Fracciones y Números Racionales: Conceptos y Operaciones

Fracciones y Números Racionales

Fracciones

Definición

Una fracción es una expresión que representa una parte de un todo, una medida, un reparto, una razón o un operador.

Contextos

  • Como parte de un todo: Tiene sentido si el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo, 3/5 representa dividir algo en 5 partes y tomar 3. No tendría sentido 5/3 en este contexto, ya que implicaría tomar 5 partes de algo dividido en 3.
  • Como resultado de una medida: Se compara lo que se quiere medir con una unidad de medida arbitraria. El denominador indica el número de partes en que se divide la unidad de medida.
  • Como resultado de un reparto: Por ejemplo, 5/3 puede representar el reparto de 5 tartas entre 3 niños. Cada tarta se dividiría en 3 trozos y se daría un trozo a cada niño.
  • Como razón: Expresa una relación entre dos cantidades.
  • Como operador (porcentajes): Por ejemplo, el 4% de los alumnos se representa como 4/100, donde 100 representa el total de alumnos.

Tipos de fracciones

  • Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Se puede verificar multiplicando en cruz: si los productos son iguales, las fracciones son equivalentes. Para obtener fracciones equivalentes, se multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número.
  • Fracciones irreducibles: Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar más, es decir, el numerador y el denominador no tienen divisores comunes aparte de 1. Para obtener la fracción irreducible, se divide el numerador y el denominador por su máximo común divisor.
  • Fracciones propias e impropias:
    • Fracciones propias: El numerador es menor que el denominador. Representan una cantidad menor que la unidad.
    • Fracciones impropias: El numerador es mayor o igual que el denominador. Representan una cantidad mayor o igual que la unidad.
    • Número mixto: Una fracción impropia se puede expresar como un número mixto, que consiste en un número entero y una fracción propia. Por ejemplo, 43/4 se puede expresar como 10 3/4 (10 + 3/4).

Para comparar dos fracciones, primero se comparan los denominadores. La fracción con el denominador más pequeño representa trozos más grandes. Luego, se comparan los numeradores para ver cuántas partes se toman.

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

  • Mismo denominador: Se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador.
  • Distinto denominador: Se busca el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores para obtener un denominador común. Luego, se ajustan los numeradores y se suman o restan.

Multiplicación de un número natural por una fracción (y viceversa)

  • Número natural por fracción: Se multiplica el número natural por el numerador y se mantiene el denominador. Ejemplo: 4 × 3/5 = (4 × 3)/5 = 12/5. Esto se puede interpretar como sumar la fracción 3/5 cuatro veces.
  • Fracción por número natural: Se multiplica el numerador por el número natural y se mantiene el denominador. Ejemplo: 3/5 × 4 = (3 × 4)/5 = 12/5. Esto se puede interpretar como 3/5 de 4.

Multiplicación de fracciones

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Ejemplo: 3/4 × 5/7 = (3 × 5)/(4 × 7) = 15/28. Contextualización: En un aula, 3/4 de los alumnos son chicas y, de ellas, 5/7 odian las matemáticas. La fracción de chicas que odian las matemáticas es 3/4 × 5/7.

División de una fracción por un número natural

Se multiplica el denominador de la fracción por el número natural. Ejemplo: (3/4) / 2 = 3/(4 × 2) = 3/8.

División de un número natural por una fracción

Se multiplica el número natural por el inverso de la fracción.

División de fracciones

Se multiplica la primera fracción por el inverso de la segunda.

Número Racional

Un número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes entre sí. Se representa por la letra Q. Habitualmente, se elige la fracción irreducible como representante del conjunto.

Representación gráfica de los números racionales

  • En la recta numérica, cada número racional se asocia con un punto.
  • Entre dos números naturales, existen infinitos números racionales.
  • Sin embargo, aún quedan huecos en la recta sin cubrir, que corresponden a los números irracionales.
  • Las fracciones negativas se representan en el lado izquierdo del cero en la recta numérica.

Orden de los números racionales (comparación de fracciones)

Para comparar números racionales, se pueden utilizar dos métodos:

  1. Método gráfico: Representar los números en la recta numérica. El número que esté más a la derecha es el mayor.
  2. Método numérico: Convertir las fracciones a fracciones equivalentes con el mismo denominador. La fracción con el numerador mayor representa el número racional mayor.