Estudio retroprospectivo
-Grecia
Edad Media
Representación cinemática y geométrica de las relaciones funcionales. Aparecen explícitas ciertas nociones generales La manera de expresar la dependencia entre dos variables queda relegada a una descripción verbal o como mucho a un gráfico. El principal obstáculo fue la desproporción entre el nivel de abstracción de las teorías abordadas y la falta de un correcto aparato matemático para su desarrollo. –Edad Moderna
Finales S. XVI, aparición concepto de función, estudio del movimiento es un problema esencial. El descubrimiento de la geometría analítica permite expresar funciones de forma algebraica. –SXVII:
En el s. XVII las series de potencias permiten tratarlas de forma analítica. Este tratamiento era eficaz, pero restrictivo, por lo que más tarde se buscaron definiciones más generales del concepto. Introducción de la representación analítica Descartes variable y Fermat, Newton y Leibniz cálculo. –Siglo XVIII
El concepto de función se considera central en las matemáticas. La primera consideración de una función como expresión analítica aparecíó en un artículo de Jean Bernoulli en 1718. La idea de que el análisis matemático es una ciencia general de las variables y de sus funciones, parece ser debida a Euler. Lagrange y su aportación sobre dos tratados de funciones. El impacto de la continuidad en el progreso de la noción de función. -SXIX
Fourier: series trigonométricas. Gran revolución, pues logra representar mediante series de funciones analíticas, funciones arbitrarias formadas por medio de leyes analíticas distintas en diferentes intervalos de la variable independiente. Introducción de Tª de conjuntos y el concepto abstracto de función –S XX:
Spivak Houssdorff• Desarrollo lento del concepto de dependencia, restringido por un exceso de hincapié en la proporción • Papel fundamental del punto de vista geométrico, sobre todo en los inicios. • Sin embargo, permanecer atado a él supuso limitaciones y no se logró avanzar hasta lograr un mayor simbolismo (desarrollo del álgebra) y una nueva visión y lenguaje (geometría analítica). • De hecho, a lo largo de la historia, aparece una gran variedad de formas de expresar una función: expresión verbal, tabla, gráfica, comparación de carácter cinemático, fórmulas (algebraicas), serie de potencias, ley entre conjuntos. • El desarrollo del Análisis está intrínsecamente ligado al estudio del cambio y del movimiento, es decir, al estudio de fenómenos naturales. • Aunque las definiciones más abstractas pueden parecer más sencillas, son el resultado de diversas abstracciones que llevaron siglos y que fueron despojando a los conceptos de su significado original. Presentarlas directamente puede crear dificultades. /////////// Para Janvier la representación mental del concepto de función tiene tres componentes: símbolos escritos objetos reales imágenes mentales. Propone para el estudio de secundaria conectar directamente la noción de variación con el trazado del gráfico que la representa, ello conduce al alumno directamente desde la situación al gráfico (y viceversa); la relación graficoecuación, según él, puede ser construida más tarde. Entre las principales conclusiones que podemos destacar en sus trabajos, figuran las siguientes: •Los alumnos son capaces de interpretar un gráfico punto a punto, pero muchos son incapaces de darle toda su significación global. •Los gráficos, en numerosas ocasiones los observan como simples configuraciones visuales. Confunden el gráfico con el recorrido en las situaciones de movimiento. •Tienen muchas dificultades para identificar el intervalo en el cual el incremento de la función (lineal o no) es máximo. Responden siempre con el máximo valor de la función. Esto señala la tendencia que tienen a dar la respuesta en referencia a un punto más que a un intervalo. Este tipo de respuestas nos indica que la interpretación puntual de los gráficos está profundamente anclada en la cognición de los estudiantes y les impide avanzar hacia la percepción más global.
Resumen histórico: • La antigüedad: problemas de naturaleza algebraica contextualizados, una formulación esencialmente retórica y la dominación de lo geométrico. Problema egipcio: Encontrar una cantidad que sumada a su séptima parte da 19. Problema babilonio: Encontrar dos números cuyo producto es 96 y su suma es 20. Diofanto lo soluciona • Los Árabes: la ciencia de las ecuaciones se vuelve objeto de estudio autónomo, problemas generales y justificaciones siempre geométricas. • La escuela italiana del s. XVI: la evolución de las técnicas de cálculo y simbolismo, Solución de la ecuación cuadrática. Bombelli separa en alg y geo el proceso de resolución de Euclides. • Descartes: el álgebra se pone al servicio de la geometría y la configuración moderna del sistema simbólico del álgebra, • Leibniz: un simbolismo que se vuelve autónomo, creativo, productor de significado. • S. XVIII: el desarrollo del mundo funcional y del análisis infinitesimal. • S. XIX: la teoría de las ecuaciones y la emergencia de las estructuras algebraicas. ///////////// Conclusiones: -Conceptualización ec param var etc ardua -Simbolización ardua -Diferentes representaciones -Hay q explicar esta génesis – Evitar la inversión antididáctica (Freudenthal, 1983): explicar las ideas matemáticas como se publican y no como se descubren. – Sensibilidad a las formas de pensar de otras personas