Desarrollo del Conocimiento Lógico-Matemático, Espacial y Geométrico en la Infancia

Conceptos Fundamentales del Conocimiento Lógico-Matemático, Espacial y Geométrico en Niños

Agrupaciones y Atributos

Las agrupaciones se pueden definir por comprensión, indicando la característica común de todos los elementos (por ejemplo, las hojas amarillas); o bien por extensión, enumerando todos los elementos del agrupamiento (por ejemplo, una hoja amarilla de álamo, una hoja amarilla de chopo, etc.). Es fundamental colocar fuera de la representación el resto de elementos del conjunto referencial que no formen parte de la agrupación, para que se puedan distinguir los que cumplen la condición de los que no la cumplen.

Reconocimiento de atributos: Identificar, definir y/o reconocer cualidades sensoriales (color, grosor, textura, olor, sonido, temperatura, etc.). Observación de las características físicas de los objetos.

Colecciones: El objetivo de construir colecciones es agrupar varios elementos presentes tras haber reconocido que poseen en común un atributo dado de antemano, exigiendo en todo momento el mantenimiento del mismo criterio a lo largo de toda la construcción.

Clasificación y Relaciones Lógicas

La agrupación lógica de la clasificación se basa en la reunión de los objetos equivalentes en clases de equivalencia y de las clases entre sí. Las clases de equivalencia tienen tres propiedades:

Reflexiva: cada objeto de la agrupación está relacionado con él mismo.
Simétrica: si un objeto «a» de la agrupación está relacionado con un objeto «b», entonces «b» también está relacionado con «a».
Transitiva: si un objeto «a» de la agrupación está relacionado con un objeto «b», y este objeto «b» está relacionado con un objeto «c», entonces el objeto «a» también está relacionado con el objeto «c».

Podemos hablar de clases cuando el niño es capaz de establecer relaciones de similitud, es decir, las cualidades comunes de los objetos de una misma clase (todo son frutas), o relaciones de alteridad, es decir, cualidades diferentes de los objetos (diferencias entre manzanas y naranjas, aunque se parecen al ser frutas). Otro tipo de relaciones son las de inclusión, que son las relaciones entre una subclase (manzanas o naranjas) que están incluidas en la clase de frutas, y además se establece una cuantificación de inclusión, relaciones cuantitativas entre subclases y clases en la que están incluidas (todas las manzanas son frutas).

Ordenación y Seriación

Ordenación: relaciones de orden a partir de sus diferencias. La reunión de estas diferencias supone un orden de sucesión, y la agrupación constituye una seriación (cualitativa en este caso). Así puede establecerse un orden de sucesión por la gradación de una determinada cualidad (por ejemplo, ordenar tonalidades de un color, de menos oscuro a más oscuro). Hay una relación de orden cuando es antirreflexiva (ningún elemento de la agrupación está relacionado con él mismo), antisimétrica (si un objeto «a» está relacionado con un «b», entonces «b» no está relacionado con «a») y transitiva (si un objeto «a» de la agrupación está relacionado con un «b» y este objeto «b» está relacionado con un «c», entonces «a» también está relacionado con «c»).

Seriación: Entendemos por seriación una colección de objetos o símbolos considerados en un cierto orden, que estará establecido mediante una “pauta” convencional que se reitera un número determinado de veces. La pauta o patrón de la seriación no tiene que tener necesariamente una lógica interna, puede ser arbitraria o seguir alguna propiedad. La lógica se aplica al repetir dicha pauta con un cierto criterio (ya sea directamente o aplicándole alguna transformación), un número de veces finito o infinito.

Correspondencia y Aplicaciones

Correspondencia: Dados los conjuntos inicial (I) y final (F) no vacíos, se llama correspondencia entre I y F a toda operación, ley, norma o criterio que asocia los elementos de I con los elementos de F.

Aplicación: Correspondencia que a cada elemento del conjunto de salida le hace corresponder uno y sólo un elemento del conjunto de llegada.
Aplicación inyectiva: Si dos elementos distintos del conjunto de salida tienen imágenes distintas en el conjunto de llegada.
Aplicación sobreyectiva: Si para todos los elementos del conjunto de llegada existe, al menos, un elemento del conjunto de salida.
Aplicación biyectiva: Si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Cuantificadores y Cardinalidad

Cuantificadores: Indican la cantidad de veces que una propiedad o cualidad se encuentra dentro de una determinada clase o agrupación (ej. pertenencia, equivalencia u orden).

Cardinal: Se basa en la acción de contar, estableciendo una correspondencia entre los numerales y una serie de objetos. Además, al contar una serie de objetos les asignamos etiquetas que dan lugar a una ordenación.

Cardinal: Se basa en la coordinación de conjuntos, a partir de establecer una relación de orden entre los números. En este caso se puede construir la serie numérica mediante dos procedimientos: I) a partir de la relación de orden definida anteriormente, y II) identificando “el siguiente de” con el incremento de un elemento en el conjunto. (ej. El segundo bolígrafo).

Estructuración Espacial y Nociones Espaciales

Estructuración espacial: Se trata de un espacio en el que el niño es capaz de establecer una relación entre los elementos y distinguir su cuerpo de los demás. Así aparece un espacio próximo del que el niño toma conciencia primero a través de la acción y luego de la representación. Además, distingue el espacio manipulativo (más cercano al propio cuerpo, está al alcance de la mano) y el gráfico (no hace referencia al volumen, sino que es plano). Así se forman las nociones espaciales verticales y horizontales. Dentro de estas encontramos la diferencia entre:

Orientación espacial: Aptitud para mantener la constante localización del propio cuerpo, tanto en función de la posición de los objetos en el espacio como para colocar esos objetos en función de su propia posición.
Organización espacial: Se reconoce como la manera de disponer los elementos en el espacio, en el tiempo o en ambos a la vez; es decir, la forma de establecer relaciones espaciales, temporales o espacio-temporales, entre elementos independientes (relación de vecindad, proximidad, anterioridad o posterioridad, sobreposición).

Nociones espaciales: Piaget descubrió que los conceptos topológicos se desarrollan antes que los conceptos proyectivos y euclidianos.

Recinto: “dentro”, “fuera”, “borde”, “abierto”, “cerrado”, “en”.
Separación: “cerca”, “lejos”, “junto a”, “al lado de”, “sobre”.
Orden: “al lado de” y “entre”.
Continuidad: La capacidad para ver el espacio como algo continuo, de forma que varios caminos puedan llevar al mismo punto. (por ejemplo, reconocer que una ruta indirecta puede llevar al mismo punto final como una línea recta).

Sistemas de Referencia

Los sistemas de referencia, para Piaget e Inhelder, no son una simple red compuesta de relaciones de orden entre varios objetos, sino que se aplican tanto a las posiciones dentro de la red como a los objetos que ocupan dichas posiciones, posibilitando que se mantengan invariables e independientes del desplazamiento potencial de los objetos.

Desarrollo del Conocimiento Espacial y Geométrico

El ámbito del conocimiento espacial y geométrico se forma a partir del espacio corporal que construye el niño, la estructuración espacial y los sistemas de referencia. Previamente, se puede argumentar que Piaget expone dos períodos en la construcción de dicho conocimiento en los niños. El primer período es el sensoriomotor (0-2 años), en el cual el niño, desde su nacimiento hasta los 4-5 meses, adquiere las relaciones topológicas pero tienen una falta de conservación; más tarde, hasta los 10-12 meses, el niño adquiere las relaciones proyectivas y euclidianas. El segundo es el representacional (2-7 años), en el que el niño va adquiriendo las nociones espaciales de una manera completa.

En primer lugar, los niños, a edades tempranas, comienzan a ser conscientes de su propio cuerpo y de las partes que lo forman, es aquí donde se da el espacio corporal. Al principio, irá adquiriendo conciencia de sus partes del cuerpo desde su cabeza hasta llegar a los pies; más tarde, el niño será consciente del espacio que ocupan todas y cada una de sus partes del cuerpo; luego sabrá los movimientos y acciones que realizan cada uno y, finalmente, tendrá conciencia del espacio corporal completo.

Luego, obtendrá conocimiento de la estructuración espacial, la cual se compone de la orientación espacial y la organización espacial. La primera corresponde a cuando el niño comprende que es perteneciente a un contexto y el espacio que ocupa, y la segunda corresponde a cuando el niño es consciente del espacio que ocupan los objetos en el contexto. Dentro de ello, se dan las relaciones topológicas, divididas en: recinto, proximidad, continuidad, orden y separación; las relaciones proyectivas, donde los objetos conservan su forma a pesar de los cambios de posición; y las relaciones euclidianas, donde los objetos conservan su tamaño a pesar de los cambios de distancia.

Por último, se pueden apreciar los sistemas de referencias, divididos en ejes verticales y horizontales. Una vez que el niño comprenda y adquiera la conservación final de la materia a pesar de los cambios verticales y horizontales que se produzcan, entonces habrá adquirido el conocimiento espacial y geométrico.

Nociones Principales del Conocimiento Lógico y su Relación con Otros Ámbitos

El ámbito del conocimiento lógico está formado a partir de la agrupación de un grupo o conjunto de objetos, con los cuales se abstraen sus atributos cualitativos, hasta aquí conforma el conocimiento físico y social. A partir de la abstracción de los atributos cualitativos se pueden relacionar los objetos con sus semejanzas y diferencias, llegando a las relaciones de equivalencia, orden y seriación. Además, con dicha abstracción se puede comenzar a operar. Esto conforma la parte del conocimiento lógico-matemático.

En primer lugar, se deben mencionar las distintas relaciones de semejanzas y diferencias:

Las de equivalencia o clasificación: se basan en que el niño relacione los objetos a partir de sus semejanzas. Esta relación mantiene como criterios que es reflexiva (todos los objetos están relacionados con ellos mismos), simétrica (si un objeto «a» está relacionado con un objeto «b», entonces «b» también está relacionado con «a») y transitiva (si un objeto «a» está relacionado con «b», y «b» está relacionado con otro objeto «c», entonces «a» y «c» mantienen una relación).
Las de orden: se basan en realizar una sucesión de objetos a partir de sus diferencias. Está caracterizado por ser antirreflexivo (ningún objeto está relacionado consigo mismo), antisimétrico (si «a» está relacionado con «b», «b» no está relacionado con «a») y transitivo (si «a» está relacionado con «b», «b» está relacionado con «c», «a» y «c» están relacionados entre sí).
Las de seriación: se basan en seriar los objetos a partir de sus diferencias y siguiendo un patrón repetitivo.

Además, a partir de la abstracción de los atributos cualitativos de los objetos también se construye la operación. Dicha operación comienza a partir de las transformaciones de dichos objetos, gracias a los cuales se da la correspondencia. A partir de dicha correspondencia, la cual explica y argumenta dicha transformación, podremos conocer las aplicaciones, las cuales se dividen en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

Relación con Otros Ámbitos del Conocimiento

El conocimiento lógico está relacionado con los demás conocimientos ya que, una vez que se construyen las operaciones en los niños, estos tienen capacidad para comenzar con la cuantía, las numeraciones y la suma, resta, multiplicación y división, esto quiere decir que comienza con el conocimiento lógico aritmético. Además, dicho conocimiento, gracias a las características cualitativas, las clasificaciones, ordenación y seriación, el niño comienza a tener conciencia del espacio que ocupa y del espacio que ocupan los demás objetos, como también a saber acerca de su conservación con respecto a su posición y distancia, comprendiendo además la forma geométrica de los objetos, y es con ello como comienza a obtener el conocimiento espacial y geométrico. Por último, se consigue el conocimiento magnitudinal y su medida, el cual, gracias a la conservación de la forma del objeto y sus aspectos cualitativos, como también ser consciente de la cuantía y la operación matemática, los niños pueden comenzar a medir los objetos, además de su peso, también su tamaño, volumen o capacidad.