Optimización de Beneficios en Monopolios y Regulación de Mercados

Introducción a la Optimización de Beneficios y Regulación de Mercados

Este documento explora la determinación de precios, cantidades y beneficios en diferentes estructuras de mercado, centrándose en el monopolio y su comparación con la competencia perfecta. Se abordan escenarios de intervención estatal y sus implicaciones económicas, presentando diversos casos prácticos para ilustrar los conceptos.

Caso Práctico 1: Monopolio con Costes Cuadráticos y Demanda Lineal

Se presenta un monopolio con la siguiente función de costes totales: CT(X) = 4X2 + 8X + 6 y una demanda de mercado: Xd = (32 – P) / 4.

1.1. Derivación de Funciones Clave

  • Función de Demanda: Para obtener P en función de X, despejamos P de la ecuación de demanda: 4X = 32 – P, lo que resulta en P = 32 – 4X.
  • Función de Ingreso Total (IT): El ingreso total se calcula como el precio por la cantidad: IT(X) = P(X) * X = (32 – 4X) * X = 32X – 4X2.
  • Función de Ingreso Marginal (IMg): El ingreso marginal es la derivada del ingreso total respecto a X: IMg(X) = d(IT)/dX = 32 – 8X.
  • Función de Coste Marginal (CMg): El coste marginal es la derivada del coste total respecto a X: CMg(X) = d(CT)/dX = 8X + 8.
  • Función de Coste Total Medio (CTMe): El coste total medio es el coste total dividido por la cantidad: CTMe(X) = CT(X) / X = (4X2 + 8X + 6) / X = 4X + 8 + 6/X.

1.2. Maximización de Beneficios en Monopolio

Para maximizar beneficios, el monopolio elige una cantidad X tal que el ingreso marginal sea igual al coste marginal (IMg(X) = CMg(X)).

  • 32 – 8X = 8X + 8
  • 24 = 16X
  • Cantidad Producida por el Monopolio (XM): XM = 24 / 16 = 1.5

El precio al que venderá el monopolio se determina sustituyendo la cantidad óptima en la función de demanda:

  • PM = 32 – 4X
  • Precio de Monopolio (PM): PM = 32 – 4 * 1.5 = 26

El nivel de beneficios obtenido por el monopolio será:

  • B(X) = IT(X) – CT(X) = P * X – [4X2 + 8X + 6]
  • B(1.5) = 26 * 1.5 – [4 * (1.5)2 + 8 * (1.5) + 6]
  • B(1.5) = 39 – [4 * 2.25 + 12 + 6]
  • B(1.5) = 39 – [9 + 12 + 6]
  • Beneficios del Monopolio (BM): B(1.5) = 39 – 27 = 12

1.3. Intervención del Monopolio: Solución de Competencia Perfecta

Se considera que este monopolio es intervenido y obligado a fijar una solución eficiente de competencia perfecta. En un mercado de competencia perfecta, el precio está dado y no depende de X, y el ingreso marginal corresponde al precio (IMg = P). La maximización de beneficios se logra cuando el precio es igual al coste marginal (P = CMg(X)).

  • 32 – 4X = 8X + 8
  • 24 = 12X
  • Cantidad Producida en Competencia Perfecta (XCP): XCP = 24 / 12 = 2 (Se observa que se produce una cantidad mayor que en el régimen de monopolio).

El precio al que se venderá en competencia perfecta se determina mediante la función de demanda:

  • PCP = 32 – 4X
  • Precio en Competencia Perfecta (PCP): PCP = 32 – 4 * 2 = 24 (Se vende a un precio inferior que en el régimen de monopolio).

El nivel de beneficios obtenido en este escenario será:

  • B(X) = IT(X) – CT(X) = P * X – [4X2 + 8X + 6]
  • B(2) = 24 * 2 – [4 * (2)2 + 8 * (2) + 6]
  • B(2) = 48 – [4 * 4 + 16 + 6]
  • B(2) = 48 – [16 + 16 + 6]
  • Beneficios en Competencia Perfecta (BCP): B(2) = 48 – 38 = 10

Caso Práctico 2: Monopolio con Costes Cuadráticos y Demanda Lineal (Variante)

Este caso presenta un monopolio con la función de costes: CT(X) = 10X2 + 100X + 300 y una función de demanda: P = 400 – 10X.

2.1. Derivación de Funciones Clave

  • Función de Ingreso Total (IT): IT(X) = P(X) * X = (400 – 10X) * X = 400X – 10X2.
  • Función de Ingreso Marginal (IMg): IMg(X) = d(IT)/dX = 400 – 20X.
  • Función de Coste Marginal (CMg): CMg(X) = d(CT)/dX = 20X + 100.
  • Función de Coste Total Medio (CTMe): CTMe(X) = CT(X) / X = (10X2 + 100X + 300) / X = 10X + 100 + 300/X.

2.2. Maximización de Beneficios en Monopolio

Si el objetivo de este monopolio es conseguir máximos beneficios, la elección de X se da cuando IMg(X) = CMg(X).

  • 400 – 20X = 20X + 100
  • 300 = 40X
  • Cantidad Producida por el Monopolio (XM): XM = 300 / 40 = 7.5

El precio al que venderá el monopolio se determina mediante la función de demanda:

  • PM = 400 – 10X
  • Precio de Monopolio (PM): PM = 400 – 10 * 7.5 = 325

El nivel de beneficios obtenido será:

  • B(X) = IT(X) – CT(X) = P * X – [10X2 + 100X + 300]
  • B(7.5) = 325 * 7.5 – [10 * (7.5)2 + 100 * (7.5) + 300]
  • B(7.5) = 2437.5 – [10 * 56.25 + 750 + 300]
  • B(7.5) = 2437.5 – [562.5 + 750 + 300]
  • Beneficios del Monopolio (BM): B(7.5) = 2437.5 – 1612.5 = 825

2.3. Intervención del Monopolio: Solución de Competencia Perfecta

Se considera que este monopolio es intervenido y obligado a fijar una solución eficiente de competencia perfecta. En competencia perfecta, el precio está dado y no depende de X, y el ingreso marginal corresponde al precio (IMg = P). La maximización de beneficios se da cuando P = CMg(X).

  • 400 – 10X = 20X + 100
  • 300 = 30X
  • Cantidad Producida en Competencia Perfecta (XCP): XCP = 300 / 30 = 10 (Se produce una cantidad mayor que en monopolio).

El precio al que venderá se determina mediante la función de demanda:

  • PCP = 400 – 10X
  • Precio en Competencia Perfecta (PCP): PCP = 400 – 10 * 10 = 300 (Se vende a un precio inferior que en monopolio).

El nivel de beneficios obtenido será:

  • B(X) = IT(X) – CT(X) = P * X – [10X2 + 100X + 300]
  • B(10) = 300 * 10 – [10 * (10)2 + 100 * (10) + 300]
  • B(10) = 3000 – [10 * 100 + 1000 + 300]
  • B(10) = 3000 – [1000 + 1000 + 300]
  • Beneficios en Competencia Perfecta (BCP): B(10) = 3000 – 2300 = 700

Comparación: La cantidad producida en competencia perfecta (10) es mayor que en monopolio (7.5). El precio en competencia perfecta (300) es inferior al de monopolio (325). Los beneficios en competencia perfecta (700) son menores que en monopolio (825).

Caso Práctico 3: Monopolio de Suministro de Agua (Villagua)

El coste del suministro de agua en el pueblo de Villarriba, por parte de la empresa concesionaria Villagua, se describe por la función: CT(X) = 40X + 200. La demanda de mercado es P = 200 – 20X.

3.1. Derivación de Funciones Clave

  • Función de Coste Marginal (CMg): CMg(X) = d(CT)/dX = 40 (constante). Esto indica que el coste de distribución de un Hm3 es siempre el mismo.
  • Función de Coste Total Medio (CTMe): CTMe(X) = CT(X) / X = (40X + 200) / X = 40 + 200/X (decreciente). La función de costes totales tiene un coste fijo (coste hundido) que se diluye a medida que aumenta la cantidad producida.
  • Función de Ingreso Total (IT): IT(X) = P(X) * X = [200 – 20X] * X = 200X – 20X2.
  • Función de Ingreso Marginal (IMg): IMg(X) = d(IT)/dX = 200 – 40X.

3.2. Escenario de Monopolio sin Intervención

En régimen de monopolio, la empresa conoce la función de demanda y la incorpora en su función de beneficios. La maximización de beneficios implica fijar la cantidad a producir de acuerdo con el criterio IMg(X) = CMg(X).

  • 200 – 40X = 40
  • 160 = 40X
  • Cantidad Producida por el Monopolio (XM): XM = 4

El precio que fijará para esta cantidad producida en régimen de monopolio vendrá determinado por la demanda:

  • P = 200 – 20X
  • Precio de Monopolio (PM): PM = 200 – 20 * 4 = 120

El nivel de beneficios que obtendrá será:

  • B(X) = P * X – CT(X) = [P – CTMe(X)] * X
  • Calculamos CTMe(4) = 40 + 200/4 = 40 + 50 = 90
  • Beneficios del Monopolio (BM): B(4) = (120 – 90) * 4 = 30 * 4 = 120

3.3. Intervención del Ayuntamiento: Precio Igual al Coste Marginal (Competencia Perfecta)

El ayuntamiento del pueblo considera que este volumen de distribución es demasiado bajo y decide intervenir, obligando al monopolio a cobrar un precio igual al coste marginal (P = CMg(X)). En este régimen, la empresa se comportaría como precio aceptante y no utilizaría su poder de mercado en la fijación del precio.

  • 200 – 20X = 40
  • 160 = 20X
  • Cantidad Producida en Competencia Perfecta (XCP): XCP = 8

El precio que fijará para esta cantidad producida en régimen de competencia perfecta vendrá determinado por la demanda:

  • PCP = 200 – 20X
  • Precio en Competencia Perfecta (PCP): PCP = 200 – 20 * 8 = 40

El nivel de beneficios que obtendrá será:

  • B(X) = P * X – CT(X) = [P – CTMe(X)] * X
  • Calculamos CTMe(8) = 40 + 200/8 = 40 + 25 = 65
  • Beneficios en Competencia Perfecta (BCP): B(8) = (40 – 65) * 8 = -25 * 8 = -200

Implicación: Esta solución supondría que el ayuntamiento debería financiar estas pérdidas (200 unidades monetarias) si no quiere que la empresa deje de producir, ya que la empresa incurriría en pérdidas significativas.

3.4. Intervención del Ayuntamiento: Precio Igual al Coste Total Medio (Beneficio Cero)

Si el ayuntamiento no quiere incurrir en ningún gasto, la solución alternativa sería permitir a la empresa que produjese la cantidad tal que el precio iguala al coste total medio (P = CTMe(X)), lo que implica un beneficio cero para la empresa.

  • 200 – 20X = 40 + 200/X
  • Multiplicando toda la ecuación por X para eliminar el denominador: 200X – 20X2 = 40X + 200
  • Reorganizando la ecuación a la forma cuadrática aX2 + bX + c = 0: 20X2 – 160X + 200 = 0
  • Dividiendo por 20 para simplificar: X2 – 8X + 10 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general X = [-b ± sqrt(b2 – 4ac)] / 2a:

  • X = [8 ± sqrt((-8)2 – 4 * 1 * 10)] / (2 * 1)
  • X = [8 ± sqrt(64 – 40)] / 2
  • X = [8 ± sqrt(24)] / 2
  • X = [8 ± 4.8989…] / 2
  • Se obtienen dos soluciones: X1 = (8 + 4.8989) / 2 ≈ 6.45 y X2 = (8 – 4.8989) / 2 ≈ 1.55.

Se elige la cantidad mayor (X = 6.45) que es económicamente relevante en este contexto, ya que la alternativa de 1.55 sería una cantidad todavía menor que la de monopolio y no cumpliría el objetivo de aumentar la distribución.

  • Cantidad Producida (X): X = 6.45

Para X = 6.45:

  • CTMe(6.45) = 40 + 200 / 6.45 ≈ 40 + 31.01 = 71.01
  • P = 200 – 20 * 6.45 = 200 – 129 = 71
  • Beneficios (B): B(6.45) = (71 – 71.01) * 6.45 ≈ 0 (El beneficio es aproximadamente cero debido a los redondeos).

Caso Práctico 4: Monopolio con Costes Cuadráticos y Demanda Lineal (Repetición del Caso 2)

Este caso es idéntico al Caso Práctico 2, presentando un monopolio con la función de costes: CT(X) = 10X2 + 100X + 300 y una función de demanda: P = 400 – 10X. Se repiten los cálculos para asegurar la completitud del documento.

4.1. Derivación de Funciones Clave

  • Función de Ingreso Total (IT): IT(X) = P(X) * X = (400 – 10X) * X = 400X – 10X2.
  • Función de Ingreso Marginal (IMg): IMg(X) = d(IT)/dX = 400 – 20X.
  • Función de Coste Marginal (CMg): CMg(X) = d(CT)/dX = 20X + 100.
  • Función de Coste Total Medio (CTMe): CTMe(X) = CT(X) / X = (10X2 + 100X + 300) / X = 10X + 100 + 300/X.

4.2. Maximización de Beneficios en Monopolio

Si el objetivo de este monopolio es conseguir máximos beneficios, la elección de X se da cuando IMg(X) = CMg(X).

  • 400 – 20X = 20X + 100
  • 300 = 40X
  • Cantidad Producida por el Monopolio (XM): XM = 300 / 40 = 7.5

El precio al que venderá el monopolio se determina mediante la función de demanda:

  • PM = 400 – 10X
  • Precio de Monopolio (PM): PM = 400 – 10 * 7.5 = 325

El nivel de beneficios obtenido será:

  • B(X) = IT(X) – CT(X) = P * X – [10X2 + 100X + 300]
  • B(7.5) = 325 * 7.5 – [10 * (7.5)2 + 100 * (7.5) + 300]
  • B(7.5) = 2437.5 – [10 * 56.25 + 750 + 300]
  • B(7.5) = 2437.5 – [562.5 + 750 + 300]
  • Beneficios del Monopolio (BM): B(7.5) = 2437.5 – 1612.5 = 825

4.3. Intervención del Monopolio: Solución de Competencia Perfecta

Se considera que este monopolio es intervenido y obligado a fijar una solución eficiente de competencia perfecta. En competencia perfecta, el precio está dado y no depende de X, y el ingreso marginal corresponde al precio (IMg = P). La maximización de beneficios se da cuando P = CMg(X).

  • 400 – 10X = 20X + 100
  • 300 = 30X
  • Cantidad Producida en Competencia Perfecta (XCP): XCP = 300 / 30 = 10 (Se produce una cantidad mayor que en monopolio).

El precio al que venderá se determina mediante la función de demanda:

  • PCP = 400 – 10X
  • Precio en Competencia Perfecta (PCP): PCP = 400 – 10 * 10 = 300 (Se vende a un precio inferior que en monopolio).

El nivel de beneficios obtenido será:

  • B(X) = IT(X) – CT(X) = P * X – [10X2 + 100X + 300]
  • B(10) = 300 * 10 – [10 * (10)2 + 100 * (10) + 300]
  • B(10) = 3000 – [10 * 100 + 1000 + 300]
  • B(10) = 3000 – [1000 + 1000 + 300]
  • Beneficios en Competencia Perfecta (BCP): B(10) = 3000 – 2300 = 700

Comparación: La cantidad producida en competencia perfecta (10) es mayor que en monopolio (7.5). El precio en competencia perfecta (300) es inferior al de monopolio (325). Los beneficios en competencia perfecta (700) son menores que en monopolio (825).

Caso Práctico 5: Monopolio de Suministro de Electricidad (Villaluz)

El coste del suministro de electricidad en el pueblo de Villarriba, por parte de la empresa concesionaria Villaluz, se describe por la función: CT(X) = 200X + 1000, donde X son los Megavatios distribuidos y 1000 es el coste de las instalaciones. La demanda de electricidad viene descrita por la siguiente expresión: P = 1000 – 100X.

5.1. Derivación de Funciones Clave

  • Función de Coste Marginal (CMg): CMg(X) = d(CT)/dX = 200 (constante). Esto indica que el coste de distribución de un megavatio es siempre el mismo.
  • Función de Coste Total Medio (CTMe): CTMe(X) = CT(X) / X = (200X + 1000) / X = 200 + 1000/X (decreciente). La función de costes totales tiene un coste fijo (coste hundido) que se diluye a medida que aumenta la cantidad producida.
  • Función de Ingreso Total (IT): IT(X) = P(X) * X = [1000 – 100X] * X = 1000X – 100X2.
  • Función de Ingreso Marginal (IMg): IMg(X) = d(IT)/dX = 1000 – 200X.

5.2. Escenario de Monopolio sin Intervención

En régimen de monopolio, la empresa conoce la función de demanda y la incorpora en su función de beneficios. La maximización de beneficios implica fijar la cantidad a producir de acuerdo con el criterio IMg(X) = CMg(X).

  • 1000 – 200X = 200
  • 800 = 200X
  • Cantidad Producida por el Monopolio (XM): XM = 4

El precio que fijará para esta cantidad producida en régimen de monopolio vendrá determinado por la demanda:

  • P = 1000 – 100X
  • Precio de Monopolio (PM): PM = 1000 – 100 * 4 = 600

El nivel de beneficios que obtendrá será:

  • B(X) = P * X – CT(X) = [P – CTMe(X)] * X
  • Calculamos CTMe(4) = 200 + 1000/4 = 200 + 250 = 450
  • Beneficios del Monopolio (BM): B(4) = (600 – 450) * 4 = 150 * 4 = 600

5.3. Intervención del Ayuntamiento: Precio Igual al Coste Marginal (Competencia Perfecta)

El ayuntamiento del pueblo considera que este volumen de distribución es demasiado bajo y decide intervenir, obligando al monopolio a cobrar un precio igual al coste marginal (P = CMg(X)). En este régimen, la empresa se comportaría como precio aceptante y no utilizaría su poder de mercado en la fijación del precio.

  • 1000 – 100X = 200
  • 800 = 100X
  • Cantidad Producida en Competencia Perfecta (XCP): XCP = 8

El precio que fijará para esta cantidad producida en régimen de competencia perfecta vendrá determinado por la demanda:

  • PCP = 1000 – 100X
  • Precio en Competencia Perfecta (PCP): PCP = 1000 – 100 * 8 = 200

El nivel de beneficios que obtendrá será:

  • B(X) = P * X – CT(X) = [P – CTMe(X)] * X
  • Calculamos CTMe(8) = 200 + 1000/8 = 200 + 125 = 325
  • Beneficios en Competencia Perfecta (BCP): B(8) = (200 – 325) * 8 = -125 * 8 = -1000

Implicación: Esta solución supondría que el ayuntamiento debería financiar estas pérdidas (1000 unidades monetarias) si no quiere que la empresa deje de producir, ya que la empresa incurriría en pérdidas significativas.

5.4. Intervención del Ayuntamiento: Precio Igual al Coste Total Medio (Beneficio Cero)

Si el ayuntamiento no quiere incurrir en ningún gasto, la solución alternativa sería permitir a la empresa que produjese la cantidad tal que el precio iguala al coste total medio (P = CTMe(X)), lo que implica un beneficio cero para la empresa.

  • 1000 – 100X = 200 + 1000/X
  • Multiplicando toda la ecuación por X para eliminar el denominador: 1000X – 100X2 = 200X + 1000
  • Reorganizando la ecuación a la forma cuadrática aX2 + bX + c = 0: 100X2 – 800X + 1000 = 0
  • Dividiendo por 100 para simplificar: X2 – 8X + 10 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general X = [-b ± sqrt(b2 – 4ac)] / 2a:

  • X = [8 ± sqrt((-8)2 – 4 * 1 * 10)] / (2 * 1)
  • X = [8 ± sqrt(64 – 40)] / 2
  • X = [8 ± sqrt(24)] / 2
  • X = [8 ± 4.8989…] / 2
  • Se obtienen dos soluciones: X1 = (8 + 4.8989) / 2 ≈ 6.45 y X2 = (8 – 4.8989) / 2 ≈ 1.55.

Se elige la cantidad mayor (X = 6.45) que es económicamente relevante en este contexto, ya que la alternativa de 1.55 sería una cantidad todavía menor que la de monopolio y no cumpliría el objetivo de aumentar la distribución.

  • Cantidad Producida (X): X = 6.45

Para X = 6.45:

  • CTMe(6.45) = 200 + 1000 / 6.45 ≈ 200 + 155.04 = 355.04
  • P = 1000 – 100 * 6.45 = 1000 – 645 = 355
  • Beneficios (B): B(6.45) = (355 – 355.04) * 6.45 ≈ 0 (El beneficio es aproximadamente cero debido a los redondeos).