Evolución Histórica del Concepto de Función en Matemáticas
Grecia
- Búsqueda de regularidades y proporciones.
- Obstáculos: uso de proporciones, carácter geométrico y falta de simbolismo.
Edad Media
- Representación cinemática y geométrica de relaciones funcionales.
- Obstáculo: desproporción entre el nivel de abstracción y la falta de aparato matemático.
Edad Moderna
- Finales del siglo XVI: aparición del concepto de función.
- Estudio del movimiento como problema esencial.
- Descubrimiento de la geometría analítica para expresar funciones algebraicamente.
Siglo XVII
- Series de potencias para tratar funciones analíticamente.
- Definiciones más generales del concepto.
- Introducción de la representación analítica (Descartes, Fermat, Newton, Leibniz).
Siglo XVIII
- El concepto de función se considera central en matemáticas.
- Primera consideración de una función como expresión analítica (Jean Bernoulli, 1718).
- Análisis matemático como ciencia general de variables y funciones (Euler).
- Aportación de Lagrange sobre funciones.
- Impacto de la continuidad en el progreso de la noción de función.
Siglo XIX
- Fourier: series trigonométricas.
- Representación de funciones arbitrarias mediante series de funciones analíticas.
- Introducción de la teoría de conjuntos y el concepto abstracto de función.
Siglo XX
- Spivak, Houssdorff.
Desarrollo del Concepto de Dependencia
- Desarrollo lento restringido por el énfasis en la proporción.
- Papel fundamental del punto de vista geométrico.
- Limitaciones por apego a la geometría y falta de simbolismo.
- Variedad de formas de expresar una función: verbal, tabla, gráfica, cinemática, fórmulas, series de potencias, ley entre conjuntos.
El Análisis y el Estudio del Cambio
- El desarrollo del Análisis está ligado al estudio del cambio y el movimiento.
- Las definiciones abstractas son resultado de abstracciones que despojaron a los conceptos de su significado original.
Representación Mental del Concepto de Función (Janvier)
- Tres componentes: símbolos escritos, objetos reales, imágenes mentales.
- Conexión directa entre variación y gráfico.
- Relación gráfico-ecuación construida posteriormente.
Conclusiones sobre la Cognición de los Estudiantes
- Interpretación punto a punto de los gráficos.
- Observación de gráficos como configuraciones visuales.
- Confusión entre gráfico y recorrido en situaciones de movimiento.
- Dificultades para identificar intervalos de máximo incremento.
- Tendencia a dar respuestas puntuales en lugar de globales.
Resumen Histórico
La Antigüedad
- Problemas algebraicos contextualizados.
- Formulación retórica y dominación de lo geométrico.
- Problema egipcio: encontrar una cantidad que sumada a su séptima parte da 19.
- Problema babilonio: encontrar dos números cuyo producto es 96 y su suma es 20.
- Diofanto: solución de problemas algebraicos.
Los Árabes
- La ciencia de las ecuaciones como objeto de estudio autónomo.
- Problemas generales y justificaciones geométricas.
La Escuela Italiana del Siglo XVI
- Evolución de las técnicas de cálculo y simbolismo.
- Solución de la ecuación cuadrática.
- Separación del proceso de resolución algebraica y geométrica (Bombelli).
Descartes
- El álgebra al servicio de la geometría.
- Configuración moderna del sistema simbólico del álgebra.
Leibniz
- Simbolismo autónomo, creativo y productor de significado.
Siglo XVIII
- Desarrollo del mundo funcional y del análisis infinitesimal.
Siglo XIX
- Teoría de las ecuaciones y emergencia de estructuras algebraicas.
Conclusiones
- Conceptualización, simbolización y representación de funciones como procesos arduos.
- Necesidad de explicar la génesis de las ideas matemáticas.
- Evitar la inversión antididáctica (Freudenthal, 1983).
- Sensibilidad a las formas de pensar de otras personas.