre saldo. La fórmula para calcular el valor actual ya la conocemos y es: 𝑉𝑛 = 𝑐 (1+𝑖)𝑛−1 /𝑖.(1+𝑖)𝑛 La cuota: 𝑐 = 𝑉𝑛 𝑖.(1+𝑖)𝑛/ (1+𝑖)𝑛−1 La cuota está formada por una parte de interés y otra que es la amortización real (t); Matemáticamente queda expresada: 𝑐 = 𝑉𝑛. 𝑖 + 𝑡1: Donde 𝑡1 es la amortización real del primer periodo llamado Fondo Amortizante. Podemos despejar el Fondo amortizante de la formula anterior: 𝑡1 = 𝑐 − 𝑉𝑛. 𝑖 Por lo tanto para que la deuda se reduzca la cuota (c) debe ser mayor que el interés del primer periodo (Vn.i), en tanto eso ocurra habrá amortización de deuda, de lo contrario solo estaremos pagando intereses, y si lo que se paga es igual a los intereses estamos ante una renta perpetua. El sistema francés es el más aplicado por quienes otorgan créditos debidos a su naturaleza de cuotas constantes, y teniendo en cuenta que en las primeras cuotas la disminución de la deuda es pequeña, ya que la mayor parte son intereses. Por lo tanto siendo las cuotas constantes la proporción correspondiente a la amortización real será creciente y la parte de interés será decreciente.
Amortización real de un periodo en función del fondo amortizante.
Amortizaciones sucesivas: -𝑡1 = 𝑐 − 𝑉𝑛. 𝑖. -𝑡2 = 𝑐 − (𝑉𝑛 − 𝑡1 ). 𝑖 = 𝑐 − 𝑉𝑛. 𝑖 + 𝑡1. 𝑖 = 𝑡1 + 𝑡1. 𝑖 = 𝑡1. (1 + 𝑖) -𝑡3 = 𝑐 − (𝑉𝑛 − 𝑡1 − 𝑡2 ). 𝑖 = 𝑐 − 𝑉𝑛. 𝑖 + 𝑡1. 𝑖 + 𝑡2. 𝑖 = 𝑡1 + 𝑡1. 𝑖 + 𝑡2. 𝑖 = 𝑡1 (1 + 𝑖) + 𝑡1. (1 + 𝑖)𝑖 = 𝑡1(1 + 𝑖)2 -𝑡4 = 𝑐 − (𝑉𝑛 − 𝑡1 − 𝑡2 − 𝑡3 ). 𝑖 = 𝑡3 + 𝑡3. 𝑖 = 𝑡3 (1 + 𝑖) = 𝑡1 (1 + 𝑖) 2 (1 + 𝑖) = 𝑡1(1 + 𝑖)3 Entonces generalizando: 𝑡𝑝 = 𝑡1(1 + 𝑖)𝑝−1.
Fondo amortizante en función de la cuota.
Sabemos que el fondo amortizante tiene como formula 𝑡1 = 𝑐 − 𝑉𝑛. 𝑖 Reemplazamos la fórmula de la deuda (Valor actual): 𝑡1 = 𝑐 − 𝑐 (1+𝑖) 𝑛−1 /𝑖.(1+𝑖)𝑛 . 𝑖 ⟹ 𝑡1 = 𝑐 − 𝑐 (1+𝑖) 𝑛−1 /(1+𝑖)𝑛 ⟹ 𝑡1 = 𝑐 [1 − (1+𝑖) 𝑛−1/ (1+𝑖)𝑛 ] ⟹ 𝑡1 = 𝑐 [ (1+𝑖) 𝑛−(1+𝑖) 𝑛+1 /(1+𝑖)𝑛 ] -𝑡1 = 𝑐 1 (1 + 𝑖)
Deuda en función del fondo amortizante
La suma de las ¨n¨ amortizaciones reales debe ser igual a la deuda originaria:𝑉𝑛 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + 𝑡4 + − − − − − − − + 𝑡𝑛 En función del fondo amortizante: 𝑉𝑛 = 𝑡1 + 𝑡1(1 + 𝑖) + 𝑡1(1 + 𝑖)2 + 𝑡1(1 + 𝑖)3 + − − − − − − − + 𝑡1(1 + 𝑖)𝑛−1 Factor común: 𝑉𝑛 = 𝑡1 [1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 + (1 + 𝑖)3 + − − − − − − − + (1 + 𝑖)𝑛−1].
Progresión geométrica: 𝑆 = 𝑎 𝑞 𝑛−1/ 𝑞−1 con a= Primer término=1 q= Razón geométrica= (1+i) n= plazo= n. Vn= t1 (1+i)n -1 / i.
Fondo amortizante en función de la deuda: t1= Vn i / (1+i)n-1. Deuda en función del fondo amortizante: t1= Vn (1+i)n-1/ i.
Total amortizado
Transcurrido ¨p¨ periodos, siendo 𝑝 1) Tp= t1 (1+i)p-1 / 1+i-1. ⟹ Tp= t1(1+i)p-1/i. 2) Sabiendo que: t1= Vn i / (1+i)n-1. ⟹ Tp= Vn i (1+i)p-1/ (1+i)n-1 i. ⟹ Total amortizado en función de la deuda: Tp= Vn (1+i)p-1 / (1+i)n-1.
Deuda pendiente
El saldo de la deuda, o deuda pendiente del pago de ¨p¨ términos, estará dado por la diferencia entre la deuda inicial y el total amortizado: 𝑉𝑛−𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝑇𝑝. Reemplazamos el total amortizado por su fórmula: 𝑉𝑛−𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝑉𝑛 (1 + 𝑖) 𝑝 − 1/ (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 Factor común: 𝑉𝑛−𝑝 = 𝑉𝑛 [1 − (1 + 𝑖) 𝑝 − 1/ (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 ] Común denominador: 𝑉𝑛−𝑝 = 𝑉𝑛 [ (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 − (1 + 𝑖) 𝑝 + 1/ (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 ] Simplificando: 𝑉𝑛−𝑝 = 𝑉𝑛 [ (1 + 𝑖) 𝑛 − (1 + 𝑖) 𝑝/ (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 ].
Periodo al cabo del cual se amortiza parte de la deuda inicial
Periodo medio de reembolso
Trataremos de llegar a una fórmula que nos permita resolver la cuestión de saber después de cuantos tiempos se habrá amortizado una determinada fracción de la deuda. Sea “q” la inversa de la fracción. Si deseamos saber cuándo se habrá amortizado la ½ de la deuda, “q” será igual a 2, si 1/3 de la deuda, “q” será igual a 3; si 2/3 de la deuda, “q” será igual a 3/2. La fracccion ( 𝑉𝑛/ 𝑞 ) de la deuda inicial se amortizará con las m nuestra incógnita. 1)Vn/q: 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + 𝑡4 + − − − − − − − + tm. 2) Vn/q: = 𝑡1 + 𝑡1(1 + 𝑖) + 𝑡1(1 + 𝑖)2 + 𝑡1(1 + 𝑖)3 + − − − − − − − + 𝑡1(1 + 𝑖)𝑚−1. 3) Vn/q: 𝑡1 [1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 + (1 + 𝑖)3 + − − − − − − − + (1 + 𝑖)𝑚−1]. 4) Vn/q: t1= (1+i)m-1/i.
- Sabiendo que: 𝑉𝑛 = 𝑡1 (1+𝑖) 𝑛−1/ 𝑖 Reemplazamos: 𝑡1 (1+𝑖)𝑛−1 𝑖 /𝑞 = 𝑡1 (1+𝑖)𝑚−1/ 𝑖 .Simplificamos por 𝑡1: (1+𝑖) 𝑛−1/ 𝑞.𝑖 = (1+𝑖)𝑚−1 /𝑖 .Simplificamos por “ i” : (1+𝑖) /𝑞 = (1 + 𝑖)𝑚 − 1. Pasamos sumando el “ 1”: (1+𝑖) /𝑞 + 1 = (1 + 𝑖)𝑚. Común denominador: (1+𝑖) 𝑛−1+𝑞/ 𝑞 = (1 + 𝑖)𝑚. Aplicando Logaritmo: 𝑚 = log[(1+𝑖) 𝑛+(𝑞−1)]−log 𝑞/ log(1+𝑖). Se llama periodo medio de reembolso al tiempo necesario para que la deuda se reduzca a la mitad, entonces de la fórmula anterior reemplazamos “q” por 2: 𝑚 = log[(1 + 𝑖) 𝑛 + 1] − log 2 /log(1 + 𝑖).
Tasa de amortización:
Se llama tasa de amortización al fondo amortizante suficiente para extinguir una deuda de un (1$) peso, pagadera en “n” cuotas a la tasa “i” de interés por periodo. Empezamos con la fórmula de deuda en función de fondo amortizante 𝑉𝑛 = 𝑡1 (1 + 𝑖) 𝑛 − 1/i. -Reemplazando la deuda por 1 y el fondo amortizante por Tau (𝜏) 1 = 𝜏 (1 + 𝑖) 𝑛 − 1/i. Pasaje de término: 𝑖 /𝜏 = (1 + 𝑖) 𝑛 − 1. 𝑖 /𝜏 +1= (1 + 𝑖). Aplicamos logaritmo: log(𝑖 /𝜏 +1)= 𝑛. log(1 + 𝑖). n = log ( 𝑖 𝜏 + 1)/ log(1 + 𝑖). Para encontrar la cuota, sabemos que la fórmula de la cuota es: 𝑐 = 𝑉𝑛. 𝑖 + 𝑡1 Habíamos deducido que: 𝑡1 = 𝑉𝑛 𝑖 /(1+𝑖)𝑛−1 También sabemos que 𝑡1 es “Tau”: 𝜏 = 𝑖 /(1+𝑖)𝑛−1 Entonces: 𝑡1 = 𝑉𝑛. 𝜏 Volviendo a la fórmula de la cuota: 𝑐 = 𝑉𝑛. 𝑖 + 𝑡1 ⟹ 𝑐 = 𝑉𝑛. 𝑖 + 𝑉𝑛. 𝜏 ⟹ 𝑐 = 𝑉𝑛(1 + 𝜏) 𝑉𝑛 = 𝑐 / 1+r.
Cálculo de la Cuota
: La cuota para el caso de que no oscile la tasa de interés se podría calcular con la siguiente fórmula: C = tp + An-p* i. Donde: – tp: amort. real subperiodo «p». – An-p: deuda pendiente al momento «p». – i: tasa de interés. Con Tasa Flotante: Al variar la tasa, la alternativa de solución sería calcular el cuadro de amortización con la tasa vigente al momento de pactarse la operación. Pero al llegar al momento de pago de cada cuota, calculamos los intereses con tasas flotantes que estuvieron vigentes en cada período.- Dos valores se van a alterar del cuadro de amortización original, que son, el importe de la “cuota“ y el importe de los “ intereses“. La fórmula sería: Cp:Tp + An-p *(i1*d1+i2*d2+…+in*dn).
Sistema Francés con ajuste por inflación: En el sistema Francés la tasa de interés que se usa tiene incluida el componente inflacionario, o la expectativa de desvalorización monetaria, lo que hace que disfrazado de intereses se este pagando con cada cuota ajuste de la deuda total, o amortización real disfrazada de interés, y al ser alta la inflación hace que no se puedan pagar las deudas, es por eso que en momentos de alta inflación desaparece el credito. La fórmula para calcular el valor actual ya la conocemos y es: 𝑉𝑛 = 𝑐 (1+𝑖)𝑛−1 / 𝑖.(1+𝑖)n. Cuando vimos tasa observamos que tenia cuatro componentes, a saber: el riesgo, los gastos administrativos, el interés propiamente dicho y la expectativa de desvalorización monetaria. Al sacar afuera la expectativa inflacionaria de la tasa efectiva, tenemos la tasa real. 𝒓 = 𝒊 − ∅ / 𝟏 + ∅. Una alternativa de solucionarlo es calcular la cuota con la tasa real, la que deja afuera el componente inflacionario, y a cada vencimiento se actualiza la cuota y todos los componentes de cuadro de amortización con la inflación. La fórmula para calcular la cuota en el sistema Acumulativo o Francés quedaría asi: 𝒄 = V𝒏. 𝒓. (𝟏 + 𝒓) 𝒏 / (𝟏 + 𝒓) 𝒏 − 𝟏.
—Interés de un determinado periodo determinado ¨p¨: 𝐼𝑝 = 𝑐 − 𝑡𝑝 = 𝑐 − 𝑐 /1 (1 + 𝑖) 𝑛−𝑝+1 = 𝑐 [1 − 1 /(1 + 𝑖) 𝑛−𝑝+1] Total de Interés hasta cierto periodo “p”: 𝐼𝑝 = 𝑝. 𝑐 − 𝑇𝑝 .Total de Interés de todos los periodos: 𝐼 = 𝑛. 𝑐 − 𝑉.
Sistema Americano. Los intereses se pagan al final de cada mes sobre la deuda total y con la última cuota se paga el importe total de la deuda pagando una tasa activa, pero exige que se constituya un fondo de amortización “t”, para que pueda reunir el importe adeudado cobrando una tasa pasiva. -Deuda con tasa pasiva: 𝑉𝑛 = 𝑡. (1 + 𝑖′ ) 𝑛 − 1 /𝑖′. -Fondo de amortización: 𝑡 = 𝑉𝑛. 𝑖′/ (1 + 𝑖′) 𝑛 − 1. – La cuota se calcula con las dos tasas: Tasa activa: i Tasa pasiva: i’. 𝑐 ′ = 𝑉𝑛. 𝑖 + 𝑉𝑛. 𝑖′/ (1 + 𝑖′) 𝑛 −1.
Comparación del Sistema Americano con el Sistema Francés: i: tasa activa ; i’: tasa pasiva Para resolverlo necesitamos de una formula adicional. Desarrollamos la inversa del valor actual para capitales unitarios. An(-1): i*(1+i)n / (1+i)n-1. = i [(1+i)n-1]+1 / (1+i)n-1. = i + i/ (1+i)n-1. = i + Sn(-1). Y nos queda la relación: An(-1)-i=Sn(-1).
(C=An*An(-1)). Reemplazando la cuota por su igual: C«: An*i+C-An*i` ⟹ C`= C+An (i-i`).La cuota del sistema americano es igual a la del sistema francés más la deuda total por la diferencia entre la tasa activa y pasiva. Como existen dos tasas en el calculo, a diferencia del sistema Frances donde teniamos una sola tasa, resulta de suma importancia conocer el costo financiero de la operación. Para ello tenemos que calcular la tasa, teniendo en cuenta que se trata de una renta de terminos constantes, podemos calcularla por Baily, o por aproximaciones sucesivas, o si tenemos una planilla de cálculo, con la función tasa de las funciones financieras.
Sistema Alemán Deducción de la fórmula de la cuota: Hay que recordar siempre que la cuota tiene 2 partes: Una de interés y otra de amortización -La cuota 1: 𝑐1 = 𝑉𝑛/ 𝑛 + 𝑉𝑛. 𝑖 = 𝑉𝑛 ( 1/ 𝑛 + 𝑖) = 𝑉𝑛 ( 1 + 𝑛. 𝑖/ 𝑛 ) = 𝑉𝑛 /𝑛 (1 + 𝑛. 𝑖). -La cuota 2: 𝑐2 = 𝑉𝑛/n + ( 𝑉𝑛 − Vn/n)*i = Vn/n + Vn (1-1/n)*i = Vn/n+Vn (n-1/n)*i = Vn/n+Vn/n (n-1)*i= Vn/n[1+(n-1)*i]. L cuota 3: c3= 𝑉𝑛/n + ( 𝑉𝑛 − 2Vn/n)*i = Vn/n + Vn (1-2/n)*i = Vn/n+Vn (n-2/n)*i = Vn/n+Vn/n (n-2)*i= Vn/n[1+(n-2)*i]. Generalizando, para calcular la cuota de cualquier periodo: 𝑐𝑝 = 𝑉𝑛/ 𝑛 [1 + (𝑛 − (𝑝 − 1)). 𝑖]. La formula de la cuota: 𝑐𝑝 = 𝑉𝑛/ 𝑛 [1 + (𝑛 − 𝑝 + 1). 𝑖].
Ley de cuota: Para establecer las diferencias entre las cuotas. Factor de crecimiento. Restamos las dos primeras cuotas: 𝑐2 − 𝑐1 = 𝑉𝑛/ 𝑛 [1 + (𝑛 − 1). 𝑖] − 𝑉𝑛/ 𝑛 (1 + 𝑛. 𝑖). Distribución: 𝑐2 − 𝑐1 = 𝑉𝑛/ 𝑛 + 𝑉𝑛 /𝑛 *𝑛. 𝑖 − 𝑉𝑛 /𝑛 . 𝑖 − 𝑉𝑛 /𝑛 − 𝑉𝑛/ 𝑛 *𝑛. 𝑖. Simplificando: 𝑐2 − 𝑐1 = − 𝑉𝑛/ 𝑛 .i. Las cuotas decrecen por un importe fijo. Por lo que resultan aplicables las fórmulas de valor actual de una renta con cuotas variables en progresión aritmética, donde la razón es igual a: 𝑟 = − 𝑉𝑛/ 𝑛 . i.
SISTEMA DE INTERES DIRECTO. Con Tasa Fija: En el sistema de Interés Directo, las cuotas son constantes, y en cada pago se amortiza una suma igual de capital. A diferencia del sistema de amortización real constante, los intereses se calculan sobre el total de la suma prestada, como si no se hubiera amortizada nada, y no sobre saldos. Esto hace que la tasa efectiva resultante sea mayor a la utilizada en el cálculo. Es un sistema muy utilizado para financiar automotores o bienes durables. En el supuesto de mantenerse constante la tasa de interés durante todo el período de la operación calculamos con la siguiente fórmula: C= An/n+An*i= An/n+n/n*An*i= An(1+i*n)/n. C= An/n+An/i.
Con Tasa Flotante: Pero al trabajar con tasas flotantes tendríamos que calcular de la siguiente manera: C= An/n+An (i1*d1+i2*d2+…+in*dn)
Sistema de Ahorro y Préstamo: En estos casos el momento de valuación se encuentra después del momento inicial. Se usa para financiar viviendas, y bienes durables. Normalmente se instrumentan estos sistemas cuando el deudor no tiene suficientes bienes como para garantizar un préstamo, entonces se le pide que abone en forma de ahorro determinada cantidad de cuotas, en determinado momento se le otorga el préstamo. El valor al momento de valuación se puede calcular de tres maneras, cuando la tasa y las cuotas son las mismas para el periodo de ahorro que para el periodo de préstamo, a) se calcula el valor actual de todos los pagos y se capitaliza dicho valor hasta el momento de valuación, b) se calcula el valor final de todos los pagos y se actualiza dicho valor al momento de entrega del préstamo, c) se capitaliza todos los pagos de la etapa de ahorro hasta el momento de entrega del préstamo y se suma el valor actual de las cuotas de la etapa de prestamo en el momento de valuación.
RENTAS EN GENERAL Todo aquello que se paga periódicamente pasa a ser renta. Es la sucesión de sumas disponibles según determinada sucesión de tiempo. Constituyen rentas: la compra de un bien en cuotas, los alquileres a percibir por un bien, las utilidades anuales de una empresa, etc. Elementos: 1. Momento inicial: (MI) que es donde comienza el primer período de la renta. 2. Momento final: (MF) en el cual termina el último período de la renta. 3. Momento de la Valuación: (MV) es el momento al cual están referidos los cálculos que valoran la totalidad de los términos de la renta. 4. Período de la renta (PR): es el tiempo que mediante entre un término y otro de la renta. 5. Término de la renta: es la suma disponible o cuota periódica. 6. Numero de términos: (n) O cantidad de cuotas.
Valor actual de una renta cierta , temporaria, vencida: El momento de la valuación coincide con el momento inicial. Cada pago se efectúa al final de cada periodo de la renta, no depende de un echo aleatorio y tiene un numero finito de terminos.
Actualizando cada uno de los términos al momento de valuación y sumándolos nos queda: Vn= C1*V+C2*V2+C3*V3+…+Cn*Vn)
Valor actual de una renta cierta temporaria adelantada: El momento inicial coincide con el momento de valuación. Se trata de una renta cierta, temporaria y adelantada y los pagos se efectúan al principio de cada periodo de la renta. V`n: C1+C2*v+C3*v2+…+Cn-1*vn-2+Cn*vn-1.
Relaciones entre las Rentas – El valor final adelantando se puede encontrar a partir del vencido aplicando el factor de capitalización por 1 periodo: S`n: Sn(1+i). – El valor final vencido se puede encontrar a partir del adelantado aplicando el factor de actualización por 1 periodo: Sn= S`n*v. – El valor actual adelantando se puede encontrar a partir del vencido aplicando el factor de capitalización por 1 periodo: V = Vn .(1+ i). – El valor actual vencido se puede encontrar a partir del adelantado aplicando el factor de actualización por 1 periodo: Vn = Vn ‘ .v.
Valor final de una renta cierta constante vencida temporaria IMPOSICIONES CONSTANTES: Utilizaremos las fórmulas de las imposiciones contantes (renta constante) cuando el periodo de renta es igual al periodo de capitalización. (PR=PC). Paso 1: Aplicamos la fórmula de monto a interés compuesto para cada cuota. 𝑆𝑛 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝐶(1 + 𝑖)𝑛−2 + 𝐶(1 + 𝑖)𝑛−3 + ⋯ … … … … … + 𝐶(1 + 𝑖) 2 + 𝐶(1 + 𝑖) + 𝐶 Paso 2: Reordenamos: 𝑆𝑛 = 𝐶 + 𝐶(1 + 𝑖) + 𝐶(1 + 𝑖)2 + ⋯ … … … … … + 𝐶(1 + 𝑖) 𝑛−3 + 𝐶(1 + 𝑖) 𝑛−2 + 𝐶(1 + 𝑖) 𝑛−1 Paso 3: Ponemos en factor común ¨C¨ 𝑆𝑛 = 𝐶[1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2+. … … … … … … + (1 + 𝑖) 𝑛−3 + (1 + 𝑖) 𝑛−2 + (1 + 𝑖) 𝑛−1]. Suma de términos progresivos geométricos: La fórmula de una progresión geométrica es: 𝑆 = 𝑎 ∗ 𝑞𝑛−1 /𝑞−1.
Donde a: primer término q= razón geométrica n= cantidad de términos En este caso: a=1 q= (1+i) n=n veces. Por ende 𝑆𝑛, queda: 𝑆𝑛 = 𝐶 [𝑎 ∗ 𝑞 𝑛−1 /𝑞−1 ] = 𝐶 [1 ∗ (1+𝑖)𝑛−1 /(1+𝑖)−1 ]. Valor final vencida: 𝑆𝑛 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 /i. La cuota: 𝐶 = 𝑆𝑛 𝑖/ (1 + 𝑖)𝑛 − 1. El plazo: 𝑛 = log(𝑆𝑛 ∗ 𝑖 + 𝐶) − log 𝐶 / log(1 + 𝑖).
Valor final de una renta cierta constante adelantada temporaria IMPOSICIONES CONSTANTES: Utilizaremos las fórmulas de las imposiciones contantes (renta constante) cuando el periodo de renta es igual al periodo de capitalización. (PR=PC).
Paso 1: Aplicamos la fórmula de monto a interés compuesto para cada cuota. 𝑆𝑛 ′ = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 + 𝐶(1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝐶(1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯ … … … … … + 𝐶(1 + 𝑖) 2 + 𝐶(1 + 𝑖) Paso 2: Reordenamos: 𝑆𝑛 ′ = 𝐶(1 + 𝑖) + 𝐶(1 + 𝑖)2 + ⋯ … … … … … + 𝐶(1 + 𝑖) 𝑛−2 + 𝐶(1 + 𝑖) 𝑛−1 + 𝐶(1 + 𝑖) 𝑛 Paso 3: Ponemos en factor común ¨C¨ 𝑆𝑛 ′ = 𝐶[(1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2+. … … … … … … + (1 + 𝑖) 𝑛−2 + (1 + 𝑖) 𝑛−1 + (1 + 𝑖) 𝑛]. Suma de términos progresivos geométricos: La fórmula de una progresión geométrica es: 𝑆 = 𝑎 ∗ 𝑞 𝑛−1/ 𝑞−1.
Caso en que el tiempo no resulte entero: El problema que origina una solución de tema fraccionario puede resolverse de distintas maneras que implican opciones financieras a tomar por el decididor de acuerdo a la información que disponga. Pueden darse distintos casos: 1. Que la situación financiera permita aumentar el valor de la cuota 2. Que la disponibilidad financiera sea limitada, pero sea posible aumentar el número de períodos 3. Que la cuota sea inmodificable, pero podamos ajustar el número de cuotas modificando el monto final (aumentando o disminuyendo) 4. Que tanto la cuota como el monto final resulten inmodificables, entonces el tiempo ¨n¨ estará comprendido entre dos enteros consecutivos.
Valor final vencido de una Imposición a interés simple Sea C= monto final 𝜶= Cuota; m= número de términos; i’= tasa de interés simple del periodo. Paso 1: Aplicamos fórmula de monto a interés simple: M= C(1+in) 𝐶 = 𝑚𝛼 + 𝛼𝑖′ + 𝛼. 2. 𝑖′ + 𝛼. 3. 𝑖′ +− − − − − − − + 𝛼(𝑚 − 2). 𝑖′ + 𝛼. (𝑚 − 1). 𝑖′ Paso 2: Factor común de: 𝛼. 𝑖′ 𝐶 = 𝑚𝛼 + 𝛼𝑖′ [1 + 2 + 3 + − − − − − − − + (𝑚 − 2) + (𝑚 − 1)] La suma de los términos progresivos aritméticos. La fórmula es 𝑆 = 𝑎+𝑙 /2 ∗ m.
𝐶 = 𝑚𝛼 + 𝛼𝑖′ [ 𝑎 + 𝑙 /2 ∗ 𝑚] ⇒ 𝐶 = 𝑚𝛼 + 𝛼𝑖′ [ 1 + (𝑚 − 1)/ 2 ∗ (𝑚 − 1)] ⇒ 𝐶 = 𝑚𝛼 + [ 𝛼.𝑖′ .𝑚 /2 ∗ (𝑚 − 1)] Ponemos en factor común ¨ 𝑚𝛼 ¨ 𝐶 = 𝑚𝛼 [1 + 𝑖 ′ ∗(𝑚−1)/ 2 ] Común denominador 𝐶 = 𝑚. 𝛼. 2+𝑖 ′ .(𝑚−1)/ 2.
Valor final adelantado de una Imposición a interés simple Sea C= monto final 𝜶= Cuota; m= número de términos; i’= tasa de interés simple del periodo. Paso 1: Aplicamos fórmula de monto a interés simple: M= C(1+in) 𝐶 = 𝑚𝛼 + 𝛼𝑖′ + 𝛼. 2. 𝑖′ + 𝛼. 3. 𝑖′ +− − − − − − − + 𝛼(𝑚 − 2). 𝑖′ + 𝛼. (𝑚 − 1). 𝑖′ + 𝛼. 𝑚. 𝑖′ Paso 2: Factor común de: 𝛼. 𝑖′ 𝐶 = 𝑚𝛼 + 𝛼𝑖′ [1 + 2 + 3 + − − − − − − − + (𝑚 − 2) + (𝑚 − 1) + 𝑚] La suma de los términos progresivos aritméticos. La fórmula es 𝑆 = 𝑎+𝑙 2 ∗ m.
𝐶 = 𝑚𝛼 + 𝛼𝑖′ [ 𝑎+𝑙 / 2 ∗ 𝑚] ⇒ 𝐶 = 𝑚𝛼 + 𝛼𝑖′ [ 1+𝑚 /2 ∗ 𝑚] ⇒ Ponemos en factor común ¨ 𝑚𝛼 ¨ 𝐶 = 𝑚𝛼 [1 + 𝑖 ′ ∗(1+𝑚) /2 ] Común denominador: 𝐶 = 𝑚. 𝛼. 2+𝑖 ′ .(𝑚+1) /2.
Valor final de una renta combinada Fórmulas Combinadas: Se utilizan cuando, por ejemplo, el período de capitalización es anual y el período de pago es trimestral, es decir, aquí el período de pago es menor que el período de capitalización por lo que resultan inaplicables tanto las fórmulas de imposiciones a interés simple como las de interés compuesto, en forma exclusiva. Imposición a interés simple y compuesto combinadas vencidas: Se aplica cuando el Periodo de capitalización (PC) es mayor que el periodo de Renta (PR).
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒:𝐶 = 𝑚𝛼. 2 + 𝑖′ . (𝑚 − 1)/ 2 ; 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠:𝑆𝑛 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 − 1/ 𝑖 Se combinan para dar la fórmula del valor final de imposiciones a interés simple y compuesto combinadas vencidas: 𝑆𝑚𝑛 = 𝑚𝛼. 2 + 𝑖 ′ . (𝑚 − 1)/ 2 . (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 /𝑖 .
Imposiciones a interés simple y compuesto adelantadas: 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎:𝐶 = 𝑚𝛼. 2 + 𝑖′ . (𝑚 + 1) /2. 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠:𝑆𝑛 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 /i. Se combinan para dar la fórmula del valor final de imposiciones a interés simple y compuesto combinadas adelantadas: 𝑆𝑚𝑛 ′ = 𝑚𝛼. 2 + 𝑖′ . (𝑚 + 1)/ 2 . (1 + 𝑖)𝑛 − 1/ 𝑖.
Amortizaciones a interés simple y compuesto combinadas: Cuando el período de la renta es menor que el período de capitalización, conteniendo éste un número m de pagos, la cuota periódico de amortización a interés compuesto estaría formado por el monto a interés simple de los pagos subperiódicos calculados al término de un período. Se usa el término de amortización para referirse cuando se trata de una deuda, o sea de valor actual: Por ejemplo cuando las tasas son anuales, con capitalización anual y los pagos se efectúan mensualmente. De nuevo en este caso tenemos que el Periodo de capitalización (PC) es mayor que el periodo de Renta (PR).
Valor actual de un ¨Combinado¨ vencido 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒:𝐶 = 𝑚𝛼. 2 + 𝑖′ . (𝑚 − 1) /2 ; 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠:𝑉𝑛 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 /𝑖(1 + 𝑖)n. Se combinan para dar la fórmula del valor actual de imposiciones a interés compuesto y simple combinadas vencidas: 𝑉𝑚𝑛 = 𝑚𝛼. 2 + 𝑖′ . (𝑚 − 1)/ 2 . (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖. (1 + 𝑖)n.
Adelantadas: 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎:𝐶 = 𝑚𝛼. 2 + 𝑖′ . (𝑚 + 1)/ 2 ; 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑒𝑠:𝑉𝑛 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 − 1/ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛. Se combinan para dar la fórmula del valor actual de imposiciones a interés compuesto y simple combinadas adelantadas: 𝑉𝑚𝑛 = 𝑚𝛼. 2 + 𝑖′ . (𝑚 − 1) /2 . (1 + 𝑖)𝑛 − 1 /𝑖. (1 + 𝑖)𝑛.
Rentas Subperiódicas Las fórmulas de una renta subperiódica se usa cuando el periodo de la renta es mayor que el periodo de capitalización (𝑃𝑅 > 𝑃𝐶). Paso 1: Se aplica la fórmula de monto a tasa subperiódica: 𝐶𝑛𝑚 = 𝐶 (1 + 𝑖 /𝑚 ) 𝑛.𝑚 . -𝑆𝑛𝑚 = 𝐶 (1 + 𝑖 /𝑚 ) (𝑛−1).𝑚 + 𝐶 (1 + 𝑖/ 𝑚 ) (𝑛−2).𝑚 + − − − − − − +𝐶 (1 + 𝑖 𝑚 ) 2.𝑚 + 𝐶 (1 + 𝑖 𝑚 ) 𝑚 + 𝑐 . Paso 2: Reordenamos – 𝑆𝑛𝑚 = 𝐶 + 𝐶 (1 + 𝑖/ 𝑚 ) 𝑚 + 𝐶 (1 + 𝑖 /𝑚 ) 2.𝑚 + − − − − − − +𝐶 (1 + 𝑖 /𝑚 ) (𝑛−2).𝑚 + 𝐶 (1 + 𝑖/ 𝑚 ) (𝑛−1).𝑚. Paso 3: Ponemos en factor común ¨C¨ – 𝑆𝑛𝑚 = 𝐶 [1 + (1 + 𝑖 /𝑚 ) 𝑚 + (1 + 𝑖/ 𝑚 ) 2.𝑚 + − − − − − − +(1 + 𝑖 /𝑚 ) (𝑛−2).𝑚 + (1 + 𝑖 /𝑚 ) (𝑛−1).𝑚]. Lo que se encuentra entre corchetes es la sumatoria de términos que varían en progresión geométrica cuya suma es: 𝑆 = 𝑎 ∗ 𝑞 𝑛−1/ 𝑞−1.
Donde a= primer término = 1 q= razón geométrica = (1 + 𝑖 𝑚 ) 𝑚 n= cantidad de términos= n
Quedando entonces: 𝑆𝑛𝑚 = 𝐶 [𝑎 ∗ 𝑞 𝑛−1 /𝑞−1 ] ⟹ 𝑆𝑛𝑚 = 𝐶 [1 ∗ (1+ 𝑖 /𝑚 ) 𝑚.𝑛 −1 / (1+ 𝑖 /𝑚 ) 𝑚 −1 ].
Valor final vencido de una renta subperiódica. Valor final adelantado de una renta subperiódica