Estrategias Didácticas y Fundamentos del Aprendizaje Matemático en Educación Infantil y Primaria

Fundamentos del Aprendizaje Matemático

Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas Hoy

• No debemos confundir enseñanza con aprendizaje.
• No toda enseñanza produce aprendizaje.
• El fin de la enseñanza es que los alumnos aprendan.

Teorías del Aprendizaje

El Asociacionismo

Un fenómeno puede ser explicado a partir de la asociación entre elementos más básicos que el propio fenómeno, asociación que el sujeto ha vivido con anterioridad. Todo el conocimiento, incluso el más complejo, está formado por relaciones sencillas que conectan los distintos elementos.

El Conductismo

Los enfoques conductuales, basados en el cálculo, consideran que aprender es cambiar una conducta.

• El aprendizaje se produce a partir de una secuencia determinada de estímulos (sucesos exteriores a la persona) y respuestas (lo que hacía la gente como reacción a dichos sucesos exteriores).
• El proceso de aprendizaje puede iniciarse por medio de un programa cuidadosamente elaborado de estímulos y respuestas, reforzadas de inmediato. Los resultados del proceso pueden objetivarse como cambios de conductas observables en el sujeto que aprende.
• El aprendizaje consiste en establecer y reforzar las asociaciones necesarias.
• Sus representantes más destacados son Skinner, Gagné y Thorndike.
• Para lograr este aprendizaje, se divide la tarea en otras más sencillas que se aprenden gradualmente y se refuerzan.

Ley del Ejercicio de Thorndike

Consiste en descomponer una idea más compleja en otras más simples y ejercitar las tareas simples. Esto se debe a que la respuesta a una situación se asocia con esa situación y, cuanto más se emplee en una determinada situación, más fuerte se asocia con esta. Por otra parte, el uso poco frecuente de la respuesta debilita la asociación.

Ley del Efecto de Thorndike

Reforzar la asociación entre el estímulo de la tarea y la respuesta del alumno. Las respuestas inmediatas seguidas de una satisfacción ofrecen mayor probabilidad de repetirse cuando se produzca de nuevo la situación, mientras que las respuestas seguidas de una incomodidad tendrán menos posibilidad de repetirse. Es decir, la corrección (decir si está bien o mal) es una sanción para el alumno; pretende reforzar la asociación correcta y evitar la errónea.

El Cognitivismo

Los enfoques cognitivos consideran que aprender es crear nuevas estructuras mentales, por lo que puede haber aprendizaje aunque el niño no lo manifieste. La acción es la causa inicial del conocimiento; la adquisición de nuevo conocimiento la hace cada persona de manera activa. El modelo cognitivo de Piaget hace hincapié en la interacción constante de los factores cognitivos internos con los factores ambientales en la construcción del conocimiento; y así, lo que ya se conoce, determinará en gran medida la información que puede percibirse y procesarse. Esta información será la que determine la adquisición de nuevos conocimientos. Piaget supone que la conducta humana está gobernada por representaciones conocidas como esquemas o unidades de conocimiento, cuyo incremento se puede representar mediante una gran espiral, donde cada “círculo” o esquema es más amplio que el anterior.

Principio de Asimilación de Piaget

El aprendiz va incorporando ideas en su mente mientras realiza experiencias; cuando se enfrenta y resuelve nuevos problemas, los relaciona con las experiencias y aprendizajes anteriores. En primer lugar, interpreta estos problemas e intenta solucionarlos aplicando los conocimientos previos. A este proceso lo llama Piaget asimilación.

Principio de Acomodación de Piaget

Cuando el aprendizaje se produce mediante experiencias resolviendo problemas, el alumno se encuentra con que las soluciones que obtiene con los conocimientos anteriores no siempre le llevan a soluciones válidas.

Proceso de Equilibración de Piaget

Desde una perspectiva cognitiva, aprender es incorporar características de los nuevos conceptos alterando las estructuras mentales anteriores, creando una nueva estructura que encaje estas propiedades, es decir, que vuelva a estar en equilibrio.

Aprendizaje Significativo

Se enumeran y explican brevemente los 3 tipos de aprendizaje significativo:

1. De representaciones: captar el significado de los símbolos.
2. De conceptos: aprender lo que significan.
3. De proposiciones: se capta el significado de nuevas ideas.

Desarrollo del Concepto de Número

El Currículo de Educación Primaria sobre el Número Natural

• Primer ciclo: Números naturales de hasta tres cifras o iniciación en el sistema de numeración decimal.
• Segundo ciclo: Continuación con el sistema de numeración decimal.
• Tercer ciclo: Manejo de números de más de seis cifras o refuerzo del aprendizaje del sistema de numeración.

Estadios en la Construcción del Número (Schaeffer y Gelman)

• Primer Estadio:
  • Reconoce el número de objetos de una colección de menos de 5 objetos.
  • Reconoce qué colecciones son mayores de 5 objetos.
  • Reconoce el tamaño de colecciones mayores que 5 si están alineadas.
• Segundo Estadio:
  • Para números pequeños, cuentan siempre la colección para dar el resultado, por tanto, no aplican la regla de cardinalidad.
  • No dominan el recuento con números mayores.
• Tercer Estadio:
  • Conectan el recuento con la regla de cardinalidad.
  • Tienen mayor disposición para conocer el número de objetos de una colección.
• Cuarto Estadio:
  • Reconocen cuál es el número mayor entre dos números dados.
  • Cuentan sin cometer errores.
  • Comparan el tamaño de dos colecciones.

Nociones Básicas para la Construcción del Concepto de Número

• Conservación de la materia: Existe un principio que indica que la materia, a pesar de sufrir o pasar por diversas modificaciones en su apariencia externa, permanece constante en su totalidad.
• Reversibilidad: Esta noción va ligada a la de conservación: a cada acción u operación le corresponde la acción u operación contraria.
• Correspondencia: La correspondencia término a término consiste en asociar los elementos de dos conjuntos formando pares. Si coinciden los elementos y no sobra ninguno, se dice que ambos conjuntos tienen igual número de elementos; si, en cambio, queda algún elemento suelto, en un conjunto habrá más y en otro menos.
• Seriación: La habilidad para colocar objetos ordenadamente, de acuerdo con un criterio elegido tal como longitud, altura, anchura o peso, es un requisito previo necesario para trabajar con el orden más abstracto entre números y pensar en términos de relaciones.
• Clasificación: Es una actividad prenumérica básica. Es el primer estadio del pensamiento lógico y un fundamento necesario para la comprensión de la inclusión de clases y la clasificación jerárquica. Según Piaget e Inhelder (1958), existe una progresión en las tareas que llevan al concepto de clasificación.

Principios del Conteo

Si se incumple alguno de estos principios en la acción de contar (proceso de conteo), el resultado podrá no ser correcto.

1. Principio de abstracción o generalidad: Cualquier colección de objetos del entorno del niño es un conjunto contable (mesas, sillas, lápices, ventanas, niños que cumplen una determinada condición, palmadas, sonidos, etc.).
2. Principio del orden estable: Las palabras que acompañan al proceso de contar deben separarse adecuadamente. Es importante no juntarlas (unodos), ni silabear en exceso (cin-co). Y se debe utilizar la secuencia numérica en el orden establecido.
3. Principio de la irrelevancia en el orden: El orden en el que se cuenten los objetos es irrelevante. Conviene comprobar que al contar varias veces la misma colección siguiendo órdenes diferentes se obtiene el mismo resultado.
4. Principio de biunivocidad: Cada objeto debe asociarse con un y solo un término numérico. Es importante establecer estrategias adecuadas para ir recorriendo los objetos, sin que haya repeticiones ni olvidos.
5. Principio de cardinalidad: El último término obtenido en el recuento indica el cardinal de la colección. Por ejemplo, cuando el niño cuenta hasta cinco velas en su tarta de cumpleaños y a continuación dice “hay cinco”.

Diferencias entre Cardinales y Ordinales

• El principio del orden irrelevante no sirve en las situaciones ordinales y, sin embargo, es de gran importancia en las situaciones cardinales.
• En un contexto ordinal no hay que contar todos los objetos del conjunto, basta llegar hasta el elemento que nos interesa. Sin embargo, en los contextos cardinales hay que contar todos los objetos.
• El cero no se considera en contextos ordinales, porque no hay posición cero; sin embargo, sí hay conjuntos con cero elementos (conjuntos vacíos).
• En contextos ordinales, el número total de elementos del conjunto no altera la posición (ordinal); sin embargo, el cardinal del conjunto sí sirve para interpretar de manera relativa el sentido del ordinal.

Metodologías y Recursos Didácticos en Matemáticas

Métodos de Enseñanza Utilizados en Matemáticas

Se comentan brevemente los métodos de enseñanza utilizados en matemáticas:

• Método Deductivo: Se utiliza en las demostraciones de teoremas siguiendo un razonamiento lógico que va desde la hipótesis o premisas iniciales a la tesis o conclusiones finales ya enunciadas previamente y cuyo objeto es demostrarlo. Algunos de los métodos de demostración utilizados para llegar a la tesis (T) partiendo de la hipótesis (H) se agrupan en el siguiente cuadro.
• Método Inductivo: Va de lo particular a lo general; se parte de ejemplos y situaciones concretas para familiarizar al alumno con el concepto que se quiere enseñar. En los primeros niveles de la enseñanza es muy práctico porque hace comprender los conceptos y procesos matemáticos, aunque no sea muy riguroso en su desarrollo desde el punto de vista matemático.
• Método Intuitivo: Este método es utilizado en los primeros niveles de enseñanza de las matemáticas, ya que la motivación se efectúa por medio de objetos y materiales que están en contacto con el niño. Es el mejor procedimiento para que el niño comprenda y maneje conceptos, fórmulas, definiciones, etc., que posteriormente se le darán de forma más rigurosa, pero que comprenderá el concepto en sí ayudado por el material didáctico. El niño irá aprendiendo poco a poco, adquiriendo los conceptos matemáticos y las abstracciones correspondientes a lo que conoce, a lo que ha sido materia de juego y con lo que ha trabajado a diario.
• Método Pasivo: Es utilizado en la enseñanza de las matemáticas en los niveles superiores. Es poco deseable, ya que toda la labor la realiza el profesor mientras que los alumnos están siendo solamente receptores y espectadores de lo que sucede en clase.
• Método Activo (Constructivismo): En este método, el alumno participa en el desarrollo de la clase, pasando la actuación del profesor a ser un orientador y un coordinador de la marcha de clase. El alumno logra una formación integral compaginando los conocimientos adquiridos con la forma de expresarlos, defendiendo ideas y posturas, comprendiendo los razonamientos lógicos que realicen los demás.
• Método Heurístico: Es empleado en todos los procedimientos de enseñanza y en todos los niveles. George Polya establece cuatro fases para la aplicación del método heurístico en matemáticas:
  1. Entender el problema.
  2. Imaginar un plan.
  3. Realizar o ejecutar el plan.
  4. Examinar la solución obtenida.

Bloques Lógicos de Dienes

Los bloques lógicos de Dienes están formados por 48 piezas con las siguientes cualidades y atributos para cada cualidad:

• Forma (4): cuadrado, rectángulo, círculo y triángulo.
• Color (3): amarillo, rojo y azul.
• Tamaño (2): grande y pequeño.
• Grosor (2): fino y gordo.

La Caja de Numeración

La caja de numeración se caracteriza por:

• Constituye una metodología para la construcción del Sistema de Numeración Decimal (SND).
• Facilita la exploración y la manipulación de los números, asegurando una correcta comprensión.
• Debe ser protagonista al principio del trabajo con estos contenidos (1º), pasando posteriormente a otros recursos más abstractos.
• Proporciona un modelo concreto que da sentido a los símbolos escritos y a los conceptos relativos al sistema de unidades y al valor posicional, facilitando la comprensión.
• La conexión con otros recursos nos permitirá manejar representaciones intercambiables y favorecerá la flexibilización del razonamiento.

La Cinta Numérica

La cinta numérica se caracteriza por:

• Permite apreciar la sucesión natural de números como un ordenado, continuo y ampliable. Es útil para alumnado de 1er ciclo y alumnado con dificultades.
• Supone un referente estable que permite:
  • Que el niño recurra a ella en caso de duda o para comprobar.
  • Enriquece: cada número aporta información sobre sí mismo en relación con los demás (sucesor-predecesor, posición respecto al total de la cinta, comparación entre números, etc.).
• Ayuda a:
  • Recoger información numérica de sucesos, situaciones, etc., que afecten al aula.
  • Representar datos referidos a problemas que debamos resolver.

Algoritmos ABN (Algoritmos Abiertos Basados en Números)

¿Qué significa ABN? Algoritmos Abiertos Basados en Números.

Ventajas del cálculo basado en algoritmos ABN:

• Los niños aprenden más rápido y mejor.
• Mejora de manera espectacular el cálculo mental y la capacidad de estimación.
• Se aumenta notablemente la capacidad de resolución de problemas.
• Hay un crecimiento efectivo de la motivación y un cambio muy favorable en la actitud de los niños ante la matemática.

Resolución de Problemas Matemáticos

Método para la Resolución de Problemas de Polya

George Polya estableció cuatro etapas:

1. Comprensión del problema: Implica entender tanto el texto como la situación que nos presenta el problema. El resolutor debe decodificar el mensaje contenido en el enunciado y trasladarlo al lenguaje matemático.
2. Concepción de un plan:
   • Para qué sirven los datos del enunciado.
   • Qué puede calcularse a partir de ellos.
   • Qué operaciones utilizar.
   • En qué orden proceder.
   • Enunciar la planificación por escrito, de forma clara, simplificada y secuenciada.
3. Ejecución del plan:
   • Puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación.
   • Comunicación y justificación de las acciones seguidas (Primero calculo…, luego…, y por último…).
   • Expresión clara y contextualizada de la respuesta obtenida.
4. Visión retrospectiva:
   • Contrastar el resultado obtenido para saber si efectivamente da una respuesta válida a la situación planteada.
   • Reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa solución por otro camino, utilizando otros razonamientos.
   • Pensar si el camino que se ha seguido se puede hacer extensible a otras situaciones.

Tipos de Problemas en Matemáticas

Se enumeran los tipos de problemas que se pueden trabajar en la resolución de problemas:

1. Problemas aritméticos.
2. Problemas geométricos.
3. Problemas de razonamiento lógico.
4. Problemas de razonamiento inductivo.
5. Problemas de azar y probabilidad.

Conceptos Numéricos Avanzados

Fracciones Equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si se cumple la igualdad de los productos cruzados: a · d = b · c.

Fracciones Irreducibles

Son aquellas fracciones en las que el numerador y el denominador son primos entre sí, es decir, no tienen ningún factor primo común.

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

Para calcular el m.c.m. de dos o más números, se hace la descomposición factorial de dichos números y se escogen los factores comunes y no comunes de mayor exponente.

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Para calcular el M.C.D. de dos o más números, se escogen los factores comunes de menor exponente de la descomposición factorial de dichos números.

Fracción Generatriz

La fracción generatriz de un número decimal es la expresión fraccionaria del número decimal. Se obtiene de la siguiente manera:

• Decimal exacto: Escribimos en el numerador el número sin coma y en el denominador, el uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene.
• Decimal periódico puro: Escribimos en el numerador el número formado por la parte entera seguida del periodo, menos la parte entera; y en el denominador, escribimos tantos 9 como cifras tiene el periodo.
• Decimal periódico mixto: Escribimos en el numerador el número formado por la parte entera seguida de la parte decimal no periódica y del periodo, menos el número formado por la parte entera seguida de la parte decimal no periódica; y en el denominador, escribimos tantos 9 como cifras tiene el periodo seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica.

Fracciones Propias e Impropias

• Fracciones propias: Aquellas en las que el numerador es menor que el denominador; su expresión será un decimal comprendido entre 0 y 1.
• Fracciones impropias: Aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador; su expresión será un decimal mayor que 1.