Desarrollo del Pensamiento Lógico-Matemático y Espacial en la Infancia según Piaget

Tipos de Conocimiento según Piaget

Piaget divide el conocimiento que de la realidad se obtiene en tres categorías: conocimiento físico, conocimiento social y conocimiento lógico-matemático. Explica la diferencia que existe entre estos conocimientos.

Conocimiento Físico

Hace referencia a las características externas de los objetos y se obtiene a partir de la observación y de la experimentación.

Conocimiento Social

Se adquiere por transmisión de los adultos y trata de las normas o convenciones que cada sociedad ha establecido de forma arbitraria.

Conocimiento Lógico-Matemático

A diferencia de los anteriores, no se adquiere básicamente por transmisión verbal ni está en la apariencia de los objetos. Es decir, el establecimiento de esta relación es una actividad mental que el niño/a realiza.

Evolución del Conocimiento Lógico-Matemático

Desde que nacemos hasta que llegamos a la edad adulta, nuestro pensamiento lógico-matemático va desarrollándose y evolucionando; es decir, las estructuras mentales con las que el niño/a se enfrenta al mundo van evolucionando de modo progresivo hacia la lógica formal que posee y caracteriza al adulto. Describe en qué consiste esta evolución del conocimiento lógico-matemático.

Una actividad básica para la lógica es la agrupación de los objetos, que al principio es realizada por el niño/a de forma espontánea y sin ningún criterio, para aparecer después una selección subjetiva de aquellos objetos (por ejemplo, los que desea y los que rechaza).

Esta primera selección es un conato de clasificación, cuyos criterios van desde los más subjetivos y arbitrarios hasta otros objetivos más convencionales. A partir de ello, establece las primeras clases, reconociendo los elementos que pertenecen y los que no a una clase. Las clasificaciones en un principio son muy reducibles en número; a medida que se desarrolla su pensamiento lógico-matemático se hacen más numerosas, al considerar un mayor número de criterios de clasificación de forma simultánea.

Los niños/as van elaborando nuevas relaciones entre los objetos, y así aparece el establecimiento de semejanzas y diferencias y de las relaciones de equivalencia (mayor que, menor que, etc.).

Las relaciones anteriores posibilitan las relaciones de orden y la realización de las primeras seriaciones de elementos con arreglo a criterios dados. Las seriaciones pueden guiarse por criterios y reglas cada vez más complejos.

A partir de estas actividades, los niños/as van adquiriendo el concepto intuitivo de cantidad, y podrán utilizar las nociones de muchos, algunos, pocos… Estos conceptos son previos al del número natural.

Pueden llegar a establecer correspondencia entre varios agrupamientos y establecer relaciones de coordinabilidad; saber si hay tantos botones como ojales, si falta alguna servilleta o le sobran pinturas después de repartir una a cada niño.

Un concepto básico que habrán de adquirir para asentar sobre él todo el conocimiento lógico-matemático es el de conservación; deberán llegar a la conclusión de que el número de elementos es independiente de la configuración perceptiva de estos.

A través de la actividad van construyendo así un pensamiento más móvil y reversible.

A la vez que desarrollan la lógica de clases y de relaciones, van organizando el espacio y adquiriendo las nociones topológicas básicas (arriba, abajo, dentro, fuera, delante, detrás, etc.) que serán la base de los conocimientos geométricos posteriores. Con las nociones espaciales van asociadas las temporales; la construcción del concepto de tiempo es un proceso lento y gradual que el niño/a realizará a partir de sus propias secuencias temporales.

Capacidades de Observación Sensorial

El análisis de las características físicas de los elementos del entorno a partir de los diferentes sentidos se realiza desde tres puntos de vista, que coinciden con tres grandes capacidades del ser humano, capacidades que están interrelacionadas entre ellas. ¿A qué capacidades se refiere?

La observación de las características físicas de los objetos: identificar, reconocer y/o definir cualidades sensoriales.
La observación de las semejanzas y de las diferencias entre estas características físicas: relacionar cualidades sensoriales.
La observación de los cambios o transformaciones que se producen a nivel cualitativo: operar cualidades sensoriales.

La Realidad y las Leyes de la Lógica Formal

Explica lo que quiere decir la siguiente frase: “Las relaciones que se establecen con la realidad están regidas por las leyes de la lógica formal”.

Los niños/as pueden abstraer de su medio un conocimiento matemático (informaciones relativas a los distintos ámbitos del saber tradicionalmente considerado como matemático: aritmético, espacial y geométrico, magnitudinal, etc.); es decir, a través de la abstracción elaboran o configuran una matematización de la realidad (construyen una visión de la realidad organizada según las leyes y principios lógico-matemáticos que la rigen).

De manera general, la lógica se refiere al análisis de las estructuras del pensamiento (razonamiento) lógico-matemático que nos permiten deducir (o bien inducir) de manera válida ciertas conclusiones a partir de ciertas premisas. Al hablar de estructuras del pensamiento (razonamiento) lógico-matemático nos referimos a una cadena de proposiciones que sirve para demostrar, justificar o bien explicar un hecho.

Estructuras Lógico-Matemáticas Principales

De acuerdo con la clasificación de Canals (1992), menciona las principales estructuras lógico-matemáticas.

(Nota: El documento original no lista las estructuras según Canals, solo plantea la pregunta).

Adquisición de las Primeras Estructuras Lógico-Matemáticas

Responde a la siguiente cuestión: ¿Cómo se adquieren las primeras estructuras lógico-matemáticas?

De acuerdo con Piaget e Inhelder (1941), las primeras estructuras lógico-matemáticas que adquiere el niño/a son las clasificaciones y las seriaciones.

Para demostrarlo, estos autores parten de cuatro hipótesis posibles, pero solo una de ellas es la responsable última de la aparición de las primeras estructuras lógico-matemáticas.

HIPÓTESIS 4: Los esquemas sensoriomotores son los que originan las estructuras lógico-matemáticas de clasificación y seriación.

Definiciones de Conceptos Lógico-Matemáticos

Define qué entiendes por clasificación, ordenación, seriación, correspondencia, aplicación, aplicación inyectiva, aplicación sobreyectiva y aplicación biyectiva.

Clasificación

El criterio de clasificación tiene que estar basado en una propiedad del conjunto de objetos y estar claramente definido. Las clases obtenidas al clasificar con un criterio determinado no pueden tener elementos comunes, se llaman “disjuntas”.

Desde el punto de vista matemático, cuando en un grupo de elementos se introduce una relación de equivalencia, se genera una distribución de la totalidad en subgrupos, que llamamos clases de equivalencia, de tal modo que cada elemento pertenece a una clase y solo una.

Es decir, se produce una clasificación del total en subgrupos (componiendo lo que se llama conjunto cociente).

El universal (el total de las piezas) queda clasificado en clases de equivalencia cuya reunión coincide formalmente con el concepto de conjunto cociente.

Ordenación

Las relaciones lógicas de ordenación se basan en las relaciones intuitivas de diferencia y en la no simetría (antirreflexiva, antisimétrica y transitiva).

Así decimos que una agrupación de objetos está ordenada con respecto a un criterio, cuando todos sus elementos se relacionan, en un solo sentido, mediante dicho criterio. En este orden existe un “primer” elemento, un “segundo” elemento, y así hasta un “último” elemento (salvo que sean órdenes parciales).

El criterio de ordenación tiene que estar basado en una propiedad del conjunto de objetos, susceptible de ser poseída en diferente grado y debe estar claramente definido.

Desde el punto de vista matemático, una relación de orden en un conjunto proporciona un conocimiento de cada uno de sus elementos en relación con el total, de tal manera que podemos saber si un elemento determinado está antes o después que otro o es más grande o no que otro. Los procedimientos de ordenación, por tanto, introducen cuestiones de jerarquía.

Seriación

Entendemos por seriación una colección de objetos o símbolos considerados en un cierto orden, que estará establecido mediante una “pauta” convencional que se reitera un número determinado de veces. La pauta o patrón de la seriación no tiene que tener necesariamente una lógica interna; puede ser arbitraria o seguir alguna propiedad. La lógica se aplica al repetir dicha pauta con un cierto criterio (ya sea directamente o aplicándole alguna transformación), un número de veces finito o infinito.

Correspondencia

Dados los conjuntos inicial (I) y final (F) no vacíos, se llama correspondencia entre I y F a toda operación, ley, norma o criterio que asocia los elementos de I con los elementos de F.

Aplicación

Correspondencia que a cada elemento del conjunto de salida le hace corresponder uno y solo un elemento del conjunto de llegada.

Aplicación Inyectiva

Si a dos elementos distintos del conjunto de salida les corresponden elementos distintos del conjunto de llegada (sus imágenes).

Aplicación Sobreyectiva

Si para todos los elementos del conjunto de llegada existe, al menos, un elemento del conjunto de salida que le corresponde.

Aplicación Biyectiva

Si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Los Bloques Lógicos como Recurso Pedagógico

Los “bloques lógicos” constituyen un recurso pedagógico básico destinado a introducir a los niños/as en los primeros conceptos lógico-matemáticos. Responde a las siguientes cuestiones:

Características de los Bloques Lógicos

¿De cuántas piezas constan, de cuántas variables y qué valores toman dichas variables?

Consta de 48 piezas sólidas. Cada pieza se define por cuatro variables (atributos):

Color: rojo, azul, amarillo (3 valores)
Forma: cuadrado, círculo, triángulo, rectángulo (4 valores)
Tamaño: grande, pequeño (2 valores)
Grosor: grueso, delgado (2 valores)

Actividad de Clasificación Disyuntiva

Describe explícitamente (argumentadamente) una actividad de clasificación mediante un enunciado disyuntivo de tres valores.

Por ejemplo, si “p” representa “ser cuadrado”, “q” representa “ser rojo” y “r” representa “ser grande”, se trata de que se construyan las siguientes ocho clases que se generan:

“cuadrados rojos y grandes”
“no cuadrados rojos y grandes”
“cuadrados no rojos y grandes”
“cuadrados rojos y no grandes”
“cuadrados no rojos y no grandes”
“no cuadrados rojos y no grandes”
“no cuadrados no rojos y grandes”
“no cuadrados no rojos y no grandes”

Actividad de Clasificación Conjuntiva

Describe explícitamente (argumentadamente) una actividad de clasificación mediante un enunciado conjuntivo de tres valores.

Supongamos el valor “ser cuadrado”, el valor “ser pequeño” y el valor “ser rojo”. La conjunción de valores define el grupo de piezas A formado por las piezas “cuadrados, pequeñas y rojas”, por un lado, y por otro el resto, es decir, el complementario, el de las piezas “no cuadradas o no pequeñas o no rojas”. (Corrección: El original decía ‘no cuadradas o no rojas’, pero con tres valores conjuntivos, el complementario es la disyunción de las negaciones).

El Concepto de Número según Piaget

Argumenta exhaustivamente qué es el número para Piaget.

Según Piaget, el número es una síntesis de dos tipos de relaciones que el niño establece entre los objetos (por abstracción reflexiva). Una es el orden y la otra es la inclusión jerárquica.

¿Qué quiere decir Piaget con el orden?

El niño/a no tiene la necesidad lógica de colocar los objetos en un orden para asegurarse de que no se salta ninguno o de que no cuenta más de uno a la vez. La única manera que tenemos de estar seguros de que no pasamos por alto o contamos más de una vez un objeto es ponerlos en orden. El niño/a, sin embargo, no necesita poner los objetos literalmente en un orden espacial para establecer entre ellos una relación de orden. Lo importante es que los ordene mentalmente.

¿Qué quiere decir Piaget con la inclusión jerárquica?

Así, cuando se le presentan “ocho” objetos, solo puede cuantificar el conjunto numéricamente si puede establecer entre los objetos una única relación sintetizando el orden y la inclusión jerárquica.

Dificultad en la Construcción de la Inclusión Jerárquica de Clases

Trata de explicar mediante un ejemplo por qué resulta difícil construir la estructura jerárquica de la inclusión de clases por parte del niño/a y argumenta por qué ocurre dicha dificultad.

Los/as niños/as de cuatro años contestan normalmente: “más perros”. Y al preguntarles: “¿Más perros que qué?”, el niño/a responde: “que gatos”. Es decir, se les está planteando la pregunta: “¿Qué hay más, perros o animales?”, en cambio, el niño/a oye la pregunta: “¿Qué hay más, perros o gatos?”.

¿Por qué ocurre esto? Los/as niños/as oyen una pregunta que es diferente de la que ha planteado el adulto porque, una vez que han dividido el todo en dos partes, lo único sobre lo que pueden pensar es en las dos partes. Para ellos, el todo ya no existe en ese momento. Pueden pensar en el todo, pero no cuando están pensando en las partes. Para comparar el todo con una parte, el niño/a tiene que realizar dos acciones mentales opuestas al mismo tiempo:

Dividir el todo en dos partes.
Volver a juntar las dos partes en un todo.

Y esto es lo que precisamente, según Piaget, un niño/a de cuatro años no puede hacer.

Hacia los 7-8 años, el pensamiento del niño/a (la mayoría) se hace lo suficientemente móvil como para ser reversible (la reversibilidad se refiere a la capacidad de oponer dos acciones mentalmente de forma simultánea; en este caso, dividir el todo en dos partes y reunir las dos partes en un todo). Obsérvese que esto solo es posible en nuestras cabezas cuando el pensamiento se ha hecho lo bastante móvil como para ser reversible.

Entonces, Piaget explica el logro de la estructura jerárquica de la inclusión de clases por el aumento de la movilidad del pensamiento en los/as niños/as. Así, cuando los/as niños/as establecen relaciones entre todo tipo de contenidos, su pensamiento se hace más móvil y uno de los resultados de esa movilidad es la estructura lógico-matemática del número.

La Tarea de Conservación de la Cantidad de Piaget

Describe en qué consiste la tarea de conservación de la cantidad elaborada por Piaget y explica qué relación tiene con la construcción del número por parte del niño/a.

La conservación es para Piaget la permanencia del objeto (número de elementos, sustancia sólida o líquida, etc.) frente a un grupo de transformaciones (deformaciones, fraccionamiento, desplazamientos, etc.). Es decir, el reconocimiento de la igualdad, que requiere la construcción de invariantes, que, como veremos más adelante, reposa sobre la construcción de la reversibilidad.

La prueba clásica más conocida de conservación de las cantidades discretas es la siguiente: El experimentador dispone dos hileras, de siete fichas cada una, en correspondencia óptica, tal y como sigue:

y pregunta al niño/a si hay la misma cantidad de fichas rojas que de azules (fila A son fichas azules y fila B son fichas rojas). Después procede, a la vista del niño/a, a separar las fichas de una de las hileras hasta obtener una disposición similar a la siguiente:

de manera que la correspondencia visual se rompa. Pregunta después: “¿Hay más rojas o más azules?, ¿cómo lo sabes?”.

Para Piaget, los números forman un orden y constituyen una jerarquía de clases (tres es una clase que contiene como subclases uno y dos, y a su vez es una subclase de los números mayores). Piaget afirmaba que el número no puede entenderse en términos de un único concepto lógico, sino que constituye una síntesis única de conceptos lógicos. Para Piaget, el desarrollo de la comprensión del número y de una manera significativa de contar está ligado a la aparición de un estadio más avanzado del pensamiento. Los requisitos lógicos del número (conceptos de seriación, clasificación, correspondencia biunívoca) aparecen con el “estadio operacional” del desarrollo mental. Los/as niños/as que no han llegado al estadio operacional no pueden comprender el número ni contar significativamente, mientras que los niños/as que han llegado a él sí pueden hacerlo. Por tanto, el número es un concepto de “todo o nada”.

Piaget afirmaba que la conservación de la cantidad tenía una importancia extraordinaria porque señalaba la llegada al estadio operacional, es decir: la adquisición del pensamiento lógico; la comprensión de las clases, las relaciones y las correspondencias biunívocas; un verdadero concepto del número; y una manera significativa de contar.

Según Piaget, la conservación de la cantidad indicaba la comprensión de que, una vez establecida la equivalencia de dos conjuntos, los cambios en la configuración de los conjuntos no modifican la relación de equivalencia. Es decir, las relaciones de equivalencia se conservan a través de cualesquiera transformaciones no relevantes en la apariencia física de un conjunto. El niño/a que conserva se da cuenta de que el número de elementos de un conjunto no varía cuando varía su aspecto físico.

Desarrollo de Sistemas de Referencia Espacial según Piaget

La esencia de un sistema de referencia es la relación de las partes móviles con algún aspecto invariable y estacionario del espacio. Analiza en qué consiste, para Piaget y sus colaboradores, el desarrollo de sistemas de referencias.

Según Piaget e Inhelder, el desarrollo de sistemas de referencia se funda en la capacidad natural de utilizar el que ellos describen como marco de referencia natural, a saber, el correspondiente a la horizontal y la vertical.

Un elemento importante para servirse satisfactoriamente de los sistemas de referencia es la conciencia de la “dirección”. Hay autores que sostienen que las relaciones espaciales se exploran inicialmente a lo largo del eje vertical, es decir, mirando arriba y abajo (arriba/abajo, alto/bajo, encima/debajo, etc.). Son nociones de muy distinto significado (lo que se ve al mirar el techo es muy distinto y diferenciable de lo que se ve al mirar el suelo). Se desarrollan después las relaciones de orientación horizontal, las cuales, en cambio, no se encuentran tan tajantemente diferenciadas, aunque al mantener la cabeza en una dirección particular lo que se ve está al frente y lo que no se ve se encuentra ahora detrás de nosotros, y análogamente, lo que estuvo a la izquierda se encuentra ahora a la derecha. La noción de orientación horizontal tarda más en desarrollarse que la orientación vertical, porque la relativa facilidad del movimiento del propio cuerpo sobre un plano horizontal confunde la orientación. Así, la diferenciación entre izquierda y derecha se desarrolla más tardíamente que la de delante y detrás.

Piaget e Inhelder estudiaron la capacidad de los/as niños/as para servirse de elementos de referencia horizontales y verticales de diversos modos.

Piaget, Inhelder y Szeminska sostienen que la capacidad para utilizar coordenadas se desarrolla juntamente con la de utilizar ejes de referencia horizontal y vertical.

Estos investigadores presentaron a los/as niños/as dos hojas congruentes de papel. En una de ellas se había señalado un punto. Se le pedía al niño/a que marcase un punto en la segunda hoja, semitransparente, de modo que si esta fuera colocada directamente sobre la primera, la provista del punto, los puntos de una y otra coincidieran exactamente.

Los resultados en esta tarea demostraron que:

En el nivel más elemental de desarrollo, el niño/a se apoyaba por completo en una estimación visual que posteriormente conducía a una estimación burda mediante reglas y palitos.
Es en la siguiente fase en la que el niño/a capta la necesidad de medir, pero sigue operando todavía con una única medida, tal como la distancia desde el punto a un vértice cercano.
Más tarde se percata de la necesidad de dos medidas. Tal procedimiento presupone muchísimos tanteos, en los que es frecuente que el niño/a utilice solamente una medida y efectúe una estimación segunda.
Por fin, hacia los nueve años de edad (según Piaget) se coordinan ambas mediciones, utilizando los lados de la hoja como ejes de referencia.

Necesidad de la Elaboración del Sistema de Referencia Espacial

Explica por qué y para qué es necesario la elaboración del sistema de referencia espacial.

El primer sistema de referencia es el corporal y progresivamente va transfiriéndolo a los objetos. El primer sistema de referencia a utilizar es el propio esquema corporal y en función de él se elaboran las primeras nociones de «delante» y «detrás»; posteriormente, se elaboran en las otras direcciones las nociones de «arriba» y «abajo», «derecha» e «izquierda» para ir progresivamente coordinándolas.

Solo posteriormente se podrá utilizar cualquier objeto como origen de un sistema de referencia, aunque inicialmente sea mediante la transferencia de nuestro propio esquema corporal al objeto en cuestión, mediante una proyección lineal del mismo, y después una proyección girada. Esto le sirve para organizar los desplazamientos del propio cuerpo dando lugar a la elaboración de nociones de orientación como las de «arriba», «abajo», «detrás»… y de nociones de dirección como las de «desde», «hacia», «hasta»…

La estructuración del espacio implica el desarrollo y coordinación de la capacidad de orientación y de organización; antes nos orientamos y luego organizamos el espacio. Esas dos acciones nos permiten movernos en él y progresivamente representarlo, práctica y mentalmente.

Las transformaciones, nociones y relaciones que se van desarrollando/elaborando progresivamente en el dominio del espacio son las de orden topológico primero (cercanía, separación, ordenación, cerramiento; contigüidad; ubicación estática; etc.) y luego las proyectivas (ubicación en perspectivas, direcciones: arriba/abajo, derecha/izquierda, delante/detrás; proporcionalidad; semejanzas, etc.) y euclidianas (conservación de la distancia y la medida; etc.) sucesivamente. El dominio de estas nociones permite al niño el desarrollo progresivo de las capacidades espaciales implicadas en la estructuración espacial y su articulación: la construcción del sistema de referencia.

Con posterioridad a este periodo educativo, se elabora un sistema de referencia abstracto, donde las coordenadas del espacio (que incluye los aspectos topológicos, proyectivos y euclidianos) no son más que una red que abarca todos los objetos y consiste sencillamente en establecer relaciones que se aplican simultáneamente a cada objeto en las tres dimensiones (arriba-abajo, delante-detrás, izquierda-derecha). Se los vincula así en tres direcciones: a lo largo de líneas rectas paralelas entre sí en una dimensión e intersecando en ángulos rectos las que pertenecen a las otras dos dimensiones.

Estructuración Espacial: Concepto y Elaboración

¿Qué entiendes por estructuración espacial? Describe cómo el niño/a lo elabora.

En la construcción progresiva del espacio existen momentos fundamentales: el niño/a ha de establecer la distinción entre el yo y el no-yo. Esta distinción pasa por la conciencia de tener un cuerpo situado en el contexto. Es este un espacio rudimentario, funcional, práctico, donde el niño/a distingue su propio cuerpo de los demás. Después aparece un espacio próximo (entorno físico que le rodea y es accesible a la acción), del que el niño/a toma conciencia primero a través de la acción y luego de la representación.

Entonces, el niño/a en su exploración del espacio distingue:

Espacio manipulativo: Es el espacio exterior más cercano al propio cuerpo, es el que está al alcance de la mano y para el que no necesita desplazarse. Existe una motricidad diferente entre el espacio amplio (marcha) y el manipulativo (prensión).
Espacio gráfico: No hace referencia al volumen, como los anteriores, sino que es plano. Aquí es donde se forman las nociones espaciales verticales y horizontales.

Todo ello conlleva a la progresiva elaboración de la “Estructuración Espacial”; para ello, resulta necesario plantear una diferenciación entre dos conceptos con el fin de facilitar la comprensión del tema, estos son, la orientación espacial y la organización espacial.

La orientación y la organización espacial se presentan como dos pilares fundamentales que deben estar considerados íntegramente durante todo el proceso de enseñanza, ya que hacen posible al niño/a el movimiento con el que puede organizar el espacio y, sin duda alguna, constituyen la base de los posteriores aprendizajes.

La noción de estructuración espacial no es innata, sino que se elabora y construye mediante la acción y la interpretación de un gran bagaje de datos registrados por los sentidos.

Según Piaget se compone de los tres tipos de relaciones espaciales:

Relaciones topológicas.
Relaciones proyectivas.
Relaciones euclídeas o métricas.

Tipos de Conocimiento según Piaget (Repetición)

Conocimiento Físico

Hace referencia a las características externas de los objetos y se obtiene a partir de la observación y de la experimentación.

Conocimiento Social

Se adquiere por transmisión de los adultos y trata de las normas o convenciones que cada sociedad ha establecido de forma arbitraria.

Conocimiento Lógico-Matemático

Evolución del Conocimiento Lógico-Matemático (Repetición)

A través de la actividad van construyendo así un pensamiento más móvil y reversible.

Capacidades de Observación Sensorial (Repetición)

La observación de las características físicas de los objetos: identificar, reconocer y/o definir cualidades sensoriales.
La observación de las semejanzas y de las diferencias entre estas características físicas: relacionar cualidades sensoriales.
La observación de los cambios o transformaciones que se producen a nivel cualitativo: operar cualidades sensoriales.

La Realidad y las Leyes de la Lógica Formal (Repetición)

Explica lo que quiere decir la siguiente frase: “Las relaciones que se establecen con la realidad están regidas por las leyes de la lógica formal”.

2Q==

Estructuras Lógico-Matemáticas Principales (Repetición)

De acuerdo con la clasificación de Canals (1992), menciona las principales estructuras lógico-matemáticas.

(Nota: El documento original no lista las estructuras según Canals, solo plantea la pregunta).

Adquisición de las Primeras Estructuras Lógico-Matemáticas (Repetición)

Responde a la siguiente cuestión: ¿Cómo se adquieren las primeras estructuras lógico-matemáticas?

De acuerdo con Piaget e Inhelder (1941), las primeras estructuras lógico-matemáticas que adquiere el niño/a son las clasificaciones y las seriaciones. Para demostrarlo estos autores parten de cuatro hipótesis posibles, pero solo una de ellas es la responsable última de la aparición de las primeras estructuras lógico-matemáticas. HIPÓTESIS 4: Los esquemas sensoriomotores son los que originan las estructuras lógico-matemáticas de clasificación y seriación.

Definiciones de Conceptos Lógico-Matemáticos (Repetición)

Define qué entiendes por clasificación, ordenación, seriación, correspondencia, aplicación, aplicación inyectiva, aplicación sobreyectiva y aplicación biyectiva.

Clasificación

Las relaciones lógicas de clasificación se basan en las relaciones intuitivas de semejanza (reflexiva, simétrica y transitiva, es decir, una relación de equivalencia) y en la inclusión de clases lógicas disjuntas. Así decimos que una agrupación de objetos está clasificada con respecto a un criterio, cuando todos sus elementos se han repartido en clases o subconjuntos tales que en cada una están reunidos los elementos que son iguales respecto del criterio de clasificación, y la unión de todas esas clases es igual a la agrupación o conjunto total. El criterio de clasificación tiene que estar basado en una propiedad del conjunto de objetos y estar claramente definido. Las clases obtenidas al clasificar con un criterio determinado no pueden tener elementos comunes, se llaman “disjuntas”. Desde el punto de vista matemático, cuando en un grupo de elementos se introduce una relación de equivalencia, se genera una distribución de la totalidad en subgrupos, que llamamos clases de equivalencia, de tal modo que cada elemento pertenece a una clase y solo una. Es decir, se produce una clasificación del total en subgrupos (componiendo lo que se llama conjunto cociente). El universal (el total de las piezas) queda clasificado en clases de equivalencia cuya reunión coincide formalmente con el concepto de conjunto cociente.

Ordenación

Las relaciones lógicas de ordenación se basan en las relaciones intuitivas de diferencia y en la no simetría (antirreflexiva, antisimétrica y transitiva). Así decimos que una agrupación de objetos está ordenada con respecto a un criterio, cuando todos sus elementos se relacionan, en un solo sentido, mediante dicho criterio. En este orden existe un “primer” elemento, un “segundo” elemento, y así hasta un “último” elemento (salvo que sean órdenes parciales). El criterio de ordenación tiene que estar basado en una propiedad del conjunto de objetos, susceptible de ser poseída en diferente grado y debe estar claramente definido. Desde el punto de vista matemático, una relación de orden en un conjunto proporciona un conocimiento de cada uno de sus elementos en relación con el total, de tal manera que podemos saber si un elemento determinado está antes o después que otro o es más grande o no que otro. Los procedimientos de ordenación, por tanto, introducen cuestiones de jerarquía.

Seriación

Correspondencia

Dados los conjuntos inicial (I) y final (F) no vacíos, se llama correspondencia entre I y F a toda operación, ley, norma o criterio que asocia los elementos de I con los elementos de F.

Aplicación

Correspondencia que a cada elemento del conjunto de salida le hace corresponder uno y solo un elemento del conjunto de llegada.

Aplicación Inyectiva

Si a dos elementos distintos del conjunto de salida les corresponden elementos distintos del conjunto de llegada (sus imágenes).

Aplicación Sobreyectiva

Si para todos los elementos del conjunto de llegada existe, al menos, un elemento del conjunto de salida que le corresponde.

Aplicación Biyectiva

Si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Los Bloques Lógicos como Recurso Pedagógico (Repetición)

Los “bloques lógicos” constituyen un recurso pedagógico básico destinado a introducir a los niños/as en los primeros conceptos lógico-matemáticos. Responde a las siguientes cuestiones:

Características de los Bloques Lógicos

¿De cuántas piezas constan, de cuántas variables y qué valores toman dichas variables?

Consta de 48 piezas sólidas. Cada pieza se define por cuatro variables (atributos):

Color: rojo, azul, amarillo (3 valores)
Forma: cuadrado, círculo, triángulo, rectángulo (4 valores)
Tamaño: grande, pequeño (2 valores)
Grosor: grueso, delgado (2 valores)

Actividad de Clasificación Disyuntiva

Describe explícitamente (argumentadamente) una actividad de clasificación mediante un enunciado disyuntivo de tres valores.

Supongamos que se va a clasificar el grupo de piezas que verifican la proposición “ser p o ser q o ser r”, donde ahora “p”, “q” y “r” designan valores diferentes. Criterio de clasificación: Obtener y definir los distintos subgrupos en que se clasifica el conjunto de elementos definido por verificar la proposición “ser p o q o r”. Por ejemplo, si “p” representa “ser cuadrado”, “q” representa “ser rojo” y “r” representa “ser grande”, se trata de que se construyan las siguientes ocho clases que se generan:

“cuadrados rojos y grandes”
“no cuadrados rojos y grandes”
“cuadrados no rojos y grandes”
“cuadrados rojos y no grandes”
“cuadrados no rojos y no grandes”
“no cuadrados rojos y no grandes”
“no cuadrados no rojos y grandes”
“no cuadrados no rojos y no grandes”

Actividad de Clasificación Conjuntiva

Describe explícitamente (argumentadamente) una actividad de clasificación mediante un enunciado conjuntivo de tres valores.

El Concepto de Número según Piaget (Repetición)

Argumenta exhaustivamente qué es el número para Piaget.

¿Qué quiere decir Piaget con el orden?

¿Qué quiere decir Piaget con la inclusión jerárquica?

Si la ordenación fuera la única acción que se realizara con los objetos, estos no podrían cuantificarse, ya que el niño/a podría considerar uno cada vez en vez de un grupo de varios al mismo tiempo. Para cuantificar los objetos como un grupo, el niño/a tiene que establecer entre ellos una relación de inclusión jerárquica. Esta relación significa que el niño/a incluye mentalmente el uno en dos, dos en tres, tres en cuatro, etc. Así, cuando se le presentan “ocho” objetos, solo puede cuantificar el conjunto numéricamente si puede establecer entre los objetos una única relación sintetizando el orden y la inclusión jerárquica.

Dificultad en la Construcción de la Inclusión Jerárquica de Clases (Repetición)

Trata de explicar mediante un ejemplo por qué resulta difícil construir la estructura jerárquica de la inclusión de clases por parte del niño/a y argumenta por qué ocurre dicha dificultad.

Veamos lo difícil que resulta construir la estructura jerárquica por parte de los/as niños/as: A un niño/a se le entregan seis perros y dos gatos del mismo tamaño. Se le pide que muestre “todos los animales”, “todos los perros” y “todos los gatos”. Una vez que nos aseguramos de que el niño/a comprende esas palabras, se le plantea la siguiente pregunta de inclusión de clases: “¿Hay más perros o más animales?”. Los/as niños/as de cuatro años contestan normalmente: “más perros”. Y al preguntarles: “¿Más perros que qué?”, el niño/a responde: “que gatos”. Es decir, se les está planteando la pregunta: “¿Qué hay más, perros o animales?”, en cambio, el niño/a oye la pregunta: “¿Qué hay más, perros o gatos?”.

Dividir el todo en dos partes.
Volver a juntar las dos partes en un todo.

Y esto es lo que precisamente, según Piaget, un niño/a de cuatro años no puede hacer.

La Tarea de Conservación de la Cantidad de Piaget (Repetición)

Describe en qué consiste la tarea de conservación de la cantidad elaborada por Piaget y explica qué relación tiene con la construcción del número por parte del niño/a.

(Nota: Las imágenes y no estaban presentes en esta sección repetida del texto original).

de manera que la correspondencia visual se rompa. Pregunta después: “¿Hay más rojas o más azules?, ¿cómo lo sabes?”.

Desarrollo de Sistemas de Referencia Espacial según Piaget (Repetición)

Piaget e Inhelder estudiaron la capacidad de los/as niños/as para servirse de elementos de referencia horizontales y verticales de diversos modos. Piaget, Inhelder y Szeminska sostienen que la capacidad para utilizar coordenadas se desarrolla juntamente con la de utilizar ejes de referencia horizontal y vertical.

Los resultados en esta tarea demostraron que:

En el nivel más elemental de desarrollo, el niño/a se apoyaba por completo en una estimación visual que posteriormente conducía a una estimación burda mediante reglas y palitos.
Es en la siguiente fase en la que el niño/a capta la necesidad de medir, pero sigue operando todavía con una única medida, tal como la distancia desde el punto a un vértice cercano.
Más tarde se percata de la necesidad de dos medidas. Tal procedimiento presupone muchísimos tanteos, en los que es frecuente que el niño/a utilice solamente una medida y efectúe una estimación segunda.
Por fin, hacia los nueve años de edad (según Piaget) se coordinan ambas mediciones, utilizando los lados de la hoja como ejes de referencia.

Necesidad de la Elaboración del Sistema de Referencia Espacial (Repetición)

Explica por qué y para qué es necesario la elaboración del sistema de referencia espacial.

El sistema de referencia permite al niño/a estructurar el espacio, orientarse, organizarlo y situarse en él. Es la integración y articulación de las principales transformaciones espaciales la que permite la elaboración de dicho sistema de referencia. El primer sistema de referencia es el corporal y progresivamente va transfiriéndolo a los objetos. El primer sistema de referencia a utilizar es el propio esquema corporal y en función de él se elaboran las primeras nociones de «delante» y «detrás»; posteriormente, se elaboran en las otras direcciones las nociones de «arriba» y «abajo», «derecha» e «izquierda» para ir progresivamente coordinándolas.

La elaboración del sistema de referencia le permite estructurar, caracterizar, describir el espacio que le rodea, sus propiedades, su situación en él, y la de los objetos que lo integran. Sin dicha elaboración el sujeto tendrá graves carencias en sus referencias espaciales. La estructuración del espacio implica el desarrollo y coordinación de la capacidad de orientación y de organización; antes nos orientamos y luego organizamos el espacio. Esas dos acciones nos permiten movernos en él y progresivamente representarlo, práctica y mentalmente.

Estructuración Espacial: Concepto y Elaboración (Repetición)

¿Qué entiendes por estructuración espacial? Describe cómo el niño/a lo elabora.

La Estructuración Espacial es la capacidad para establecer una relación entre los elementos elegidos para formar un todo; esta relación implica la independencia de los elementos constitutivos del conjunto en una situación espacio-temporal determinada. En la construcción progresiva del espacio existen momentos fundamentales: el niño/a ha de establecer la distinción entre el yo y el no-yo. Esta distinción pasa por la conciencia de tener un cuerpo situado en el contexto. Es este un espacio rudimentario, funcional, práctico, donde el niño/a distingue su propio cuerpo de los demás. Después aparece un espacio próximo (entorno físico que le rodea y es accesible a la acción), del que el niño/a toma conciencia primero a través de la acción y luego de la representación.

Entonces, el niño/a en su exploración del espacio distingue:

Espacio manipulativo: Es el espacio exterior más cercano al propio cuerpo, es el que está al alcance de la mano y para el que no necesita desplazarse. Existe una motricidad diferente entre el espacio amplio (marcha) y el manipulativo (prensión).
Espacio gráfico: No hace referencia al volumen, como los anteriores, sino que es plano. Aquí es donde se forman las nociones espaciales verticales y horizontales.

La noción de estructuración espacial no es innata, sino que se elabora y construye mediante la acción y la interpretación de un gran bagaje de datos registrados por los sentidos. Según Piaget se compone de los tres tipos de relaciones espaciales:

Relaciones topológicas.
Relaciones proyectivas.
Relaciones euclídeas o métricas.