Desarrollo del Pensamiento Lógico-Matemático en Educación Infantil: Conceptos Clave y Adquisición de Habilidades

El Conocimiento Espacial y Geométrico en la Infancia

El ámbito del conocimiento espacial y geométrico se construye a partir del espacio corporal que el niño edifica, la estructuración espacial y los sistemas de referencia. En primer lugar, los niños y niñas, a edades tempranas, comienzan a ser conscientes de su propio cuerpo y de las partes que lo componen; es aquí donde se desarrolla el espacio corporal. Al principio, irán adquiriendo conciencia de las partes de su cuerpo desde la cabeza hasta los pies. Más tarde, el niño será consciente del espacio que ocupa cada una de sus partes corporales, luego comprenderá los movimientos y acciones que cada una realiza y, finalmente, tendrá conciencia del espacio corporal completo.

Posteriormente, el niño obtendrá conocimiento de la estructuración espacial, la cual se compone de la orientación espacial y la organización espacial. La primera se refiere a la comprensión del niño de su pertenencia a un contexto y el espacio que ocupa, mientras que la segunda alude a la conciencia del espacio que ocupan los objetos en dicho contexto.

Etapas del Desarrollo Espacial según Piaget

Piaget describe dos periodos fundamentales en la construcción del conocimiento espacial en la infancia:

• Periodo Sensoriomotor (0-2 años): En esta etapa, desde el nacimiento hasta los 4-5 meses, el niño adquiere las relaciones topológicas, aunque con una falta de conservación. Más tarde, hasta los 10-12 meses, el niño adquiere las relaciones proyectivas y euclidianas.

• Periodo Preoperacional (2-7 años): En este periodo, el niño va adquiriendo las nociones espaciales. Para Piaget, el descubrimiento de los conceptos topológicos se desarrolla antes que los conceptos proyectivos y euclidianos.

Relaciones Topológicas

Las relaciones topológicas que los niños adquieren son:

• Recinto: Conceptos como “dentro”, “fuera”, “borde”, “abierto”, “cerrado”, “en”.
• Separación: Conocimiento de la relación parte-todo en el espacio (por ejemplo, que el niño sepa distinguir y apreciar la mitad de un objeto, sabiendo que pertenece a su totalidad; o que pueda distinguir una zona del espacio sabiendo que es una parte del total de este).
• Proximidad: Nociones como “cerca”, “lejos”, “junto a”, “al lado de”, “sobre”.
• Orden: Relaciones como “al lado de” y “entre”.
• Continuidad: Capacidad de percibir el espacio como algo continuo, donde múltiples caminos pueden conducir al mismo punto (por ejemplo, reconocer que una ruta indirecta puede llevar al mismo destino que una línea recta).

Relaciones Proyectivas y Euclidianas

Una vez adquiridas las relaciones topológicas, comienza la adquisición de las relaciones proyectivas, donde los objetos conservan su forma a pesar de los cambios de posición, y las relaciones euclidianas, en las que los objetos mantienen su tamaño a pesar de las variaciones de distancia.

Sistemas de Referencia

Finalmente, se aprecian los sistemas de referencia que, para Piaget e Inhelder, se aplican tanto a las posiciones dentro de una red como a los objetos que ocupan dichas posiciones. Esto posibilita que las posiciones se mantengan invariables e independientes del desplazamiento potencial de los objetos, divididos en ejes verticales y horizontales. Un sistema de referencia implica ser consciente de la posición de los objetos en horizontal y vertical, y comprender que el cambio de un objeto que contenga, por ejemplo, líquido, según si está en vertical u horizontal, hará que el líquido cambie de espacio dentro del objeto.

Una vez que el niño comprende y adquiere la conservación de la materia, a pesar de los cambios verticales y horizontales que se produzcan, habrá alcanzado el conocimiento espacial y geométrico.

El Conocimiento Lógico

El ámbito del conocimiento lógico se construye a partir de la agrupación de objetos, de los cuales se abstraen sus atributos cualitativos. Este proceso inicial conforma el conocimiento físico y social. Mediante la abstracción de atributos cualitativos, los objetos pueden relacionarse por sus semejanzas y diferencias, dando lugar a las relaciones de equivalencia, orden y seriación.

Ordenación

La ordenación se refiere a las relaciones de orden establecidas a partir de las diferencias entre objetos. La identificación de estas diferencias establece un orden de sucesión, y su agrupación conforma una seriación (cualitativa en este caso). Así, puede establecerse un orden de sucesión por la gradación de una determinada cualidad (por ejemplo, ordenar tonalidades de un color, de menos oscuro a más oscuro).

Seriación

La seriación se define como una colección de objetos o símbolos organizados en un orden específico, establecido por un patrón convencional que se repite un número determinado de veces. El patrón de la seriación no tiene que tener necesariamente una lógica interna; puede ser arbitrario o seguir alguna propiedad. La lógica reside en la repetición de dicho patrón con un criterio determinado (ya sea directamente o aplicando alguna transformación), un número finito o infinito de veces.

Relaciones de Semejanza y Diferencia

Además, es fundamental mencionar las distintas relaciones de semejanza y diferencia:

• Las de equivalencia, también conocidas como clasificación, se basan en que el niño relacione los objetos a partir de sus semejanzas. Esta relación se caracteriza por ser:

  • Reflexiva: Todos los objetos están relacionados consigo mismos.
  • Simétrica: Si un objeto A está relacionado con un objeto B, entonces B también está relacionado con A.
  • Transitiva: Si un objeto A está relacionado con B, y B está relacionado con otro objeto C, entonces A y C mantienen una relación.

• Las de orden se basan en establecer una sucesión de objetos a partir de sus diferencias. Se caracterizan por ser:

  • Antirreflexiva: Ningún objeto está relacionado consigo mismo.
  • Antisimétrica: Si A está relacionado con B, B no está relacionado con A (a menos que A=B).
  • Transitiva: Si A está relacionado con B, y B está relacionado con C, entonces A y C están relacionados entre sí.

  Es importante tener en cuenta que un orden sí puede ser una serie; por ejemplo, ordenar palos de menor a mayor también es una serie porque el patrón será pequeño-grande-pequeño-grande y así sucesivamente.

• Las de seriación se basan en ordenar objetos a partir de sus diferencias y siguiendo un patrón repetitivo (por ejemplo, seriar fichas de colores con un patrón marrón-amarillo y así sucesivamente). Es importante notar que una serie no siempre constituye un orden estricto.

Conocimiento Lógico-Matemático: Operaciones

Con la abstracción de atributos cualitativos, se puede comenzar a operar, lo que conforma la parte del conocimiento lógico-matemático. Dicha operación se inicia a partir de las transformaciones de los objetos, gracias a las cuales se establece la correspondencia. Esta permite describir, modelizar, explicar y representar dichas transformaciones, siendo fundamental para entender el cambio producido. A partir de esta correspondencia, que explica y argumenta la transformación, se pueden conocer las aplicaciones, las cuales se dividen en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

La Correspondencia y sus Aplicaciones

En cuanto a la correspondencia, deben existir conjuntos inicial (I) y final (F) no vacíos. Se denomina correspondencia entre I y F a toda operación, ley, norma o criterio que asocia los elementos de I con los elementos de F.

Una aplicación es una correspondencia que a cada elemento del conjunto inicial le hace corresponder uno y solo un elemento del conjunto final (es decir, todos los elementos del conjunto inicial deben estar relacionados con un único elemento del conjunto final).

• Aplicación inyectiva: Para cada dos elementos distintos del conjunto inicial, se relacionan con dos elementos distintos del conjunto final.
• Aplicación sobreyectiva: Cuando para todos los elementos del conjunto final existe al menos un elemento del conjunto inicial que se relaciona con él.
• Aplicación biyectiva: Es aquella que es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.

Lógica Proposicional y de Clases

La lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. Trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores o variables interpretables como entidades. Dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.

Algunos conectores lógicos comunes son:

• Negación (no): Ej. «No está lloviendo».
• Conjunción (y): Ej. «Está lloviendo y está nublado».
• Disyunción (o): Ej. «Está lloviendo o está soleado».
• Condicional (si… entonces): Ej. «Si está soleado, entonces es de día».
• Bicondicional (si y solo si): Ej. «Está nublado si y solo si hay nubes visibles».
• Negación conjunta (ni… ni): Ej. «Ni está soleado ni está nublado».
• Disyunción exclusiva (o bien… o bien): Ej. «O bien está soleado, o bien está nublado».

Lógica de Clases

La lógica de clases se ocupa de las relaciones entre conjuntos de objetos o categorías. Permite comprender cómo se agrupan los elementos y cómo se relacionan estas agrupaciones entre sí. Conceptos clave incluyen:

• Inclusión de clases: Cuando todos los miembros de una clase son también miembros de otra clase más grande (ej., todas las manzanas son frutas).
• Clases disjuntas: Cuando dos clases no tienen ningún miembro en común (ej., perros y gatos).
• Intersección de clases: Cuando dos clases comparten algunos miembros (ej., animales que vuelan y animales que ponen huevos, cuya intersección serían las aves).

Interconexión de los Conocimientos Lógico, Espacial y Magnitudinal

El conocimiento lógico se interrelaciona con otras áreas del saber. Una vez que los niños construyen las operaciones lógicas, desarrollan la capacidad para comprender la cuantificación, la numeración y las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), lo que marca el inicio del conocimiento lógico-aritmético.

Asimismo, este conocimiento, a través de las características cualitativas, las clasificaciones, la ordenación y la seriación, permite al niño tomar conciencia del espacio que ocupa y del espacio que ocupan los demás objetos. También le ayuda a comprender la conservación de los objetos respecto a su posición y distancia, y a entender la forma geométrica de los mismos, lo que da origen al conocimiento espacial y geométrico.

Finalmente, se alcanza el conocimiento magnitudinal y su medida. Gracias a la comprensión de la conservación de la forma del objeto, sus aspectos cualitativos, la conciencia de la cuantía y las operaciones matemáticas, los niños pueden empezar a medir objetos, incluyendo su peso, tamaño, volumen o capacidad.

Ámbito del Conocimiento Aritmético

Cuando un niño interactúa con un grupo de objetos, realiza una abstracción de sus atributos cuantitativos discretos, lo que le permite establecer relaciones basadas en semejanzas y diferencias. La agrupación lógica de la clasificación se basa en la reunión de los objetos equivalentes en clases de equivalencia, y de las clases entre sí. Las clases de equivalencia poseen tres propiedades:

• Reflexiva: Cada objeto de la agrupación está relacionado consigo mismo.
• Simétrica: Si un objeto A de la agrupación está relacionado con un objeto B, entonces B también está relacionado con A.
• Transitiva: Si un objeto A de la agrupación está relacionado con un objeto B, y este objeto B está relacionado con un objeto C, entonces el objeto A también está relacionado con el objeto C.

Se puede hablar de clases cuando el niño es capaz de establecer relaciones de similitud (cualidades comunes de los objetos de una misma clase, ej., todas son frutas) o relaciones de alteridad (cualidades diferentes entre objetos, ej., diferencias entre manzanas y naranjas, aunque ambas sean frutas). Otro tipo de relación es la de inclusión, que se refiere a la relación entre una subclase (ej., manzanas o naranjas) y la clase en la que está incluida (ej., frutas). Además, se establece una cuantificación de inclusión, que son las relaciones cuantitativas entre subclases y las clases que las contienen (ej., todas las manzanas son frutas).

Los cuantificadores indican la cantidad de veces que una propiedad o cualidad se encuentra dentro de una determinada clase o agrupación (ej., pertenencia, equivalencia u orden).

El reconocimiento de atributos implica identificar, definir y/o reconocer cualidades sensoriales (color, grosor, textura, olor, sonido, temperatura, etc.) mediante la observación de las características físicas de los objetos.

Para que el niño adquiera el conocimiento aritmético, debe haber desarrollado previamente el concepto de cantidad. Esto le permitirá primero contar, luego realizar operaciones y, finalmente, adquirir el símbolo, la grafía, el numeral y el signo.

La Adquisición del Conteo

La primera adquisición del niño en el conocimiento aritmético es el conteo. Para lograrlo, el niño debe desarrollar previamente: la cantinela, la enumeración, el uso de palabras-número y las técnicas de conteo.

La técnica del conteo es el medio por el cual el niño representa el número de elementos de un conjunto dado y razona sobre las cantidades y las transformaciones realizadas. Es una actividad crucial para la adquisición del concepto de número. Cabe destacar que esta es una crítica común a la escuela de Piaget, que le otorga menor importancia al conteo. El conteo está estrechamente ligado al desarrollo cognitivo y el dominio de esta habilidad permite generar la serie de palabras-número.

Existe también un tipo de conteo llamado conteo súbito (subitización). Consiste en determinar la cantidad de objetos en una colección de forma instantánea, sin necesidad de un conteo consciente. Este tipo de conteo aparece en los niños desde edades muy tempranas, a partir de los 5 meses. También es posible un procedimiento mixto que combine la subitización de una pequeña cantidad con el conteo de los elementos restantes (ej., 5+2 para el 7). Los números que pueden ser reconocidos a través del conteo súbito se denominan números perceptivos o visuales.

Enumerar consiste en hacer corresponder la palabra-número con un grupo de objetos, comenzando con cantidades pequeñas y progresando hacia las más grandes. Una vez que el niño sabe contar, ya está familiarizado con el sistema de numeración.

El Sistema de Numeración y Operaciones

En Educación Infantil, predomina la numeración oral, dado que los niños en esta etapa suelen escribir, leer y reconocer números aislados. El paso de una decena a otra es un punto de especial dificultad, con confusiones frecuentes entre el 60 y el 70, así como entre las decenas y las unidades.

Una vez que los niños comprenden las transformaciones, comienzan a operar, es decir, a sumar, restar, multiplicar y dividir:

• Sumar: Transformar el valor cuantitativo de un conjunto añadiendo elementos.
• Restar: Transformar el valor cuantitativo de un conjunto sustrayendo elementos.
• Multiplicar: Asociar la multiplicación con la acción repetida de grupos de igual tamaño.
• Dividir: Distribuir objetos reales en partes iguales.

Cardinalidad y Ordinalidad

• Cardinal: Se basa en la acción de contar, estableciendo una correspondencia entre los numerales y una serie de objetos. Al contar una serie de objetos, se les asignan etiquetas que dan lugar a una ordenación.
• Ordinal: Se basa en la coordinación de conjuntos, a partir del establecimiento de una relación de orden entre los números. La serie numérica se puede construir mediante dos procedimientos: I) a partir de la relación de orden definida, y II) identificando «el siguiente de» con el incremento de un elemento en el conjunto (ej., «el segundo boli»).

Después de adquirir las operaciones, los niños podrán aplicar algoritmos, que son diferentes estrategias que utilizan para realizar dichas operaciones.

Aunque la aplicación formal de algoritmos complejos se realiza en Educación Primaria, la enseñanza de las habilidades aritméticas en Educación Infantil debe fomentar la comprensión de los conceptos matemáticos, no limitarse al aprendizaje memorístico de procedimientos y datos. Una vez que los niños han adquirido el sistema de numeración y los algoritmos básicos, son capaces de comunicar la correspondencia entre el número y el signo, es decir, pueden decir «uno» y relacionarlo con su grafía. Cuando el niño adquiere todos los aspectos mencionados, habrá consolidado el ámbito del conocimiento aritmético.

Ámbito del Conocimiento Magnitudinal y su Medida

En cuanto al conocimiento magnitudinal y su medida, lo primero que debemos conocer son las magnitudes existentes:

• Peso: Es la fuerza con que la Tierra atrae un cuerpo, por la acción de la gravedad.
• Longitud: Es la dimensión de una línea o un cuerpo considerando su extensión en línea recta.
• Volumen: Es el espacio que ocupa un cuerpo.
• Capacidad: Es la propiedad de poder contener cierta cantidad de alguna cosa hasta un límite determinado.
• Tiempo: Es una magnitud física con la que medimos la duración o separación de acontecimientos sujetos a cambios.
• Dinero: Es el conjunto de monedas y billetes que se usan como medio legal de pago.

Por otro lado, la temperatura es diferente al resto, ya que no cumple las características comunes, es decir, no se puede ni contar ni operar con ella de la misma manera.

Características de las Magnitudes

La principal característica de estas magnitudes es que se pueden medir y asignarles un valor numérico. Para ello, se utilizan instrumentos de medida como la balanza, el metro o el cronómetro. Además, todas tienen una unidad de medida definida: el peso en gramos (o kilogramos), la longitud en metros (o centímetros), el volumen en metros cúbicos (o centímetros cúbicos), la capacidad en litros (o mililitros), el tiempo en segundos (o minutos, horas) y el dinero dependerá del lugar donde nos encontremos. Otra característica es que se puede operar con ellas, realizando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Finalmente, tienen también como característica común que se puede cuantificar una cantidad de la magnitud.

Enseñanza de la Medición en Educación Infantil

En Educación Infantil, para que los niños trabajen este ámbito y comprendan la medida, es fundamental evitar el trabajo exclusivo con fichas. Se recomienda que manipulen objetos, realicen comparaciones y utilicen diferentes instrumentos de medida, priorizando experiencias reales y relacionadas con su entorno y vida cotidiana.

Principios para la Enseñanza de la Medición

Los principios que se recomiendan para la enseñanza de la medición son:

• La medición como percepción: Aunque la mayoría de los niños tienen experiencias que les permiten desarrollar la percepción del mundo que les rodea, esta no se desarrolla de forma sistemática. El educador debe exponer a los niños a múltiples estímulos y propiedades de los objetos que puedan ser medidos (ej., medirse a sí mismos).
• La medición como comparación: Una vez percibida una propiedad de un objeto, de forma natural se compara con otros objetos que poseen la misma propiedad (ej., dibujar el contorno de su mano y compararla con la de otros).
• La medición como búsqueda de un referente: Se necesita un estándar de medida, un referente que pueda ser utilizado de forma sucesiva y al que se pueda recurrir en cualquier momento.
• La medición como un sistema: Un sistema que organice y sistematice los referentes estándar, aplicado a la experiencia educativa de los niños. Cuando esto ocurre, podemos afirmar que el niño ha aprendido a medir.
• La medición como una actividad afectiva: Los niños apreciarán el papel que la medición juega en sus vidas y en la sociedad, y disfrutarán siendo capaces de medir por sí mismos. La satisfacción de medir correctamente es otra característica importante.
• La medición como una actividad práctica: Se requieren actividades que permitan a los niños manipular los materiales.

Estos principios persiguen una serie de objetivos: que los niños sean capaces de percibir las propiedades de los objetos a medir y compararlos con otros similares; que una medida no estándar conveniente sea el primer referente de comparación y, posteriormente, sea sustituida por un referente estándar aceptado; que comprendan el sistema internacional de medida; que relacionen la medida con sus vidas y la sociedad; que usen la medida con precisión y eficacia; y que desarrollen la habilidad de medir desde la infancia.

Proceso de Medición

En el proceso de medición, debemos observar, definir e identificar un atributo cuantitativo continuo. Para ello, es crucial distinguir entre atributos continuos (ej., harina, agua, arena, que son incontables) y discretos (ej., una mesa, un caramelo, que sí se pueden contar). Cuando nos fijamos en el atributo cuantitativo continuo, nos estamos fijando en la magnitud, lo que recibe el nombre de magnitudes extensibles (medibles). Establecemos semejanzas y diferencias, lo que nos lleva a establecer relaciones de equivalencia (ej., elefante-gato). Esto permite clasificar y agrupar lo que llamaremos cantidad de magnitud. La pregunta «¿cuánto?» requiere el uso de un instrumento de medida: ¿cuánto mide?, ¿cuánto pesa?, etc.

Es fundamental saber cuál es la magnitud que se desea medir y qué instrumento utilizar. El resultado final puede variar según la unidad de medida empleada, por lo que esta debe ser consistente. De este modo, se convierte un atributo cuantitativo continuo en discreto.

Estadios de Desarrollo de la Comprensión del Proceso de Medida en el Niño

• Estadio inicial.
• Estadio en el que empieza a emerger la conservación y la transitividad.
• Estadio caracterizado por el inicio de la conservación operacional y transitividad.
• Estadio en el que se capta la idea de unidad de medida más pequeña que el objeto que hay que medir.

En las etapas iniciales del desarrollo cognitivo, los niños pueden presentar características como el egocentrismo intelectual irreversible (no se dan cuenta del proceso de transformación), la falta de conservación (no comprenden que, aunque la posición o distancia del objeto cambie, este sigue conservando su materia; ej., un niño observa un balón y, al verlo más lejos, piensa que ha reducido su tamaño), la primacía de la percepción (el niño no comprende que la equivalencia en los objetos es la misma; por ejemplo, si se le muestran dos filas de 6 caramelos alineados y luego se separan los caramelos de una fila, el niño dirá que hay más caramelos en la fila más larga porque percibe mayor extensión), y el paso de una centración simple a dos centraciones sucesivas (un niño pequeño, al comparar dos vasos con la misma cantidad de agua, uno alto y estrecho y otro bajo y ancho, pensará que hay más agua en el vaso más alto).

Por último, debemos destacar que, para los adultos, medir implica aplicar una unidad de medida de forma sistemática. Sin embargo, para los niños no es tan sencillo, ya que la propiedad de la transitividad (si A está relacionado con B y B está relacionado con C, entonces A y C estarán relacionados) es costosa de entender y aplicar en sus primeras etapas de desarrollo.