Desarrollo del Pensamiento Matemático: Número, Espacio y Geometría

El Concepto y Uso del Número

El número es el símbolo matemático por excelencia. Este no se construye en su totalidad durante los primeros años en la educación infantil.

El primer uso que hacen los niños y niñas del número es para cuantificar una serie de objetos o de hechos relacionados con sus acciones.
Por lo general, lo que hacen es recitar la serie numérica atribuyendo una palabra-número a cada objeto, pero sin tener sentido de la cantidad.
El número es una idea construida por el ser humano para representar de manera convencional cantidades.
Por la estructura que posee el número y la forma de representación oral y escrita que usa, puede emplearse para diversas funciones:

Funciones del Número

CUANTIFICADOR: Determinar la cantidad de un grupo y retenerla en la memoria o comunicársela a otros (ejemplo: ¿cuántos niños vinieron hoy al jardín?).
ORDENADOR: Saber el lugar que ocupa un objeto en un grupo ordenado (ejemplo: la numeración de páginas de un libro).
IDENTIFICADOR: Rotular un objeto o lugar para diferenciarlo de entre varios otros similares (ejemplo: la micro 511 es la que me sirve para ir de mi casa a la casa de mi abuelita).

No solo el uso del número es un procedimiento para representar, retener o comunicar cantidades; se pueden usar “colecciones de muestra” para la misma función, como por ejemplo:

Los dedos de las manos
Palitos, piedras u otros objetos simples.

Este tipo de procedimiento es usado por los niños y niñas pequeños, los que paulatinamente y dependiendo del nivel de interacción con los adultos, van incorporando un vocabulario convencional que designa cantidades: Palabras-números (uno, dos, tres,…) y numerales (1, 2, 3, 4,…).

Enumerar más que Contar

Inicialmente, los niños y niñas repiten la lista de palabras-números respetando el orden convencional (aprendida como se aprende una canción).
Para luego contar, es decir, establecer correspondencia uno a uno entre los objetos aislados, grupos de objetos, con dicha lista de palabras.
Para que este sea correcto, debe emparejarse el primer elemento contado con la palabra “uno”. Pero no siempre el niño comprende que la última palabra-número dicha es la respuesta a la pregunta “¿cuántos son?”.
Para él, “cada palabra-número pronunciada, incluida la última, es un número que se refiere únicamente al objeto señalado” (como si se tratara del nombre de cada objeto); esta acción se denomina Contar-numerar.
Cuando logra comprender que la última palabra-número representa la cantidad de todos los objetos, está enumerando.
El uso de materiales que poseen constelaciones (dados, naipes, dominós, tarjetas con dibujos, etc.) y la actividad de contar son indispensables para el primer aprendizaje numérico.

De esta manera, “en las pequeñas cantidades progresa confrontando dos modos de tratar la información:

La percepción visual global.
La acción de contar hace que el niño o niña pueda acceder a la representación numérica de las cantidades.
Para aclarar mejor la diferencia entre contar-numerar y enumerar, Brissiaud lo ejemplifica de la siguiente manera: si un niño o niña sabe contar un grupo de 8 objetos, pero no sabe mostrar 8 dedos en forma directa, sin contar, no tiene un concepto correcto de las cantidades.

Él plantea que es “importante desarrollar la capacidad de los niños y niñas para “sentir” las cantidades con los dedos de modo casi inmediato, sin contar”.

La Inclusión Numérica

Al contar para determinar el número de objetos en un conjunto, el niño o niña mentalmente los coloca en una relación de inclusión de clase.

Conteo Ascendente y Descendente

Ya sabemos que al contar recitamos una lista o secuencia de palabras ordenadas convencionalmente.
Todo se inicia con la existencia de un único elemento que se denomina “uno” (un objeto, un fenómeno, un grupo, una acción) cuando queremos cuantificarlo.
La palabra que continúa en esa lista es “dos”, y ella representa una cantidad que es exactamente la misma cantidad que se tenía (uno) y se agrega uno más. Y así sucesivamente, cada nueva palabra-número representa la misma cantidad anterior más uno.
Esta estructura del número natural determina que cada uno de ellos posee un valor único en cuanto a la cantidad que representa (aspecto cardinal del número) y a la vez un orden único inalterable (aspecto ordinal del número) y que permite el establecimiento de una regla que dice que “todo número natural posee un sucesor” (el sucesor sería el número más uno).
Así como usamos la actividad para contar en la medida que aumenta una cantidad de lo que sea, también podemos descontar cantidades.

Abstracción de Relación Numérica

Cuando se tienen dos o más grupos de objetos, se pueden comparar en función de la cantidad. Al compararlos, se pueden descubrir relaciones entre ellos:

“Tener más elementos que”
“Tener menos elementos que”
“Tener tantos como”

Al cuantificar esos grupos, quedan designados con un número, y al compararlos, se establecen relaciones de equivalencia y de orden entre ellos (entre los números):

“Ser mayor que”
“Ser menor que”
“Ser igual que”

Representación de Números en un Sistema de Numeración Posicional

Usamos el Sistema de Numeración Decimal, que es posicional de base diez y se caracteriza por:

Usar diez símbolos numéricos denominados cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) con los cuales se escriben todos los “numerales”.
Usar la regla de canje que determina que: “al tener diez elementos de un determinado valor (unidad, decena, centena, unidad de millar, etc.), estos se agrupan transformándose en un grupo de valor inmediatamente superior (por ejemplo: diez unidades se canjean transformándose en una decena o grupo de diez).
A su vez, diez decenas se canjean transformándose en una centena, y así sucesivamente”.
Para los niños y niñas, los números tienen varios significados: pueden ser números de teléfono, recorridos de las micros, número de las casas o departamentos en los que viven, cantidad de años que tienen, etc.
Algunos de estos aprendizajes y conceptos tratan a los números como nombres y no como cantidades.
Contar es importante porque es el primer requisito para desarrollar la noción de número.

Actividades de Conteo

Las actividades de conteo ayudan al niño o niña a desarrollar paulatinamente que:

Se cuenta en una secuencia fija (que es siempre la misma).
Cada objeto se cuenta una y solo una vez.
El número final representa el total de objetos contados (cardinalidad).

Imagen

Noción de Número

El concepto de número es abstracto.
Para definirlo, hay que tener en cuenta al número como cardinal, como ordinal, como inclusión jerárquica y como numeral.
Es por esto que en el nivel inicial se propicia el desarrollo de nociones básicas, enmarcadas en situaciones cotidianas.

Concepto de Número como Síntesis de Clase y Serie

“Para tener el concepto, se debe ser capaz de clasificar y seriar y entender la cardinalidad y ordinalidad”.

Adquisición de la Cantinela

Es el proceso de aprender a contar correctamente la cardinalidad del número. La cual se adquiere aproximadamente a partir de los dos años y se va fortaleciendo en el primer año de educación básica.
El desarrollo sociocultural del niño o niña incide en los procesos de adquisición de la cantinela.
Los niños recitan la cantinela sin ningún significado cardinal; realizan conteo sin concebir la cantidad de objetos de un conjunto.

Ejemplos de rango de conteo por edad:

3 años: hasta 3
4 años: hasta 5
5 años: hasta 10

Escritura de Números (Grafía Numérica)

Escribir números es una habilidad que se aprende paulatinamente, luego de variados intentos.
Uno de los mayores problemas para los niños y niñas es aprender el recorrido del trazo; es decir, por dónde comienza y hacia dónde sigue el trazado del número.

Para ello, antes de escribir en papel, es necesario modelar explícitamente el movimiento:

Comente delante del grupo por dónde comenzar (hay plantillas que se marcan con un punto de inicio, otras que se marcan con colores).
Practique el movimiento en el aire y en la palma o en la espalda del compañero, enfatizando siempre el punto de inicio y la dirección del movimiento (por ejemplo, para el cero podría decir “Parto arriba, bajo en línea curva, subo y paro donde empecé”).

Secuencia Propuesta para la Escritura

Ejercicios en el aire.
Ejercicios en formato pequeño para reforzar el control del movimiento (plantillas punteadas, tarjetas de grafía).
Ejercicios en gran tamaño para fijar la dirección del movimiento (números con sémola, números en geoplanos).
Ejercicio en el cuadernillo.

Descripción de los ejercicios:

Ejercicios en el aire: La educadora modela el movimiento mientras los niños lo imitan desde sus puestos. Para evitar el efecto espejo, se ubica de espalda al curso.
Plantillas punteadas (opcional): Puede hacer hojas plastificadas para que los niños repasen los números con lápiz de pizarra. Los números comienzan con rojo y siguen con verde, tal como las tarjetas de grafía, para indicar al niño por dónde empieza el movimiento.
Números con sémola: Hacer números sobre sémola, con un fondo negro, es una muy buena manera de practicar la dirección del movimiento. Asegúrese de marcar el punto de inicio en la tarjeta con un punto de color.
Números en geoplano: Estas tarjetas para geoplanos muestran al niño en qué dirección se escribe un número. Para ello, deben ir con un punto de inicio claramente marcado para que el niño copie el patrón empezando desde el mismo lado que lo haría si escribiera el número.
Cuadernillo: Este cuadernillo trabaja la escritura en cuadrados porque estos dan una guía concreta al niño al momento de escribir. La profesora usa los cuadrados para guiarlos diciendo frases como «comienzo en la esquina”, “llego hasta la otra esquina”, “bajo por la línea”, “bajo uno, dos cuadrados”.

Tablas de Doble Entrada

Las tablas de doble entrada son un lenguaje gráfico que los niños y las niñas tienen que entender. Son muy adecuadas para fomentar la observación y el razonamiento lógico.

Materiales

Asociación del Símbolo Gráfico con la Cantidad de Elementos

Un cartón donde en un costado se coloca un número y el niño debe poner la cantidad de manzanas correspondiente al número. EJ: 7: 7 manzanas.

Nivel Concreto, Gráfico y Simbólico

Panel de suma, panel con la imagen de un conejo con sus zanahorias.

Espacio y Geometría

Geometría

La preocupación y ansiedad existentes en nuestros días porque los niños adquieran destrezas numéricas tiende a oscurecer el hecho real de que casi todo el mundo ha de afrontar con mucha mayor frecuencia problemas espaciales que problemas numéricos, ya sea trabajando de albañil, de diseñador de ropa o de dibujante, ya en actividades cotidianas como estacionar el coche, jugar al tenis o montar una estantería.

La Geometría y el Espacio

La primera idea que se tiene de Geometría es: “exploración del espacio”.
El espacio es lo que nos rodea, por donde nos movemos.
Pero una definición rigurosa de espacio es: “medio continuo, tridimensional, de límites indefinidos que contiene todos los objetos y donde se desarrollan todas las actividades.”

Una idea más rigurosa de Geometría es: “ciencia que tiene por objeto ANALIZAR, ORGANIZAR Y SISTEMATIZAR los conocimientos espaciales.”

Relaciones Espaciales: Representación y Medición

Las nociones espaciales son conceptos que se aprenden en la interacción cotidiana con el espacio tridimensional, los objetos que lo ocupan, donde el propio cuerpo cumple un papel primordial ya que es el primer referente para “organizar” este espacio a través de una serie de relaciones.

Relaciones de Posición

Se refieren a la ubicación entre personas, objetos, lugares:

Arriba de – debajo de
Delante de – atrás de
Al lado de

Si la relación considera tres objetos o más, podría existir la relación “estar entre”.

Relaciones de Dirección

Tienen un símil con las anteriores, solo que estas se refieren al desplazamiento de los sujetos u objetos en el espacio:

Hacia arriba – hacia abajo
Hacia delante – hacia atrás
Hacia el lado; hacia la izquierda – hacia la derecha
Hacia el norte de, hacia el sur de, hacia el este de, hacia el oeste de.

Relaciones de Distancia

Se refieren a la longitud existente entre objetos, o personas, o lugares, o entre ellos y se denominan:

Cerca de – lejos de

Conceptos Previos del Desarrollo Espacial

PERCEPCIÓN: Es la función psíquica que permite al organismo, a través de los sentidos, recibir, elaborar e interpretar la información proveniente de su entorno.
ESPACIO: Es el medio en el que nos movemos y transcurre el movimiento.

Adquisición del Concepto de Espacio y el Pensamiento Geométrico según Piaget

La adquisición del concepto de espacio pasa por tres momentos:

1. El Espacio Topológico

El niño organiza todo el entorno espacial tomando como punto de referencia su propio cuerpo.
Transcurre desde el nacimiento hasta los tres años y en principio se limita al campo visual y las posibilidades motrices del niño.
Al conquistar la habilidad motriz básica de la marcha, el espacio se amplía, se desenvuelve en él y capta distancias y direcciones en relación con su propio cuerpo, a partir de sensaciones cinéticas, visuales y táctiles, distinguiéndose las siguientes posibilidades para el espacio topológico:

Relaciones Topológicas:

Vecindad: Relación de cercanía entre los objetos.
Separación: Relación entre un grupo de objetos que se hallan dispersos.
Orden: Relación que guardan un grupo de objetos respecto a un sistema de referencia.
Envolvimiento: Relación en que un sujeto u objeto rodea a otro.
Continuidad: Relación en la que aparecen una sucesión constante de acontecimientos o bien al ordenar una secuencia de eventos.

2. El Espacio Euclidiano

Relaciona los objetos entre sí. Aparecen las medidas de longitud, volumen y de superficie.
Los objetos son localizados por medio de ejes de referencias. El niño va desarrollando ideas métricas.

Ideas Métricas:

TAMAÑO: Grande, pequeño, mediano.
DIRECCIÓN: Desde aquí, hasta aquí.
ORIENTACIÓN: Derecha, izquierda, arriba, abajo, delante, detrás.

3. El Espacio Proyectivo

Son las relaciones que varían al cambiar el punto de proyección (el punto de vista desde donde los miro).
Ejemplos: arriba, abajo, derecha, detrás, delante.
A partir de los 6 años, los conceptos topológicos van transformándose en proyectivos.
El espacio proyectivo aparece psicológicamente cuando un objeto empieza a ser mentalmente considerado, no en aislamiento, sino en relación a «un punto de vista», es decir, el niño empieza a apreciar cómo se presentan los objetos cuando son contemplados desde diferentes posiciones.

Ejercicios para Conceptos Proyectivos

Contemplar y dibujar objetos desde diferentes ángulos.
Plegar y desplegar papeles.
Cortar objetos para observar las diferentes secciones.
Ampliar y reducir figuras.
Hacer girar figuras alrededor de un punto.

Formas: Abstraer Características

Cuerpos Geométricos

El espacio está habitado por objetos (cosas, personas) tridimensionales, es decir, que poseen tres magnitudes físicas.

Cuerpo geométrico es aquel que ocupa un lugar en el espacio.
Los cuerpos geométricos se clasifican en regulares e irregulares.
Los cuerpos geométricos regulares tienen 3 dimensiones y en ellos pueden medirse largo, ancho y alto.
Dentro del conjunto de los cuerpos geométricos regulares encontramos 2 subconjuntos: cuerpos poliedros y cuerpos redondos.

Cuerpos Poliedros

Los cuerpos poliedros tienen todas sus caras planas. Por ejemplo: un dado poliedro.

Caras: Son las superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí. Pueden ser caras basales, las cuales sirven de apoyo para el cuerpo en un plano, o caras laterales, quienes quedan en dirección oblicua o perpendicular a la cara basal.