Conceptos Matemáticos Clave y su Desarrollo en la Infancia
Ámbito Lógico
El conocimiento de base que debe poseer el alumnado para enfrentarse a la situación es el conocimiento lógico-matemático. Este es la capacidad de establecer relaciones entre los objetos a partir de la experiencia directa con estos, que favorece la organización del pensamiento. Para desarrollar dicho conocimiento es importante la relación con el medio y el desarrollo de los esquemas mentales.
Todo esto comienza en la etapa preoperacional (2-7 años), en la cual es importante el pensamiento simbólico (2-4 años), que se relaciona con la manipulación de los objetos, y el pensamiento intuitivo (4-7 años), que se desarrolla a partir de la experiencia propia y la percepción del entorno.
Por otro lado, como dice Piaget, el desarrollo de dicho conocimiento tiene que ver con el conocimiento físico (manipulación) y el conocimiento social (interacción), a partir de los cuales se crea el conocimiento lógico-matemático y el desarrollo de la lógica formal, estableciendo un proceso de adaptación (relación asimilación-acomodación, logrando un equilibrio).
Además, el conocimiento se construye de manera espiral, existiendo una relación entre la construcción de conceptos más simples a más complejos, modificando conocimientos previos e incorporando nuevos conceptos. Es así como se desarrollan las estructuras mentales del niño, comenzando con el conocimiento físico y social (abstracción de atributos cualitativos de los grupos de objetos) y finalizando con el conocimiento lógico-matemático (se extraen las semejanzas y diferencias de los atributos y se comienza a clasificar, seriar, ordenar y operar).
Ámbito Espacial y Geométrico
Este ámbito se basa en el conocimiento del espacio y la forma. Se comienza con la construcción de las relaciones espaciales: el niño comienza a conocer su propio esquema corporal.
Más tarde, conoce las relaciones topológicas, que se basan en la posición del objeto en el espacio, dándose la proximidad, separación u orden de los objetos (abierto, cerrado, cerca, etc.).
Finalmente, establece las relaciones proyectivas (conservación de las formas de los objetos independientemente de su posición) y euclidianas (conservación de la distancia y ángulos de los objetos: delante, detrás, arriba, abajo, etc.).
Una vez construidas las relaciones espaciales, se da la estructuración espacial, en la que el niño organiza el espacio a partir de sus experiencias y su desarrollo en él. Es así como se da la orientación espacial (orienta su propio cuerpo en el espacio) y la organización espacial (organización de los objetos en el espacio). La relación entre organización y orientación da lugar al sistema de referencia (espacio corporal).
La geometría se basa en la posición (lugar de los objetos en el espacio: dentro, fuera, delante, derecha, etc.), la forma (nociones geométricas de los objetos) y los cambios de posición y forma (distintas transformaciones geométricas que se dan en el espacio: giros y simetrías). Las primeras formas geométricas son: el círculo, cuadrado, triángulo y rectángulo (se aprende a partir de las dimensiones del cuadrado).
Ámbito Magnitudinal y Medida
Las magnitudes que existen son: peso, longitud, capacidad, volumen, tiempo y temperatura. Todas ellas se pueden medir, tienen un valor numérico, cada una tiene una unidad de medida y se puede operar con ellas. En cambio, la temperatura no se puede ni contar ni operar.
Para aprender las magnitudes, los niños pasan por dos fases:
- De iniciación: reconocer y comprender el atributo mensurable; primero se da una discriminación perceptiva de las magnitudes, luego las relacionan a partir de comparaciones de semejanza y diferencia, más tarde las agrupan y por último las clasifican, serian u ordenan.
- Práctica: iniciación a la cuantificación de una medida; conocer las distintas unidades de medida.
El proceso de medición se basa en medir las cantidades de las diferentes magnitudes: primero identifica un atributo cuantitativo, es decir, se fija en la magnitud (magnitud medible) y luego obtiene las semejanzas y diferencias, clasifica los objetos según sus cantidades y, para saber las cantidades exactas, utiliza un instrumento de medida en relación a la magnitud que se quiere medir.
Ámbito Aritmético
El ámbito aritmético es el último ámbito debido a que este engloba el resto de nociones y, por lo tanto, es el más complejo. Una de las habilidades básicas de los niños es aprender a contar, y estos son los esquemas cognitivos básicos que el niño deberá desarrollar a partir de las relaciones con el medio.
El ámbito numérico y el cálculo, además, tienen relación con la resolución de problemas, la estadística y la probabilidad. El niño comienza a comprender el número a partir de las diferencias con las cantidades de objetos. Esto hace que el niño clasifique y serie cantidades, dando lugar a la cuantificación numérica. Por último, realiza operaciones aritméticas, dándose finalmente el concepto de número.
Principales Competencias Cuantitativas (0-6 años)
Cuantificar significa estimar, contar y operar.
Estimación
Se realizan estimaciones numéricas, intentando saber cuántos objetos hay en una agrupación. Primero se estima de manera visual a partir de la percepción, luego se representa numéricamente (recta numérica) y más tarde se opera con la estimación.
Contar
Es un procedimiento en el que se asigna a cada objeto de una colección un término numérico; primero tienen que saber estimar para que se produzca el conteo. Los niños observan la cantidad de objetos de manera intuitiva (estiman), luego realizan una correspondencia entre objetos y números y, finalmente, obtienen la cantidad numérica.
Para que el proceso de contar se dé de manera adecuada, primero los niños deben tener bien comprendido el orden de los números en la secuencia numérica; después, a cada objeto le corresponde un número de esa secuencia; también se da el principio de cardinalidad, que se basa en asignar al último objeto de la colección el término numérico que responde a la cantidad total de objetos. Esto quiere decir que existe una irrelevancia de orden porque el número cardinal del grupo de objetos no depende del orden en que se encuentre cuando se cuenta. Por último, se da el principio de abstracción: cualquier grupo de objetos puede contarse.
Operar
Es un cambio o transformación de un grupo de objetos. Las operaciones aritméticas se forman a partir de la suma y la resta (estructura aditiva) y la multiplicación y división (estructura multiplicativa).
Para que se den de manera adecuada, primero los niños comprenden que operar significa transformar cantidades; luego, comprenden la función de estas operaciones y cuándo se utilizan y, por último, aprenden el aspecto técnico de las operaciones (algoritmos +, -, x, :).
Adquisición de los Conocimientos Numéricos
Noción de Número
El número es una palabra que designa un objeto que esté relacionado con algún cálculo o cantidad. Esta noción se construye junto a la clasificación y seriación y tiene relación con el razonamiento matemático. Se desarrolla de manera constructiva y por etapas. Se divide en dos aspectos: los números cardinales (contar el número de objetos que hay en un grupo: uno, dos, etc.) y los ordinales (identificar la posición del objeto con respecto a la recta numérica: primero, segundo, etc.).
Noción de Cantidad
Es el resultado final de la medida o comparación de magnitudes. Es necesario utilizar el número. Hay dos tipos: la intensiva (se basa en el número) y la extensiva (se basa en las magnitudes continuas).
También se dan dos casos de cantidades: discretas, por un lado, cuando está formada por objetos que son independientes unos de otros (p. ej., en un grupo de objetos, si se quiere aumentar su tamaño, se añade un objeto más de manera independiente); por otro lado, continua, cuando está formada por un grupo de objetos que se relacionan entre sí y forman un todo (p. ej., a la hora de querer conocer las cantidades o tamaños de dos elementos, siempre va a haber una diferencia intermedia entre ambos).
Noción de Cálculo
Es el conjunto de procedimientos que permiten obtener el resultado de una operación. Se da el cálculo aritmético, el cual se crea desde edades tempranas (suma y resta). Se distinguen dos tipos de cálculo: aprendizaje por asociación (el cálculo se introduce en la mente del niño desde el exterior y se memoriza) y aprendizaje por reestructuración (el cálculo se aprende a partir de acciones o casos prácticos relacionados con la realidad del niño).
También se dan las estrategias de cálculo: estrategias para la suma y la resta.
Cálculo Relacional
El número se utiliza para poder contar magnitudes. La suma se da para unir, juntar o agregar colecciones de magnitudes y la resta para poder separarlas. (Composición de medidas: hay tres magnitudes diferentes, la colección de magnitudes 1 y la colección de magnitudes 2, las cuales, uniéndolas, forman la magnitud 3; para la resta, la magnitud 3 menos la magnitud 1 da lugar a la magnitud 2).
Cálculo Numérico
La suma y la resta están totalmente relacionadas, porque, si queremos saber uno de los componentes numéricos de la suma, debemos restar el otro componente con el total de esta (p. ej., procedimiento canónico: 8 + …. = 14; 14 – 8 = 6). El conocimiento base del alumnado en cuanto a la suma y la resta es la enumeración, el conteo y la cardinalidad.
La Estadística
La Estadística se basa en la recogida de datos, a partir de la clasificación, ordenación y representación a través de gráficos, objetos o dibujos para luego ser interpretados. (Para que el razonamiento estadístico se desarrolle, se deben realizar proyectos sencillos; cada dato del proyecto forma parte de un todo; los alumnos deben comprender la variedad de datos, así como que los datos recogidos son una pequeña parte de un todo, y esta recogida de datos se representa a partir de tablas y gráficos).
La Probabilidad
La Probabilidad se basa en que los niños tengan que comprender conceptos relacionados con la probabilidad a partir de situaciones que estén relacionadas con la realidad. (Para que la probabilidad se dé de manera adecuada, se deben proporcionar muchas experiencias a los niños, que estos puedan predecir resultados, organicen una recogida de datos del experimento y sepan comprender el resultado).
Limitaciones del Conocimiento Lógico-Matemático en la Etapa Preoperacional
Estadio del Pensamiento Preoperacional (2-7 años aprox.)
En esta etapa, los niños comienzan a pensar de manera simbólica, es decir, construyen representaciones mentales interpretando la realidad. No obstante, se presentan ciertas limitaciones en el pensamiento del niño, como egocentrismo, centración, irreversibilidad o razonamiento transductivo. En esta etapa, el pensamiento intuitivo presenta las siguientes características:
La Formación de Conceptos
Los primeros conceptos cuantitativos los elabora el niño/a mediante parejas de contraste: “más-menos”, “muchos-pocos”, “grande-pequeño”, “alto-bajo”, “largo-corto”, etc.
Egocentrismo Intelectual
Incapacidad de percibir un objeto desde una perspectiva diferente a la suya.
Pensamiento Irreversible
La falta de movilidad intelectual que implica no poder volver al punto de partida en un proceso de transformaciones. Un objeto puede sufrir una serie de transformaciones y el niño/a solo percibe el punto de partida y el punto final, pero no recuerda el proceso de transformación del objeto.
Falta de Conservación
No puede comprender que la cantidad, continua o discreta, se conserva a pesar de las modificaciones de las configuraciones espaciales (p. ej., un niño no comprende que un trozo de plastilina formado como una bola, aunque se modifique y se ponga alargada, mantiene la misma cantidad de plastilina; el niño pensará que, al ser alargada, habrá más que antes).
Primacía de la Percepción
El niño se fía más de su percepción que de su propia lógica. (En las cantidades discontinuas; p. ej., hay dos filas de caramelos, una encima de otra, las dos con la misma cantidad, pero si en una de las dos filas los caramelos se separan un poco más, el niño creerá que, por su longitud, habrá más caramelos; en este caso, “hay más porque es más largo”). (En las cantidades continuas; p. ej., dos vasos con la misma cantidad de agua pero de diferentes tamaños; el niño pensará que hay más agua en el vaso más largo; en este caso, “hay más porque es más alto”).
Paso de una Centración Simple a Dos Centraciones Sucesivas
Al principio, se basa en centraciones simples que no están relacionadas (p. ej., “hay más porque es más alto” o “hay menos porque es más delgado”). Luego, se basa en centraciones sucesivas que tienen relación unas con otras (“hay la misma cantidad de agua: este vaso es más alto, pero más delgado”).
Razonamiento Transductivo
Este tipo de razonamiento consiste en pasar de un hecho particular a otro particular, es decir, relacionar dos hechos que no tienen nada que ver entre sí (p. ej., terminar el cole/ir al comedor; despertarse/ver los dibujos).
Teoría del Equilibrio de Piaget
La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda.
El error es entendido como una fuente de aprendizaje necesaria para producir desequilibrios. El aprendizaje, pues, no se reduce a una simple memorización. Esto supone, además, una reorganización del conocimiento de manera que los nuevos conocimientos se van integrando con los anteriores, apoyados en los procesos de asimilación y acomodación.
Se trata de aplicar el modelo facilitado por la teoría de la equilibración de Piaget.
El aprendizaje, bajo esta hipótesis, es un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el sujeto y el medio (situación-problema); por ello, la didáctica de la matemática se interesa por provocar deliberadamente desequilibrios en un determinado medio con intención de suscitar un aprendizaje concreto.
Principios de Aprendizaje
- El aprendizaje se apoya en la ACCIÓN, es decir, la manipulación de los objetos. Por lo tanto, esto engloba tanto la acción práctica como la mental. El conocimiento se construye a partir de la acción en el medio, una acción mental razonando así de manera lógica.
- El aprendizaje es un proceso de reconstrucción de un EQUILIBRIO entre el sujeto y el medio. NO ES PRODUCTO de una simple memorización. Se aprende cuando uno: se extraña, vuelve a empezar, repite, SE EQUIVOCA… El ERROR es entendido como FUENTE de aprendizaje: necesario para producir desequilibrios.
- El APRENDIZAJE PREVIO se aprende en contra de unos conocimientos anteriores. Los conocimientos previos se deben tener en cuenta para construir nuevos conocimientos mediante adaptaciones y reconstrucciones (asimilación y acomodación / aprendizaje significativo).
- Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo SOCIAL son fuente de aprendizaje. Aprendemos en círculo. Las interacciones ayudan a que estos desarrollen conflictos cognitivos (intercambio y confrontación de ideas) que facilitan la construcción del conocimiento. Exponer sus ideas, saber las de los demás y poder modificar o no sus propios pensamientos, incluyendo nuevos conceptos e información.
Principios de Enseñanza
- Hacer del aprendizaje matemático una enseñanza basada en actividades reales y significativas para los alumnos.
- Iniciar el aprendizaje impulsando las ideas previas de los niños hacia el conocimiento matemático, formal e informal.
- Encaminar el aprendizaje hacia la comprensión y la capacidad para resolver situaciones problemáticas.
- Globalizar los contenidos matemáticos con el resto de áreas del aprendizaje.
- Enfocar la enseñanza en el aprendizaje colaborativo, basado en la interacción y la cooperación entre los alumnos.
- Dar a los niños la oportunidad de exponer sus ideas con respecto a las matemáticas.
- Tener en cuenta los sentimientos que muestren los niños a la hora de afrontar el aprendizaje y el dominio de las matemáticas.
Elementos del Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP)
- Situación o problema: una o dos frases que describan el tema o problema que el proyecto busca atender o resolver.
- Descripción y propósito del proyecto: una explicación concisa del objetivo último del proyecto y de qué manera atiende este la situación o el problema.
- Especificaciones de desempeño: lista de criterios o estándares de calidad que el proyecto debe cumplir.
- Reglas: guías o instrucciones para desarrollar el proyecto. Incluyen la guía de diseño de proyectos, tiempo presupuestado y metas a corto plazo.
- Listado de los participantes en el proyecto y de los roles que se les asignaron: incluyendo los miembros del equipo, expertos, miembros de la comunidad, personal de la institución educativa.
- Evaluación: cómo se va a valorar el desempeño de los estudiantes. En el aprendizaje por proyectos, se evalúan tanto el proceso de aprendizaje como el producto final.
Sesión de Trabajo: Relaciones Euclidianas o Métricas
Demuestran la capacidad de coordinar los objetos entre sí, en relación con un sistema o coordenadas de referencia, lo que supone la utilización de medidas de longitud, de capacidad y de superficie. En relación con el último punto, en el caso de los niños con discapacidad intelectual, se pueden utilizar medidas de carácter arbitrario, por ejemplo, utilizando objetos como palitos de helado (se puede saber cuántos de estos caben en una mesa), también se pueden utilizar las manos, los pies u otros.
Procedimientos Adecuados
Los niños observan si sus procedimientos son adecuados o no, comentando entre ellos los resultados, explicándose por qué unos han ganado y otros han perdido, además poniendo en común con la maestra las estrategias utilizadas por cada alumno para resolver el problema.
Actividad: Construcción de Colecciones Equipotentes
El objetivo de esta actividad es que el niño utilice el conteo como estrategia óptima para resolver el problema y llegar a construir una colección equipotente a otra dada. Las técnicas base de los alumnos son:
- Correspondencia objeto a objeto: el alumno hace tantos viajes como ratones tenga y coge un queso en cada viaje.
- Correspondencia grupo a grupo: misma acción pero cogiendo grupos.
- Estimación visual: el niño hace una aproximación a la cantidad.
Es así como reconoce la noción del número en su aspecto cardinal. Esto lleva al Reconocimiento inmediato de la cantidad: el niño, nada más ver la colección de ratones, sabe cuántos quesos necesita, por lo que se produce el conteo.