C-P-A de Bruner y la secuencia de Goutard: etapas para la simbolización y la invariación en el aprendizaje matemático

C‑P‑A (Concreto, Pictórico, Abstracto) propuesto por Jerome Bruner

Describa las tres etapas del proceso C‑P‑A (Concreto, Pictórico, Abstracto) propuesto por Jerome Bruner. Justifique por qué esta progresión secuencial es necesaria para el aprendizaje profundo de las matemáticas, en contraste con la mecanización.

El modelo C‑P‑A —planteado por Jerome Bruner y muy extendido en enfoques como el de Singapur— propone una secuencia de tres fases para lograr un aprendizaje realmente significativo en matemáticas:

Etapa Concreta (enactiva): el alumno aprende a través de la manipulación directa de materiales físicos (bloques, fichas, regletas…). La idea matemática se construye actuando sobre objetos reales.
Etapa Pictórica (icónica): las acciones y experiencias con el material se representan visualmente mediante dibujos, esquemas, diagramas o arrays; esta etapa funciona como puente entre lo manipulativo y lo simbólico.
Etapa Abstracta (simbólica): el alumno llega a la notación formal (números, signos, operaciones) y puede operar con símbolos sin apoyo físico o visual.

Justificación: Esta progresión es necesaria porque los conceptos matemáticos (número, operaciones, estructura) son abstractos por naturaleza. Si se pasa directamente a lo simbólico, el alumno puede aprender procedimientos o “recetas” sin comprenderlos, quedándose en la mecanización. En cambio, seguir el recorrido C‑P‑A permite que el alumno conecte la idea matemática con la experiencia, construya significado paso a paso y alcance un aprendizaje profundo.

Madeleine Goutard: cinco etapas para la construcción y simbolización del número

Madeleine Goutard enfatiza que la introducción de los símbolos matemáticos debe ser un proceso gradual y reflexivo, y no una imposición precoz que conduzca a la memorización mecánica. Propone una secuencia de cinco etapas para la construcción del número que prioriza la experiencia sobre el símbolo:

Se construyen: el niño manipula y experimenta con el concepto a través de materiales concretos (por ejemplo, regletas u objetos).
Se aprende a nombrarlos: el niño asocia lo manipulado con el lenguaje oral («tres», «más», «menos»), conectando experiencia y vocabulario.
Se establece el símbolo para lo construido: una vez que el concepto tiene sentido, se introduce la notación abstracta como representación de esa idea.
Se reconoce el símbolo / se escribe: el alumno practica la lectura y escritura numérica con base conceptual, no como copia vacía.
Se decide un criterio de ordenación: se establecen relaciones lógicas y la seriación (mayor/menor), dando estructura al sistema numérico.

Por qué evita la «pesantez pedagógica»: Esta secuencia impide una formalización prematura o una sistematización rígida. En lugar de imponer símbolos y reglas para que el niño las imite, el símbolo surge como consecuencia natural de una comprensión previa. Así, la escritura matemática no se convierte en una carga mecánica, sino en una herramienta con significado real.

Invariación

Invariación: es la propiedad de los números de no cambiar cuando se realiza una transformación lineal o espacial. Por ejemplo, si un conjunto de cinco objetos se reorganiza en una línea o en un patrón distinto, el número total sigue siendo cinco.

Piaget subraya que esta comprensión no es inmediata en los niños: ellos perciben los objetos principalmente en función de su disposición visual y pueden creer que la cantidad ha cambiado cuando los elementos se reorganizan. El desarrollo de la noción de invariancia constituye la base para la conservación del número, que es la capacidad de reconocer que la cantidad de un conjunto permanece constante pese a cambios en su disposición (por ejemplo, si tienes 5 fichas alineadas en fila y luego las dispersas en círculo).

Ejemplos y aplicaciones

Dos interpretaciones de 18 peces (representación simbólica y contextual):

Reparto (partitiva): 18 : 3 = 6 → 3 grupos, ¿cuánto hay en cada grupo? (responde 6).
Agrupamiento (cuotitiva): 18 : 6 = 3 → grupos de 6, ¿cuántos grupos? (responde 3).

Operación combinada — ejemplo con caramelos:

Expresión: [4 + 4 × (3 + 2)] : 3

(3 + 2) = caramelos por bolsa
4 × (3 + 2) = total en 4 bolsas
+4 = caramelos sueltos
÷3 = repartir entre 3 personas

Resta con reagrupación (ejemplo paso a paso)

Operación: 1305 − 642

Desglose por unidades: 1305 = 1 millar, 3 centenas, 0 decenas, 5 unidades.

Reagrupación:

Cambio 1 millar → +10 centenas ⇒ 0 M, 13 C, 0 D, 5 U
Cambio 1 centena → +10 decenas ⇒ 0 M, 12 C, 10 D, 5 U

Ahora resta columna a columna:

Unidades: 5 − 2 = 3
Decenas: 10 − 4 = 6
Centenas: 12 − 6 = 6

Resultado: 663

Regletas

Colores y valores convencionales de las regletas:

1: blanca
2: roja
3: verde claro
4: morada / rosa
5: amarilla
6: verde oscuro
7: negra
8: marrón
9: azul
10: naranja

Repetición: invariación

Invariación (reiteración del concepto): la invariación es la propiedad de los números de no cambiar cuando se lleva a cabo una transformación lineal o espacial. Si un conjunto de cinco objetos se reorganiza en una línea o en un patrón distinto, el número total sigue siendo cinco.

Piaget subraya que esta comprensión no es inmediata en los niños: ellos perciben los objetos principalmente en función de su disposición visual, por lo que pueden creer que la cantidad ha cambiado si los elementos se reorganizan. El desarrollo de la noción de invariancia es crucial porque constituye la base para la conservación del número: la capacidad de reconocer que la cantidad de un conjunto permanece constante pese a cambios en su disposición. Ejemplo: si tienes 5 fichas alineadas en fila y luego las dispersas en círculo.

Regletas: 1 blanca, 2 roja, 3 verde claro, 4 morada/rosa, 5 amarilla, 6 verde oscuro, 7 negra, 8 marrón, 9 azul, 10 naranja.

Resumen y conclusiones

En síntesis, combinar el enfoque C‑P‑A de Bruner con la secuencia didáctica de Goutard permite:

Introduce el símbolo solo cuando el alumno ha construido sentido (evita la mecanización).
Favorece la conservación del número y la comprensión de la invariación.
Utiliza materiales (regletas, fichas) y representaciones pictóricas como puentes a la abstracción simbólica.

Así se asegura un aprendizaje matemático profundo, significativo y resistente a la mera memorización.